1. Рассчитаем среднюю урожайность картофеля по формуле:

х

на всем массиве:

__

Хобщ = (95*28+105*48+115*20+125*4) / 100 = 105 ц с 1 га

на удобренных участках:

__

Хгр = (95*4+105*23+115*10+125*3) / 40 = 108 ц с 1 га

на неудобренных участках:

__

Хгр = (95*24+105*25+115*10+125*1) / 40 = 108 ц с 1 га

2. Исчислим дисперсии по каждой группе участков по формуле:

_

G²_ГР = x_i - x_гр)² f

 f

по неудобренным участкам:

G²_ГР = [(95-103)²*24+(105-103)²*25+(115-103)²*10+(125-103)²*1] / 60 = 59,3

по удобренным участкам:

G²_ГР = [(95-108)²*4+(105-108)²*23+(115-108)²*10+(125-103)²*3] / 40 = 56

Из рассчитанных групповых дисперсий определим среднюю:

____

G²_ГР = G²гр f = (59,3*60+56*40) / (60+40) = 58

 f

3. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

G² _межгр =  x_гр - х _общ)² f ] /  f

G² _межгр = [ (103-105)²*60+(108-105)²*40] / (60+40) = 6

4. Определим общую дисперсию:

G² _общ =[ x_i - х _общ)² f ] /  f

G² _общ =[(95-105)²*28+(105-105)²*48+(115-105)²*20+(125-105)²*4] / 100 = 64

Правило сложения дисперсий:

____

G² _общ = G²_{ГР +} G²_межгр

64 = 58 + 6

Межгрупповая дисперсия показывает вариацию результативного признака под влиянием признака-фактора. Так, в нашей задаче межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость урожайности в зависимости от внесения удобрений.

Средняя из групповых дисперсий говорит о степени вариации результативного признака под влиянием всех прочих факторов, кроме признака фактора. А общая дисперсия отражает влияние всей совокупности факторов на колеблемость результативного признака.

Тема 4. Ряды динамики

ЗАДАЧИ

Задача 1. Рассчитать следующие показатели анализа рядов динамики: цепные и базисные абсолютные приросты, коэффициенты, темпы роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

годы	1992	1993	1994	1995	1996
выплавка стали (тыс. т)	1160	1210	1260	1310	1360

Задача 2. Динамика численности населения Российской Федерации за 1990 - 1993 г.г. характеризуется следующими данными (на конец года млн. чел.).

	1990	1991	1992	1993
всего населения в том числе:	148,2	148,3	148,3	148
моложе трудоспособного возраста	36,0	35,7	35,2	34,5
в трудоспособном возрасте	84	83,9	83,7	83,9
старше трудоспособного возраста	28,2	28,7	29,4	29,6

По каждой возрастной группе определите: 1) цепные и базисные абсолютные приросты 2) цепные и базисные коэффициенты роста, темпы роста и темпы прироста.

Задача 3. Известны данные о среднегодовой численности занятых в экономике на предприятиях негосударственных форм собственности.

годы	1990	1991	1992	1993
млн.чел.	13,1	18,1	23,8	29,5

Определить цепные и базисные абсолютные приросты, коэффициенты, темпы роста и прироста, а также абсолютное содержание одного процента прироста.

Задача 4. Численность населения области на 1.1.1992 - 420 тыс. человек, на 1.1.1996 г. - 432 тыс. человек. Определить средний коэффициент роста, темп роста и темп прироста населения за 1992 - 1996 годы и спрогнозировать численность населения области на 1.1.1998 года.

Задача 5. Известны остатки товарных запасов на складе предприятия (в млн. руб.).

1.1.1996	1.2.1996	1.3.1996	1.4.1996
480	520	390	610

Определить: 1) среднеквартальный остаток товарных запасов на складе предприятия , 2) средний темп роста и прироста товарных запасов за I квартал.

Задача 6. По автотранспортному предприятию имеются следующие данные об объеме перевозок в среднем за три года в тыс. т

месяцы	тыс.тн.	месяцы	тыс.тн.
январь	2408	июль	2822
февраль	2431	август	2783
март	2592	сентябрь	2642
апрель	2642	октябрь	2501
май	2672	ноябрь	2307
июнь	2703	декабрь	2321

На основании приведенных данных рассчитать индексы сезонности и измерить степень сезонных колебаний.

Задача 7. Численность рабочих на предприятии характеризовалась следующими данными: за январь - 250 человек, за февраль - 252, за март - 260, на 1 апреля 255, на 1 мая 248, на 1 июня 252, на 1 июля - 254. Определить среднюю численность рабочих 1) I квартал; 2) II квартал; 3) полугодие в целом.

Задача 8. Известны следующие данные об урожайности пшеницы за 12 лет в ц с 1га.

годы	ц	годы	ц	годы	ц
1980	18	1984	20,1	1988	20,4
1981	19,5	1985	19,4	1989	19,6
1982	19,8	1986	17,8	1990	20,2
1983	17,5	1987	18,8	1991	21,5

Выявить основную тенденцию динамики урожайности, используя следующие методы; 1) укрупнение интервалов; 2) скользящей средней; 3) выравнивание по прямой.

Задача 9. Среднемесячный выпуск продукции за 1991 - 1993 годы по месяцам составлял млн. р.:

месяцы	млн.р.	месяцы	млн.р.	месяцы	млн.р.
январь	380,5	май	430.2	сентябрь	480.8
февраль	408.6	июнь	527.7	октябрь	574.1
март	167.2	июль	485.9	ноябрь	400.0
апрель	430,2	август	535.4	декабрь	380.3

Рассчитать индексы сезонности и измерить степень сезонной неравномерности выпуска продукции.

Задача 10. Имеются сведения об остатках оборотных средств на предприятии в млн.р.

1.10.1990	1.10.1991	1.10.1992	1.1.1991	1.1.1992	1.1.1993
800	840	850	886	945	980

Сомкнуть ряд динамики и рассчитать средний темп роста и средний абсолютный прирост.

Задача 11. По условию задачи 10 рассчитать средний уровень ряда, цепные и базисные темпы роста и прироста.

Задача 12. Имеются данные о товарообороте района по месяцам года в млрд. р. : 1 -7,4; 2 - 7,9; 3 - 8,7; 4 - 8,2; 5 - 7,9; 6 - 8,2; 7 - 8,8; 8 - 8,7; 9 - 8,7; 10 - 8,1; 11 - 8,3; 12 - 9. Произвести сглаживание методом скользящей средней и выравнивание ряда по прямой.

Задача 13. Абсолютное содержание одного процента прироста составило в 1991г. - 4,2 тыс. руб., темп прироста выработки в 1991г. по сравнению с 1990 г составил 8%, базисный коэффициент роста в 1992 г. составил 1,12, а абсолютный цепной прирост в 1993г. составил 82,тыс.р. Построить ряд динамики выработки продукции за 1990 - 1993 годы.

Задача 14. Динамика производительности труда за 1986 - 1996г. характеризуется уравнением прямой:

Y_t = 4155 +32 t.

Спрогнозировать уровень производительности труда на 1995 год.

Задача 15. Имеются данные об урожайности ячменя за 1988 - 1996гг. (ц).

1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
10	10,7	12	10,3	12,9	16,3	15,6	17,8	18

Выявить основную тенденцию урожайности за 1988 - 1996 гг.: 1) методом сглаживания ряда с помощью скользящей средней; 2) методом аналитического выравнивания по уравнению прямой.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. Показателями анализа ряда динамики являются:

1) абсолютный прирост () как разность двух сравнительных уровней;

цепной  = Y_n - Y_n-1

базисный  = Y_n - Y₁

где Y_n - каждый последующий уровень ряда динамики

Y_n-1 - предшествующий уровень

Y₁ - начальный уровень ряда

2) коэффициенты роста (К) - это отношение уровня последующего ряда к уровню предыдущего или начального.

коэффициент цепной K =

коэффициент базисный K =

3) темп роста - это коэффициент роста, выраженный в процентах.

Т = К * 100

4) темп прироста (t) есть отношение абсолютного прироста к предыдущему или начальному уровню, т.е.

t или t

Темп прироста может быть также вычислен путем вычитания из темпа роста 100%, т.е. t = T - 100%

5) Абсолютное содержание одного процента прироста определяется делением абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

а

Этот показатель можно определить также и делением предшествующего уровня на 100.

Рассчитанные аналитические показатели изложили в табличной форме:

Показатели	1992	1993	1994	1995	1996
Выплавлено стали (тыс. т)	1160	1210	1260	1310	1360
Абсолютные приросты (тыс.т) цепные (по сравн. с пред. год.)	-	+50	+50	+50	+50
базисные (по сравн. с 1990)	-	+50	+100	+150	+200
Коэффициенты роста цепные (по сравн. с пред. год.)	1	1,043	1,041	1,039	1,038
базисные (к 1990г.)	1	1,043	1,086	1,129	1,172
Темпы роста (в %) цепные	100	104,3	104,1	103,9	103,8
базисные	100	104,3	108,6	112,9	117,2
Темпы прироста (в %) цепные	-	+4,3	+4,1	+3,9	+3,8
базисные	-	+4,3	+8,6	+12,9	+17,2
Абсолютное содержание одного процента прироста (т. т)	-	1,16	1,21	1,26	1,31

Средний абсолютный прирост:

 тыс.т

Средний коэффициент определяется по формуле средней геометрической:

К= или К =

К=

К=

Средний темп роста:

__ __ __

Т = К * 100 Т = 1,04 * 100 = 104 %

Средний темп прироста:

_ __ _

t = T - 100 t = 104 - 100 = 4 %.

Задача 7. Средний уровень периодического ряда динамики определяется по формуле средней арифметической простой:

УУчел.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по средней хронологической:

__

У = (У_1/2 + У₂ + У₃ + . . . У_n/2 ) / n - 1

__

У = (255/2 + 248 + 252 + 254/2) / (4 - 1) = 251,5

Задача 6. Для анализа рядов внутригодовой динамики рассчитываются индексы сезонности по формуле:

__ __ __

i_e = У_мес / У_год где У_мес - средний месячный уровень за 3 года,

__

У_год - среднегодовой уровень за 3 года.

Среднегодовой уровень за три года:

(2408+2431+2592+2642+2672+2703+2822+2783+2642+2501+2307+2321) / 12 = = 30824 / 12 = 2568,7

Тогда индекс сезонности:

за январь i_e = 2408 / 2568,7 = 0,937 (93,7%)

за февраль i_e = 2431 / 2568,7 = 0,946 (94,6%) и т.д.

за июнь i_e = 2703 / 2568,7 = 1,052 (105,2%)

за июль i_e = 2822 / 2568,7 = 1,099 (109,9%) и т.д.

Степень силы сезонных колебаний измеряется средним квадратическим отклонением:

%

Задача 15. МЕТОД СГЛАЖИВАНИЯ РЯДА ДИНАМИКИ СКОЛЬЗЯЩЕЙ СРЕДНЕЙ. Сгладим ряд динамики по трехлетней скользящей средней, так как период колебаний продажи равен трем годам.

Исчислим:

средний уровень за 1988 - 1990 гг.

__

У₁ (ц)

Средний уровень за 1989 - 1991 гг.

У₂ (ц)

Средний уровень за 1990 - 1992 гг.

У₃ (ц) и т.д.

Результаты расчета трехлетней скользящей средней представлены в нижеследующей таблице:

	годы	Скользящая трехлетняя	Трехлетняя скользящая средняя
А	1	2	3
1988	10,0 (У1)	-	-
1989	10,7 (У2)	32,7 (У1 + У2 + У3)	10,9 (У1)
1990	12,0 (У3)	33,0 (У2 + У3 + У4)	11,0 (У2)
1991	10,3 (У4)	35,2 (У3 + У4 + У5)	11,8 (У3)
1992	12,9 (У5)	39,5 (У4+ У5 + У6)	13,2 (У4)
1993	16,3 (У6)	44,8 (У5 + У6 + У7)	14,9 (У5)
1994	15,5 (У7)	49,7 (У6 + У7 + У8)	16,6 (У6)
1995	17,8 (У8)	51,4 (У7 + У8 + У9)	17,1 (У7)
1996	18,0 (Уn)	-	-

Полученные результаты (гр. 3) характеризуют рост урожайности.

МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫРАВНИВАНИЯ РЯДА ДИНАМИКИ ПО ПРЯМОЙ.

Уравнение прямой линии выражено формулой:

У_t = a₀ +a₁t

где У_t - значение выравненного ряда, которые нужно вычислить (теоретические уровни);

a₀ и a₁ - параметры прямой;

t - показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.)

Для нахождения параметров a₀ и a₁ необходимо решить систему нормальных уравнений:

a₀ n + a₁t = у

a₀ t + a₁t² = уt ,

где у - фактические уровни ряда динамики;

n - число уровней.

Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало отсчета времени приходилось на середину рассматриваемого периода:

Годы	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
t	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

Следовательно,  t = 0. тогда система нормальных уравнений примет вид:

a₀ n = у

a₁t² = уt ,

Отсюда a₀ ; a₁ .

Расчет параметров a₀ и a₁

Годы	Урожайность в ц с 1 га	Условные годы , t	t^2	уt	уt
A	1	2	3	4	5
1988	10,0	-4	16	-40,0	9,30
1989	10,7	-3	9	-32,1	10,41
1990	12,0	-2	4	-24,0	11,52
1991	10,3	-1	1	-10,3	12,63
1992	12,9	0	0	0	13,74
1993	16,3	1	1	16,3	14,85
1994	15,6	2	4	31,2	15,96
1995	17,8	3	9	53,4	17,07
1996	18,0	4	16	72,0	18,18
	у = 123,6	t = 0	t^2 = 60	+172,9 - 106,4 = ------------ уt = 66,5	 уt = 123,66

Следовательно,

a₀ (руб.);

a₁ (руб.) .t²

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:

у_t = 13,74 + 1,11 * t

Подставив в это уравнение значение t (гр.2), получим выравненные теоретически значения у_t (гр.5).