Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Из равенства комплексных чисел в правой и левой частях (1.24) следует, что

| |n | z | è n 2k (k 0, 1, 2, ...).

Отсюда

| | nz è 2k Argz ,

n n

где через n| z | обозначено арифметическое значение корня.

Итак, мы получили
					2k		2k
n z n | z | cos						i sin			, k , (1.25)
					n		n

èëè
					Argz		Argz
n z n | z | cos						i sin		.
					n		n

Подставляя в формулу (1.25) k 0, 1, 2, ..., n 1, получим ровно n различных значений nz (эти значения различны, так как разность аргументов каждых двух из них не кратна 2 ). При остальных значениях k n, n 1, ... мы будем, очевидно, полу- чать из формулы (1.25) значения nz, совпадающие со значениями, соответствующими k 0, 1, ..., n 1.

Вывод. У любого комплекснîго числа z 0 существует ровно n различных значений корня nz, которые задаются формулой

					argz 2k		argz 2k
n z n | z | cos						i sin			(1.26)
					n		n

(k 0, 1, 2, ..., n 1)

(для определенности мы положили в (1.25) argz).

Геометрическая иíтерпретация. Из формулы (1.26) сëедует,

÷òî все n значений nz лежат на окружности радиуса nz ñ öåí-

тром в начале координат и делят эту окружность на n равных частей, т. е. являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.

Замечание. Извлечение корня квадратного можно выполнить алгебраически без перехода к тригонометрической форме. Пусть

62

z a bi è x iy. Из условия 2 z èëè (x iy)2 a bi следует равенство x2 y2 2xyi a bi. Оттуда получаем систему уравнений

x2 y2 a,

2xy b.

Решив эту систему, найдем:

x

a2 b2 a

, y

a2 b2 a

.

2

2

Из условия 2xy b следует, что x è y должны быть одинаковы по знаку, если b 0, и противоположны по знаку, если b 0.

Èòàê,

a2 b2 a

a2 b2 a

, åñëè b 0, è

a bi

i

2

2

a2

b2 a

a2 b2

a

, åñëè b

0.

a bi

i

2

2

Например,

169 5

169 5

5 12i

i

(2 3i).

2

2

1.6.7. Запись комплексных чисел в показательной форме

Åñëè | z | 1, то, согласно формуле (1.18), имеем z cos isin . Комплексное число cos isin обозначается символом ei , т. е. функция ei для любого действительного числа определяется формулой Эйлера

ei cos isin .

(1.27)

Подчеркнем, что мы не доказали формулу Эйлера (1.27), а лишь ввели более компактное обозначение для суммы cos isin . В комплексном анализе будет определено понятие возведения действительного числа в комплексную степень (чего у нас пока нет). Тогда левая часть (1.27) определится, и формула (1.27) станет обычным равенством.

63

Заменой на – в выражении (1.27) получаем равенство e i cos isin .

Путем сложения и вычитания последнего равенства и (1.27)

получаются новые формулы Эйлера:
cos	1	(ei e i ), sin	1	(ei e i ).	(1.27 )
2			2i
Из формул (1.18) и (1.27) следует, что любое комплексное
число z 0 можно представить в виде
		z rei ,			(1.28)

ãäå r | z |, à Argz. Запись комплексного числа в виде (1.28)

называется показательной формой комплексного числа. Рассмотрим теперь операции умножения, деления и возведения

в степень комплексных чисел, записанных в показательной форме.

Пусть z	rei , z ei , ãäå r и — соответственно модули z									1
1	2
è z2, а и — аргументы.
Из формул (1.19), (1.21), (1.22) мы получаем:
	z z		rei ei r ei( );
	1	2
		z			rei		r
		1						ei( );
					ei
		z2
		zn (rei )n rnein ;
		1
				(ei )n ein .					(1.29)

Следовательно, операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел, записанных в показательной форме, осуществляются по известным правилам алгебры, поскольку символ ei обладает обычными свойствами показательной функции (см. (1.29)), как если бы число i было действительным.

В заключение отметим, что (см. 1.25)
n rei n			r	ei( 2k )/n (k 0, 1, ..., n 1).	(1.30)

1.6.8. Историческая справка

Комплексные числа появились в XVI в. у итальянских алгебраистов при решении алгебраических уравнений; в «Алгебре» Бомбелли (1579) уже описаны правила действий с выражениями

64

âèäà a b 1. До начала XVIII в. комплексные числа применялись математиками неохотно и неуверенно, поскольку им не могли приписать никакого реального смысла; их называли «мнимыми», «абсурдными» и т. д. до тех пор, пока Гаусс (1797; независимо Вессель (1798), Арган (1806)) не интерпретировал комплексные числа как точки (векторы) плоскости с соответствующими координатами. Интерес к комплексным числам возрос, когда к потребностям алгебры присоединились также и потребности анализа. Начало применению комплексных чисел в анализе положили Лейбниц и Иоганн Бернулли.

1.6.9. Примеры

Пример 1. Найти действительную и мнимую части числа

z2 i122 .

1i25

Учитывая равенства i25 i24 i i, i122 i120 i2 i2 1, ïî- лучаем

							2 i122				2 i					(2 i)(1														i)														2 2i i i2				1 3i			.
			z
							1 i25				1 i					(1 i)(1 i)																												1 i2				2
		Следовательно, Rez														1			, Imz																		3				.
															2																				2
		Пример 2. Найти модулü и главное значение аргумента ком-
плексного числа z												1								3			i.
												2								2
		Òàê êàê | z | | x iy |																								x2 y2 , то в данном случае | z |
		1		3
						1 1.
4			4
		Согласно (1.17), argz arctg																										y																					2	.
																																	arctg (												3)
																												x																				3
																																				10
																						1								3
		Пример 3. Вычислить																																		.
																						2								2
		Представим число z																						1							3									в тригонометрической фор-
																						2								2
ме (см. пример 2): z cos																	2				i sin																	2				.
															3																							3

65

Тогда, согласно (1.23), получим
z10 cos	20	i sin	20		1			3		i.
3		3		2			2

Пример 4. Выразить cos3 и sin3 через cos и sin .

Рассмотрим число z cos isin . Вычислим z3 двумя спо-

собами:

а) непосредственно возводя двучлен в третью степень; б) воспользовавшись формулой Муавра (1.23).

Тогда

à) (cos isin )3 (cos3 3 cos sin2 )(3 cos2 sin sin3 )i;

á) (cos isin )3 cos3 isin3 .

Приравняв правые части полученных равенств, будем иметь:

cos3 cos3 3cos sin2 ;
sin3 3cos2 sin sin3 .

Пример 5. Найти все значения корня 4 i.

Òàê êàê | i | 1, arg( i) è 41 1, то, согласно формуле 2

(1.26),

2k

2k

4

cos

2

isin

2

(k 0, 1, 2, 3).

i

4

4

Пример 6. Найти числа z x iy, для которых:

a) z =

; á) z | z |;

â) z argz.

z

Легко заметить, что:

a) z x, x ;

á) z x 0;

â) z .

1.7. МНОГОЧЛЕНЫ

Рассмотрим многочлен

f(x) A xn A xn 1 ... A ,

0

1

n

где коэффициенты Ai (i 0, 1, ..., n) и переменная x могут быть

как действительными, так и комплексными. Если A0 0, то число n называется степенью многочлена.

66

1.7.1.Тождественность двух многочленов

Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то f(x) 0x, или говорят, что многочлен тождественно равен нулю, и записывают f(x) 0. Докажем, что справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1. Åñëè f(x) 0, то все коэффициенты этого много- члена равны нулю.

Доказательство проведем методом математической индукции. Убедимся в справедливости теоремы для многочлена первой степени (случай ï 1): f(x) A0x A1.

Âçÿâ x 0, получим A1 0 и, следовательно, A0x 0. Положив x 1, получим A0 0.

Предположим, что теорема верна для многочленов степени ниже n, и покажем, что при этом предположении теорема верна для многочленов n-й степени.

Пусть x
	f(x) A xn A xn 1 ... A 0.				(1.31)
	0	1		n
Заменяя в равенстве (1.31) x íà 2x, получаем тождество
f	(2x) 2n A xn 2n 1		A xn 1	... A 0.	(1.32)
	0		1	n

Умножив (1.31) на 2n, после почленного вычитания из него (1.32) получим

2n 1 (2 1) A1xn 1 2n 2 (22 1) A2xn 2 ... (2n 1) An 0.

По предположению многочлен степени низшей чем n тождественно равен 0, лишь когда все его коэффициенты равны 0:

2n 1 (2 1) A1		2n 2 (22 1) A2	... (2n 1) An 0,
откуда имеем A1 A2 ... An 0.
Следовательно, тождество (1.31) принимает вид A xn					0. Ïî-
				0
лагая x 1, получаем A0 0, что и требовалось доказать.
Таким образом, теореме можно придать следующий вид:
		f(x) 0 Ai 0 i.
Следствие. Необходимым и достаточным условием тождест-
венности двух многочленов f(x) A xn A xn 1				... A	è (x)
		0	1	n
B xm	B xm 1 ... B (т. е. совпадения их значений при всех x)
0	1	m

67

является равенство соответствующих коэффициентов и сте-

пеней этих многочленов: n m, A							B , A		B ,..., A		B *.
						0	0	1	1	n	n
	Достаточность условия очевидна. Докажем необходимость.
	Åñëè x f(x) (x), ò. å.
	A xn A xn 1 ...				A	B xn		B xn 1 ...		B	,
	0	1			n	0		1		n
òî,	вычитая	èç	левой	части		тождества			правую,	получим
( A	B )xn ( A B )xn 1				... ( A		B ) 0.Тогда (по теореме 1)
0	0	1	1			n	n
Ai Bi i.

1.7.2. Деление многочленов

Будем говорить, что многочлен f(x) делится на многочлен(x), если существует третий многочлен g(x) такой, что имеет место тождество

f(x) (x) g(x).

Например, многочлен xn 1 делится на x 1, èáî xn 1

(x 1)(xn 1 xn 2 ... 1).
Теорема 2. Каковы бы ни были два многочлена
f(x) A xn	A xn 1	... A è	(x) B xm B xm 1		... B ,
0	1	n	0	1	m
ãäå n m è A0	0, B0	0, существует единственная пара мно-
гочленов g(x) è r(x) таких, ÷òî
	f(x) (x) g(x) r(x),				(1.33)

причем g(x) — многочлен степени n m, а степень r(x) меньше m или r(x) 0.

Многочлены g(x) è r(x) называют соответственно частным è остатком от деления f(x) íà (x).

Если умножить (x) íà A0 xn m и вычесть полученное про-

B0

изведение из f(x), то старшая степень уничтожается и получим

	f(x)			A0		xn m (x) a xn 1		a xn 2	... a , (1.34)
				B0			1	2	n
ãäå a	A		A0		B		(ïðè n m следует xn mзаменить на 1).
1	1		1
			B0

* Мы записали степени многочленов одинаковыми, ибо всегда в много- члене низшей степени можно добавить недостающее количество членов с коэффициентами, равными нулю.

68

Тогда

f(x) A0 xn m (x) R (x), B0

где через R (x) обозначен многочлен в правой части тождества (1.34). Если a1 0, òî R (x) имеет степень n 1, åñëè æå a1 0, òî

степень многочлена R (x) меньше, чем n 1.

Пусть R (x) имеет степень n1. Тогда если n1 m, то поступим с R (x) так же, как мы поступили с f(x); получим

Процесс можно продолжать, пока в остатке не получится многочлен степени ниже m, т. е. мы придем к требуемому тождеству

f(x) (x) g(x) r(x).

Покажем, что g(x) è r(x) есть единственная пара многочленов, удовлетворяющих тождеству (1.33). Допустим, что существует другая пара многочленов g1 (x) è r1 (x), где степень r1 (x)

меньше m è
f(x) (x) g1 (x) r1 (x).	(1.35)

Âтаком случае из (1.33) и (1.35) имели бы (x) g(x) r(x)

(x) g1 (x) r1 (x) и, следовательно,

[g(x) g1 (x)] (x) r1 (x) r(x).

(1.36)

Последнее тождество возможно при условии g1 (x) g(x), а значит, и r1 (x) r(x). В самом деле, если многочлены g(x) è g1 (x) не тождественны, то левая часть тождества (1.36) является многочленом степени не меньшей ò, тогда как правая часть есть многочлен степени меньшей чем m, что невозможно.

Осталось заметить, что если f(x) делится на (x), то имеет место тождество f(x) (x) g(x) и остаток в этом случае r(x) 0.

1.7.3. Деление на x a

Рассмотрим важный в приложениях частный случай деления многочлена n-й степени

f(x) A0xn A1xn 1 ... An на двучлен x a.

69

Положив в формуле (1.33) (x) x a, получим, что частное g(x) есть многочлен (n 1)-й степени, а остаток, будучи много- членом степени ниже первой, есть число.

Следовательно,
f(x) (x a)(b xn 1	b xn 2	... b	) R.	(1.37)
0	1	n 1

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена f(x) на x a равен значению многочлена при x a, ò. å. R f(a).

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из соотношения (1.37).

Следствие. Для того чтобы многочлен f(x) делился на (x a)

без остатка, необходимо и достаточно, чтобы число a было корнем этого многочлена.

В самом деле, если f(x) делится на x a, то имеет место то-

ждество f(x) (x a)g(x), откуда получаем f(a) 0.
Обратно, если à — корень многочлена, то R f(a) 0.

1.7.4. Разложение многочленов на множители

Итак, мы показали, что если у многочлена fn(x) степени n есть корень x1, то справедливо представление

fn(x) (x x1 )fn 1 (x),

ãäå fn 1 (x) — некоторый многочлен (n 1)-й степени.

Возникает вопрос: «всякий ли многочлен имеет корень?» Положительный ответ на этот вопрос дает основная теорема алгебры, строгое доказательство которой было дано в 1799 г. Гауссом.

Всякий многочлен положительной степени имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный).

Åñëè n 2, то в силу основной теоремы алгебры многочлен fn 1 (x) имеет по крайней мере один корень x2, а потому делится на x x2:

fn 1 (x) (x x2 )fn 2 (x). Тогда справедливо представление

fn(x) (x x1 )(x x2 )fn 2 (x).

Применяя снова основную теорему алгебры к многочлену fn 2 (x), åñëè n 2 1, мы можем выделить множитель x x3. Такой процесс можно продолжать до тех пор, пока в правой части

70

не получится многочлен нулевой степени, т. е. число f0. Следовательно, после n-го шага многочлен fn(x) A0xn A1xn 1 ... An

представится в виде fn(x) (x x1 )(x x2 ) ... (x xn)f0.

Сравнив коэффициенты при старшей степени в левой и правой частях последнего тождества, заключаем, что f0 A0. Таким образом, любой многочлен n-é степени (n 0) может быть представлен в следующем виде:

A0xn A1xn 1 ... An A0 (x x1 )(x x2 ) ... (x xn). (1.38)

1.7.5. Кратные корни многочлена

Числа x1, x2, x3, ..., xn в (1.38) суть корни многочлена. Легко видеть, что кроме этих чисел многочлен не имеет никаких других корней, ибо правая часть (1.38) обращается в нуль только при x xi (i 1, 2, ..., n).

Среди чисел x1, x2, x3, ..., xn могут оказаться и одинаковые, тогда, объединив тождественные сомножители, получим

f (x)	A	(x x	k	k	... (x x		)	kp	,	(1.39)
			) 1	(x x ) 2		p
n	0	1		2

ãäå x1, x2, x3, ..., xp — отличные друг от друга корни многочлена. При этом, очевидно,

k1 k2 ... kp n.

Если показатель ki, с которым двучлен x xi входит в разложение (1.39), больше единицы (ki 1), òî xi называется кратным корнем многочлена fn(x). Åñëè ki 1, òî xi называют простым корнем данного многочлена. Натуральное число ki называется

кратностью корня xi.

Условились считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Тогда из (1.39) следует теорема.

Теорема 3. Всякий многочлен n-й степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

1.7.6. Еще раз о тождественности многочленов

Напомним (см. п. 1.7.1), что два многочлена называются тождественными, если их значения совпадают при всех x. Однако для тождественности многочленов степени не выше n достаточно потребовать совпадения их значений лишь в n 1 точках.

71