РЕШЕНИЕ Дифф,Ур. в частн. пр

Уравнения математической физики

Лектор Кулешов Александр Аркадьевич, БГУ, каф. МК, комн. 421, e-mail: [e-mail]

Author: KULIASHOU ALIAKSANDR (Kuleshov Alexander)

Belorussian State University, main entry, app. 421, sub-faculty (department) of the mathematical cybernetics

Лабораторная работа

Найти общее решение уравнения в каждой из областей, где сохраняется тип уравнения

a x, y uxx 2b x, y uxy c x, y uyy d x, y ux e x, y uy g x, y u 0

(0.1)

Calculus`DSolveIntegrals`

Вариант №1

x y

A11 y; A12 ; A22 x; A1 0; A2 0; A0 0; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22 Simplify

1 x y 2

4

Решение в области, где уравнение параболического типа

Уравнение имеет в этой области вид x,xU x, y

2 x,yU x, y y,yU x, y 0

A11 1; A12 1; A22 1; A1 A2 A0 0;

A122 A11 A22 Simplify

0

Найдем первый интеграл

i1 FullSimplify

CompleteIntegral A11 D x, y , x A12

D x, y , y 0,

x, y , x, y , GeneratedParameters F Flatten

x, y F 1 x y F 2

2 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

x_, y_ i1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b x y

Функцию выбирем, например, равной

x_, y_ x

x

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

u 0,2 x, y 2 u 1,1 x, y u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

b 0

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y , Derivative 0, 2 vx, y , x, y , Derivative 1, 0 v x, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y , v x, y , x, y

0, 0, 1, 0, 0, 0

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

u

DSolve , u , 0, u, , 1, 1, 2, 2 .x, y , x, y . a 0, b 1

C 1 x y x C 2 x y

Ответ: В области y=-x уравнение имеет решение u[x,y]=C[1][x+y]+x C[2][x+y]

Решение в области, где уравнение гиперболического типа

В остальной области имеем уравнение гипербалического типа. Будем приводить к каноническому видуи решать сначала в области x+y>0

x y

A11 y; A12 ; A22 x; A1 0; A2 0; A0 0; 2

A122 A11 A22 Simplify

1 x y 2

4

Найдем первый интеграл

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 3

FullSimplify CompleteIntegral

r

A11 D x, y

, x

A12

x y

D x, y , y

0,

2

x, y , x, y , IntegralConstants F , x y 0

1

x, y x y x y 2F 1 F 2

x_, y_

FullSimplify r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b , x y 0

1

b x y x y 2a

Найдем второй интеграл

r

FullSimplify CompleteIntegral

x, y

2

0,

A11 D

, x

A12

x y

D

x, y , y

x, y , x, y , IntegralConstants G , x y 0

x, y C 1 G 1 x y G 2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d . C 1 h

c h d x y

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

x u 0,2 x, y x y u 1,1 x, y y u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

1

b d x2 y2 2a

0 a x a y

Значит, x y

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y , Derivative 1, 1 v x, y , x, y ,

Derivative 0, 2 v x, y , x, y , Derivative 1, 0 vx, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y ,

v x, y , x, y Flatten Simplify

1	1
b d x y x2 y2 2a	b x2 y2 2a

0, , 0, , 0, 0

a x y

a x a y

4 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

a 1 2; c h b d 1;

находим обратную заменунезависимых переменных

Sol FullSimplify Solve x, y , x, y , x, y , x y 0

x

2 2

, y

2 2

2

2

2

2

2 x y u

x

u , u , u

, u , u , u

Equ

Plus

res

Simplify

u

y

2 2

u

2 2 2 u

u , u , u , u

Collect

FullSimplify Equ

. Sol 1 ,

0, 0 ,

Обозначим u =y. Получим уравнение

DSolve 2 y y 0, y,

2

y

Function

,

C 1

s DSolve

2 u

1

F

0, u,

2

1

2

u

Function

, C 1

2

K$991

Значит, функцию можно записать в виде

	1	F
u _, _ C 1 2 2

F

C 1 2 2

Возвращаемся к переменным x,y
	1	2	x 1 y Simplify
u , . x ,

4 F x C 1

3 x 2 y 2

Ответ: u(x,y) =C 1

4 F x

3 x 2 y 2

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 5

Вариант №2

Определяем тип:

A11 0; A12 1; A22 1; A1 2; A2 1; A0 0;

A122 A11 A22

1

Решение для уравнения гиперболического типа

Найдем первый интеграл

i1 FullSimplify

A12

0,

x, y , x, y ,

CompleteIntegral A11 D

x, y , x

D

x, y , y

GeneratedParameters

Flatten

F

CompleteIntegral True, x, y , x, y , GeneratedParameters F

Берем любую независимую с функцию

x_, y_ x ;

Найдем второй интеграл

i2 FullSimplify

CompleteIntegral A11 D x, y , x A12

D x, y , y 0,

x, y , x, y , GeneratedParameters G Flatten

x, y 1 x G 1 y G 2

x_, y_ i2 1 2 . G 1 d . G 2 h

d 1 x h y

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

u 0,1 x, y u 0,2 x, y 2 u 1,0 x, y 2 u 1,1 x, y

Найдем условие невырожденности

Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

h 0 2 x

Положим для простоты

h 1; d 1 2;

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y

6 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 v x, y , x, y ,

Derivative 1, 1 v x, y , x, y , Derivative 0, 2 vx, y , x, y , Derivative 1, 0 v x, y , x, y , Derivative 0, 1 v x, y , x, y , v x, y , x, y

0,

1

, 0,

1

x

, 0, 0

x

Equ Plus

res

u , u , u , u , u , u

u

u

x

x

находим обратную заменунезависимых переменных

x 2

, y

2

2

,

Sol

FullSimplify Solve

x, y

,

x, y

x, y

1

2

Находим левую часть преведенного к каноническомувидууравнения

u u

u , u , u , u

Simplify

Collect

FullSimplify Equ

. Sol 1

,

2

Обозначим u =y. Получим уравнение

y y 0

DSolve y y 0, y,

y Function , C 1

Т.е u= F

s DSolve u F 0, u,

		Function , C 1				F K$263 K$263
			1
	u

Значит, функцию можно записать в виде

	_, _	C 1			F
u
C 1		F

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 7

Возвращаемся к переменным x,y

.

x , 1

2

x 1 y

u ,

C 1

12x y

F x

C 1

1 x

y

F

x

u(x,y) =

2

Ответ:

Вариант №3

1

A11 0; A12 ; A22 0; A1 x; A2 1; A0 x; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

1

4

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

x u x, y u 0,1 x, y x u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y ,

Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y , Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, x, 1, x

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

u x u x u u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, x , 1 , x x

8 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w x x x wx wxy 1 wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

x, 1

Equ1 Equ . sol

wxy

s DSolve x,yw x, y 0, w, x, y

w Function x, y , C 1 x C 2 y

u x, y . w x, y s 1 1 2 2 . sol

x x y C 1 x C 2 y

Ответ: u(x,y) = x x y C 1 x C 2 y

Вариант №4

A11 0; A12 1 ; A22 0; A1 x; A2 2 y; A0 2 y x; 2

Определяем тип уравнения:

A122 A11 A22

1

4

Решение для уравнения гиперболического типа

Это уравнение дано в каноническом виде

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

2 x y u x, y 2 y u 0,1 x, y x u 1,0 x, y u 1,1 x, y

res Coefficient PDE, Derivative 2, 0 u x, y , Derivative 1, 1 u x, y , Derivative 0, 2 u x, y ,

Derivative 1, 0 u x, y , Derivative 0, 1 u x, y , u x, y

0, 1, 0, x, 2 y, 2 x y

РЕШЕНИЕ Д,У.nb 9

Equ Plus res u , u , u , u , u , u

2 u x y 2 y u x u u

Попробуем избавиться от 1 перед u

u x_, y_ : w x, y E x y

res Expand

Coefficient PDE, Derivative 2, 0 w x, y , Derivative 1, 1 w x,

y , Derivative 0, 2 w x, y , Derivative 1, 0 w x, y , Derivative 0, 1 w x, y , w x, y E x y

0, 1, 0, x , 2 y , 2 x y x 2 y

Equ Plus res wxx, wxy, wyy, wx, wy, w

w 2 x y x 2 y x wx wxy 2 y wy

sol Flatten Solve Equ 2 1 0, Equ 4 1 0 , ,

x, 2 y

Equ1 Equ . sol

wxy

s DSolve x,yw x, y 0, w, x, y

w Function x, y , C 1 x C 2 y

u x, y . w x, y s 1 1 2 2 . sol

3 x y C 1 x C 2 y

Ответ: u(x,y) = 3 x y C 1 x C 2 y

Вариант №5

5 A11 3; A12 5; A22 3; A1 2; A2 4; A0 ;

16

Определяем тип уравнения:

10 РЕШЕНИЕ Д,У.nb

A122 A11 A22

16

Приводим к каноническомувиду

Найдем первый интеграл

r FullSimplify

A12

0,

x, y , x, y ,

CompleteIntegral A11

D

x, y , x

D

x, y , y

IntegralConstants

F

1

x

3 y F 2

x, y F 1 3

x_, y_ FullSimplify r 1 1 2 . F 1 a . F 2 b

a b x b y

3

Найдем второй интеграл

r FullSimplify

x, y , x, y ,

A12

0,

CompleteIntegral A11

D

x, y , x

D

x, y , y

IntegralConstants

G

x, y G 1 3 x y G 2

x_, y_ r 1 1 2 . G 1 c . G 2 d . C 1 h

c d 3 x y

PDE A11 x,xu x, y 2 A12 x,y u x, y

A22 y,y u x, y A1 x u x, y A2 y u x, y A0 u x, y

5 u x, y 4 u 0,1 x, y 3 u 0,2 x, y 16

2 u 1,0 x, y 10 u 1,1 x, y 3 u 2,0 x, y

Найдем условие невырожденности

Simplify Det x x, y , y x, y , x x, y , y x, y 0

8 b d 0

3

Вводим заменупеременных

u x_, y_ : v x, y , x, y