решения задач 2

Пример 1.1. Найти z-преобразование и область сходимости знакопостоянной экспоненциальной последовательности

x(n) an , 0 n

0, n 0,

где n 0, 1, 2, 3, ... .

Решение. По определению имеем:

X (z)	x(n) z n an z n (a z 1)n.
	n	n 0	n 0

Полученное выражение представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая определяется по формуле:

		S		a1		,
				q
		1
где в данном случае a 1,	а знаменатель q az 1.
1
Таким образом,
	X (z)	1					z
								.
		1 a z 1					z a

Для определения области сходимости воспользуемся результатами, полученными выше.

X (z) X (r e j ) x(n) r n e j n
					n
an r n e j n (a r 1)n e j										n.
n 0									n 0
Отсюда следует, что областью сходимости являются те значения z, для которых
									n
					a				.
				r
n 0
Очевидно, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда
		a							1.
			r

Следовательно, область сходимости последовательности x(n) в данном случае представляет собой часть z-плоскости вне круга радиуса R a , как показано на рисунке 1.15.

z a,

Im[z]	z-плоскость	Im[z–1]	Z–1-плоскость
	|	|
		a-
	a	|1
	|
	Re[z]		Re[z–1]
а)		б)
	Рис. 1.16. Область сходимости

экспоненциальной последовательности

а) в z-плоскости; б) в z–1-плоскости

Из выражения для X(z) видно, что полюс X(z) расположен в точке которая является границей области сходимости. Из последнего выражения видно также, что область сходимости

X(z) в z–1-плоскости лежит внутри круга с радиусом a 1 .

Пример 1.2. С помощью метода вычетов найти дискретную последовательность, соответствующую следующему z-преобразованию:

X (z)	z
		.
	(z 0,75)(z 0,5)

При этом предположим, что контур интегрирования C – окружность z 1.

Решение. Чтобы найти обратное Z-преобразование, найдем вычеты функции Fn (z), которая в данном случае равна

F (z) zn 1X (z)	zn 1z		zn	.
n	(z 0,75)(z 0,5)		(z 0,75)(z 0,5)

Функция Fn (z) имеет полюсы в точках z = 0,75 и z = –0,5. Оба полюса лежат внутри контура интегрирования. Тогда обратное z-преобразование задается в виде:

x(n) Res Fn

(z)

z 0,75

Res Fn (z)

z 0,5

.

Поскольку оба полюса простые (первого порядка), получим

Res Fn (z)

z 0,75 (z 0,75) Fn (z)

z 0,75

(z 0,75)zn

(z 0,75)(z

0,5)

z 0,75

zn

(0,75)n

4

(0,75)n.

(z 0,5)

0,75 0,5

5

z 0,75

Аналогичным образом

Res Fn (z)

z 0,5 (z 0,5) Fn (z)

z 0,5

(z 0,5)zn

(z

0,75)(z 0,5)

z 0,5

zn

4

( 0,5)n.

(z 0,75)

z 0,5

5

4

Тогда x(n)

(0,75)n ( 0,5)n , n 0.

5

Пример 1.3. Найти обратное преобразование функции

X (z)	z 1
		.
	1 0,25z 1 0,375z 2

Решение. Для упрощения дальнейших вычислений выразим вначале z-преобразование через положительные показатели степени z, умножив числитель и знаменатель на z2.

X (z)	z		z
				.
	z2 0, 25z 0,375		(z 0,75)(z 0,5)

Как видно, функция X(z) имеет полюса первого порядка в точках z = 0,75 и z = –0,5. Поскольку порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя, разложение на элементарные дроби выглядит так:

X (z)	z		1 z		2 z
						.
	(z 0,75)(z 0,5)		(z 0,75)		(z 0,5)

Чтобы упростить поиск значений i , разделим правую и левую части последнего уравнения на z:

X (z)		1		1		2
							.
z		(z 0,75)(z 0,5)		(z 0,75)		(z 0,5)

Для нахождения 1, умножим правую и левые части данного уравнения на (z 0,75) и

сделаем замену переменных z 0,75:

					(z 0,75) X (z)									2 (z 0,75)										.
					z									1			(z 0,5)
												z 0,75												z 0,75
Отсюда
				(z 0,75) X (z)										1										1		4	.
		1			z									(z 0,5)									0,75 0,5		5
									z 0,75											z 0,75
Аналогичным образом находится и второй вычет 2:
			(z 0,5) X (z)											1										1				4	.
	2												(z 0,75)									0,5 0,75
					z																				5
							z 0,5										z 0,5

Тогда искомое обратное z-преобразование будет определяться выражением:

x(n) 1 p1n 2 p2n 54 (0,75)n ( 0,5)n , n 0.

Пример 1.4. Пусть z-преобразование задано следующим выражением:

X (z)	1 2z 1 z 2
		.
	1 z 1 0,3561z 2

Необходимо найти его обратное z-преобразование, разложив в степенной ряд путем деления в столбик.

Решение. Вначале рассмотрим функцию X(z) с числителем и знаменателем в виде многочленов с увеличивающейся степенью z–1 и путем обычного деления в столбик разложим ее в степенной ряд.

1		2z 1 z 2			1 z 1 0,3561z 2
1		z 1 0,3561z 2			1 3z 1 3,6439z 2 2,5756z 3 ...

3z 1 0,6439z 2

3z 1 3z 2 1,0683z 3

3,6439z 2 1,0683z 3

3,6439z 2 3,6439z 3 1,2975927z 4

2,5756z 3 1,2975927z 4

2,5756z 3 2,5756z 4 0,9171711z 5

1,2780073z 4 0,9171711z 5

Теперь выразим числитель и знаменатель через положительный показатель степени z в порядке уменьшения, а затем выполним деление в столбик.

Будем иметь

			X (z)			z2 2z 1
						z2 z 0,3561
z2	2z 1				z2 z 0,3561
z2	z 0,3561				1 3z 1 3,6439z 2 2,5756z 3 ...
	3z 0,6439

3z 3 1,0683z 1

3,6439 1,0683z 1

3,6439 3,6439z 1 1, 2975927z 2

2,5756z 1 1, 2975927z 2

В обоих случаях Z-преобразование раскладывается в один и тот же степенной ряд, т. е.

X (z) 1 3z 1 3,6439z 2 2,5756z 3 ... .

Теперь можно непосредственно найти значения соответствующей последовательности x(n)

x(0) 1; x(1) 3; x(2) 3,6439; x(3) 2,5756; ...

Пример 1.5. Используя рекурсивный алгоритм, найти первые четыре члена обратного z- преобразования

X (z)	1 2z 1 z 2
		.
	1 z 1 0,3561z 2

из предыдущего примера.

Решение. Сравнив данное выражение с выражением для X(z)общего вида, получим

a0 1; a1 2; a2 1; b0 1; b1 1; b2 0,3561. M N 2.

Тогда

x(0) a0 1; b0

x(1) a1 x(0) b1 2 1 ( 1) 3; b0

x(2) a2 x(1)b1 x(0)b2 1 3 ( 1) 1 0,3561 3,6439; b0

x(3) a3 x(2)b1 x(1)b2 x(0)b3 b0

1 3,6439 ( 1) 3 0.3561 2,5756.

Следовательно, первые четыре значения обратного z-преобразования будут следующими:

x(0) 1; x(1) 3; x(2) 3,6439; x(3) 2,5756.

Пример 1.6. Найти передаточную функцию цифровой системы, описываемой разностным уравнением

y(n) b1y(n 1) b2 y(n 2) a0x(n) a1x(n 1).

Решение. Используя известные свойства z-преобразования, получим:

Y (z) b z1Y (z) b z2Y (z) a X (z) a z1X (z).
1	2				0	1
Отсюда
	H (z)	Y (z)		a	a z 1
				0	1	.
		X (z)		1 b z 1 b z 2
				1	2

Пример 1.7. Выразить следующую передаточную функцию через ее полюсы и нули, построить диаграмму нулей и полюсов и определить устойчивость соответствующей дискретной системы:

H (z)	1 z1 2z2
		.
	1 1,75z1 1,25z2 0,375z3

Решение. Для удобства выразим H(z) через положительные показатели степени z, а затем разложим ее так, чтобы можно было найти полюсы и нули.

Если умножить числитель и знаменатель на z3– самую высокую степень z, получим

H (z) z3 z2 2z . z3 1,75z2 1,25z 0,375

В результате разложения будем иметь:

(z 2)(z 1) z

H (z) z (0,5 0,5 j) z (0,5 0,5 j) (z 0,75) .

Как видно, полюсы находятся в точках z (0,5 0,5 j) и в точке z 0,75. Нули – в точках z 2, z 1 и z 0. . Соответствующая диаграмма нулей полюсов выглядит следующим образом (рис. 1.17).

Как видно, все полюсы находятся внутри единичной окружности на z-плоскости и, следовательно, дискретная система с данной передаточной функцией является устойчивой.

Im[z]
0,5j
0,5	0,75	2,0	Re[z]
–0,5j

Пример 1.8. Найти передаточную функцию H(z) линейной дискретной системы, диаграмма нулей и полюсов которой выглядит таким образом (рис. 1.18). Решение. Согласно диаграмме нулей и полюсов, нули передаточной функции находятся в точках z j, а полюсы – в точках z (0,5 0,5 j). Отсюда можно записать выражение для передаточной функции:

H (z)		(z j)(z j)
		(z 0,5 0,5 j)			(z 0,5 0,5 j)
		z2 1			1 z 2
						.
	z2 z 0,5			1 z 1 0,5z 2

Данная система, как видно из диаграммы нулей и полюсов, также является устойчивой.

Im[z]
0,5j
0,5	Re[z]
–0,5j

Пример 1.9. Заданы требования к частотной характеристике дискретного полосового фильтра в

виде:

полоса пропускания – (6–10) кГц,

полосы затухания – (0–4) и (12–16) кГц,

частота дискретизации – 32 кГц.

Необходимо:

1.Выразить требования через нормированную частоту f.

2.Перевести требования из стандартных единиц (Гц) в рад/с.

3.Перевести требования п.2 из рад/с в нормированную частоту .

Решение:

1. Граничные частоты, заданные в Гц, можно записать в нормированном виде, просто разделив каждое их значение на частоту дискретизации. В результате получим:

полоса пропускания – (0,1875–0,3125);

полосы затухания – (0–0,125) и (0,375–0,5);

частота дискретизации – 1.

2. Поскольку 2 f , то для того, чтобы перейти к рад/с, каждую граничную частоту необходимо умножить на 2 . Тогда

полоса пропускания – (12 000 – 20 000 ) рад/с,

полосы затухания – (0–8000 ) и (24 000 – 32 000 ) рад/с,

частота дискретизации – 64 000 рад/с.

3. Граничные частоты из п.2 можно представить в нормированном виде, разделив каждую из них на 32 кГц (частоту дискретизации), например,

	12 000	12 000		3	.
		32 000		8

Таким образом, требования приводятся к виду:

	3		5		,
полоса пропускания –
	8		8

					3
полосы затухания –	0			и			,
			4		4

частота дискретизации – 2 .

x2 (0 m)

Пример 1.10. Вычислим периодическую свертку двух последовательностей x1(n) и x2 (n) с

периодом N = 4:

x1(n) ={3,2,1,0}; x2 (n) = {2,2,1,1}.

3

x3 (n) x1(m) x2 (n m), n 0, 1, 2, 3.

m 0

Последовательность x1(n), которая является «фиксированной» представлена на рис. 1.18а, а

сдвигаемая или «скользящая» последовательность x2 (n) – на рис. 1.18 б. Зеркально

~

отображенная последовательность x2 (n) [x2 (0 m) или x2 ( m)] представлена на рис. 1.18

в, а результат ее последовательного сдвига – на рисунках 1.18 г–ж.

Рассмотрим вычисление свертки на одном периоде: первый отсчет x3(0) вычисляется как сумма произведений последовательностей x1(m) и x2 (0 m), второй отсчет x3 (1) – как сумма

	~	(2) –
произведений последовательностей x1(m) и x2 (1 m) и далее, аналогично: x3
последовательностей x1(m) и x2 (2 m),	x3 (3) – x1(m) и x2 (3 m).

Следующий отсчет x3(4) должен вычисляться как произведение последовательностей x1(m) и x2 (4 m). Однако, в силу периодичности x2 (n), последовательности x2 (4 m) и

на интервале [0; N–1] [0;3] оказываются одинаковыми и поэтому результаты вычислений будут повторяться с периодом N = 4.

При этом типе свертки, как видно из рисунка 1.18, когда один период последовательности x2 (n)

выходит из интервала суммирования, следующий период входит в него.

Результаты вычислений свертки для данного примера приведены в таблице 1.5.

Результирующая последовательность x3(n) = {6,10,9,7} представлена на рисунке 1.19.

Вычисление периодической свертки

n	x1(n)	x2 (n)		x3 (m)
0	3	2	x3	(0) x1(0) x2 (0) x1(1) x2 ( 1) x1(2) x2 ( 2) x1(3) x2 ( 3)
			3 2 6
1	2	2	x3	(1) x1(0) x2 (1) x1(1) x2 (0) x1(2) x2 ( 1) x1(3) x2 ( 2)
			3 2 2 2 10
2	1	1	x3	(2) x1(0) x2 (2) x1(1) x2 (1) x1(2) x2 (0) x1(3) x2 (1)
			3 1 2 2 1 2 9
3	0	1	x3	(3) x1(0) x2 (3) x1(1) x2 (2) x1(2) x2 (1) x1(3) x2 (0)
			3 1 2 1 1 2 0 2 7

Пример. Фильтр нижних частот. Требуется разработать цифровой фильтр нижних частот, аппроксимирующий следующую передаточную функцию H(s) аналогового фильтра

H (s)			1
	s 2			2 s 1

Используя метод билинейного z-преобразования, получим передаточную функцию H(z) цифрового фильтра, если частота среза по уровню 3 дБ равна 150 Гц, а частота дискретизации равна 1,28кГц.

Решение. Предварительно деформируем частоту среза аналогового фильтра c 2 150

рад /с:

0 ` tg ( c T ) 0,3857 2

где T	1		1		7,8 10 3 c
	f s		1280

Промасштабированный аналоговый фильтр характеризуется передаточной функцией

H `(s) H (s)

s s / 0 `

1

c

`2

(s /

c

`)2

2 s /

c

` 1

s 2

2

c

`s (

c

`)2

0,1488

s 2 0,5455s 0,1488

После применения билинейного z-преобразования получим:

H (z) H `(s)					0,0878z 2		0,1756z 0,0878			0,0878(1 2z 1 z 2 )
		z 1			z 2	1,0048z 0,3561				1,0048z 1 0,3561z 2
	s							1
		z 1

Отсюда легко найти собственные разностные уравнения и структурную схему полученного цифрового фильтра.