Lektsii_Levakova_po_matanalizu

Оглавление

Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
Признаки Коши и Д’Аламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
Интегральный критерий. Степенной признак сходимости ряда .	8
Признак Раабе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
Знакопеременные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
Признаки Дирихле и Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
Линейная комбинация группировка членов . . . . . . . . . . . .	17
Перестановка членов ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
Произведения рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
Двойные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
Сходимости функциональных последовательностей . . . . . . . .	26
Равномерное сходящиеся функциональные ряды . . . . . . . . .	28
Признаки Дирихле и Абеля равноменой сходимости функцио-
нальных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
Непрерывность суммы функционального ряда Стокс-Зайдель .	32
Почленное интегрирование функционального ряда . . . . . . . .	33
Почленное дифференцирование функционального ряда . . . . .	34
Локально равномерно сходящиеся функциональные ряды . . . .	35
Степенной ряд. Радиус сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
Вычисление радиуса сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
Почленное дифференцирование степенных рядов . . . . . . . . .	43
Композиция степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	45
Разложение основных элементарных функций в степенные ряды	47
Несобственные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . .	51
Признаки сходимости НИ-1 от положительных функций . . . . .	53
Критерий Коши сходимости НИ-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
Признаки Дирихле и Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	57

НИ-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1

2	Оглавление

Методы вычисления несобственных интегралов . . . . . . . . . .	64
Интегралы зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . .	66
Равномерная сходимость к предельной функции . . . . . . . . .	67
Непрерывность предельной функции . . . . . . . . . . . . . . . .	69
Предельный переход под знаком интеграла . . . . . . . . . . . .	70
Непрерывность интеграла зависящего от параметра . . . . . . .	71
Дифференцирование интеграла зависящего от параметра . . . .	72
Теорема о дифференцировании интеграла с пределами интегри-
рования зависящими от параметра . . . . . . . . . . . . . .	74
Равномерная сходимость интегралов зависящих от параметра .	77
Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости НИЗОП-I	80
Предельный переход под знаком несобственного интеграла за-
висящего от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	82
Перестановка порядка интегрирования в повторном интеграле

содним несобственным интегралом . . . . . . . . . . . . . . 85 Дифференцирование несобственного интеграла зависящего от

параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Локально равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Перестановка порядка интегрирования в повторном интеграле

сдвумя несобственными интегралами . . . . . . . . . . . . . 89 Несобственные интегралы второго типа зависящие от параметра 91 Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Интеграл Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Бета-функция	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	97
Гамма-функция	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	100

Ортогональные системы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ряд Фурье по ортогональной системе функций . . . . . . . . . . 108 Лемма Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Периодические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Частичные суммы через интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . 115 Принцип Локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Поточечная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Разложение в ряд Фурье непериодических функций . . . . . . . 121 Неравенство Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Равномерная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Поточечное интерирование ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . 126 Суммирование ряда Фурье методом средних арифметических . 128 Теорема Веерштраса о приближении непрерывных функций по-

линомами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138