Lektsii_Mekhanika_Ch_1

Белорусский Государственный Университет

Факультет радиофизики и компьютерных технологий

Поляков А.В.

МЕХАНИКА

конспект лекций

Введение

Механика изучает наипростейшую форму движения материи - механическую, т.е. изменение положения тел в пространстве с течением времени относительно других тел.

Основной задачей механики является нахождение закона движения тел в зависимости от причин, вызывающих движение. В механике выделяют три основных раздела: кинематика, динамика, статика.

Кинематика – изучает геометрические свойства движения тел без учета причин их вызвавших, а также без учета инертности тел, т.е. их массы.

Динамика – изучает законы движения тел в тесной связи с причинами (силами) и с учетом инертности.

Статика – изучает законы покоя тел. Основные законы статики непосредственно следуют из законов в динамики при определенных ограничениях.

Покой и движение тел относительны, т.е. положение тел можно определить лишь по отношению к другим телам. Поэтому для описания механического движения, прежде всего надо выбрать тело, относительно которого и будет определяться положение изучаемого тела (выбрать тело отсчета). С телом отсчета обычно связывают систему координат, чаще всего декартову прямоугольную систему координат. Начало ее обычно связывают с центром масс тела отсчета, а координатные направления выбирают произвольно, в зависимости от условий задачи (рис. 1).

Положение точки А можно определить координатным способом. Для этого следует определить расстояния от т. А до координатных плоскостей. Например, расстояние от т. А до координатной плоскости OXY – есть координата Z точки.

Положение точки можно задать и векторным способом, проведя из начала координат в то место пространства, где находится точка А, радиус-вектор ra .

Поскольку положение точки меняется с течением времени, для определения характеристик движения необходимо измерять и время в процессе движения. Время необходимо измерять по часам находящимся в том месте пространства, где находится движущаяся точка, т.е. надо в каждой точке пространства, определяемого системой координат, разместить одинаковые часы, предварительно синхронизированные между собой. Такая система координат с набором часов называется системой

отсчета.

1.Кинематика материальной точки.

1. 1. Определение положения точки в пространстве.

Для описания движения точки, т.е. изменения ее положения с течением времени, прежде всего, надо в любой момент времени указать ее местоположение координатным или векторным способом. Оба способа задания положения тела в пространстве эквивалентны, т.е. зная координаты точки, можно указать ее радиус-вектор, и наоборот. Из рис. 1 видно, что радиус-вектор представить можно диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами, численно равными координатам точки Ха, Ya и Za. Отсюда очевидна связь модуля радиус-вектора точки с ее координатами:

Для определения направления радиус-вектора в пространстве можно определить углы α, β, γ, которые радиус-вектор образует с координатными осями OX, OY, и OZ соответственно. Тогда:

(2)

(3)

(4)

Таким образом, зная координаты точки, можно определить величину (1) радиус-вектора, и его направление в пространстве по так называемым направляющим косинусам (2), (3) и (4).

При движении точки ее координаты и радиус-вектор с течением времени изменяются, для определения характеристик движения вводят три вектора: перемещения, скорости и ускорения.

1.2.ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.

Рис. 2 Для определения перемещения точки в пространстве вводят вектор перемещения.

Например, за промежуток времени t точка перемещается из положения 1 в положение 2 (рис. 2),

определяемые векторным способом указанием радиус-векторов r	и r	; вектором перемещения
1	2

называют вектор, проведенный из начального положения 1 в конечное 2 перемещаемого тела. Из векторного треугольника видно, что вектор перемещения равен приращению r радиус-вектора точки.

Наряду с изменением радиус-вектора точки происходит изменение ее координат, т.е. перемещение точки вдоль отдельных координатных направлений. Из рис.3 видно, что

Вектор перемещения за конечный промежуток времени в общем случае не совпадает с направлением движения (направлением касательной к траектории движения). Очевидно, что эти направления будут совпадать в общем случае движения только для бесконечно малых перемещений точки dr.

1.2. ВЕКТОР СКОРОСТИ.

Вектором скорости называют вектор, определяющий быстроту и направление движения. Вектором средней скорости называют отношение вектора перемещения к промежутку времени, за который это перемещение происходит:

(6)

Так как в произвольном случае движения вектор перемещения за конечный промежуток времени не определяет точно направление движения, это не может сделать и вектор средней скорости. Следовательно, необходимо рассматривать перемещения за бесконечно малые промежутки времени.

Вектором истинной (мгновенной) скорости называют предел, к которому стремится значение вектора средней скорости при бесконечном убывании промежутка времени:

(7)

Так как при движении тела в общем случае изменяются все три его координаты, часто бывает удобным рассматривать скорость движения точки вдоль отдельных координатных направлений (компоненты или составляющие вектора скорости). Компоненты средней скорости равны:

(8)

Компоненты же мгновенной скорости определяются как

(9)

Вектор скорости с его компонентами связан такими же по виду соотношениями, как радиус-вектор с координатами точек:

(10)

(11)

1.3. ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ.

Вектором ускорения называют вектор, определяющий быстроту и направление изменения вектора скорости. Аналогично определениям для вектора скорости вводятся понятия среднего и мгновенного ускорения:

(12)

При движении точки по произвольной траектории вектор изменения скорости ϑ и, следовательно, вектор ускорения направлены в сторону вогнутости траектории независимо от того, увеличивается или уменьшается величина скорости (рис. 4, 5):

Рис. 4. Ускоренное движение Рис. 5. Замедленное движение

Как видно из рисунков, в обоих случаях вектор dϑ направлен в сторону вогнутости траектории. При ускоренном движении он отклоняется в сторону движения, при замедленном - в противоположную Для определения мгновенного ускорения надо рассматривать бесконечно малые перемещения, т.е. векторы скорости ϑ1 и ϑ2 в соседних точках траектории. Поэтому вектор ускорения лежит в плоскости, содержащей касательную к траектории в данной точке и прямую, параллельную касательной в соседней точке траектории. Такая плоскость называется соприкасающейся. Поэтому наряду с представлением вектора ускорения компонентами

(13)

можно рассматривать составляющие вектора в соприкасающейся плоскости (т.е. только две компоненты). Для определения этих составляющих в любой точке траектории проводят соприкасавшуюся плоскость и в ней две оси - нормальную On. в сторону вогнутости траектории и касательную Ot по касательной к траектории. Изменение скорости и, соответственно, ускорение можно рассматривать в проекциях на эти оси (рис. 6).

Двигаясь вдоль траектории, за промежуток времени t точка проходит путь S скорость ее изменяется от ϑ до ϑ1, при этом ϑ1 составляет угол Δα (альфа) с осью Ot. По определению мгновенного ускорения:

Рис. 6

(14)

(15)

Преобразуем выражение предела, умножив и разделив его на Δα и S:

Отметим, что при t=0 бесконечно убывает и пройденный путь, и угол ( S=0, a=0). При этом условии значения пределов равны:

Предел же lim	α
		называется кривизной траектории К. Кривизна траектории обратно
t→0	S

пропорциональна радиусу кривизны траектории:

С учетом этих замечаний выражение для нормальной составляющей вектора ускорения принимает вид

(16)

Для выяснения физического смысла ускорения рассмотрим два частных случая движения. Равномерное криволинейное движение (ν=const, k<>0). В этом случае, как видно из (14) и (16),

Неравномерное прямолинейное движение (ν<>соnst, k=0). При таком движении

Следовательно, касательная составляющая ускорения определяет изменение вектора скорости по величине, а нормальная - по направлению.

2. Кинематика твердого тела.

Для нахождения кинематического закона движения, т.е. r=r(t) или х=х(t), у=y(t), z=z(t) надо найти закон движения каждой точки тела, т.е. решить бесконечно большое число уравнений, что сопряжено с непреодолимыми математическими трудностями.

Однако особенности самого твердого тела и особенности его движения могут значительно упростить задачу.

2.1. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ .

Числом степеней свободы называют число независимых механических координат полностью и однозначно определяющих положение тела в пространстве. Или: число независимых механических движений, которые одновременно может совершать тело.

Из таких определений следует, что число степеней свободы для свободной материальной точки равно 3. Для совокупности из n невзаимодействующих между собой точек число степеней свободы равно 3n. Любые связи (взаимодействия) ограничивают число степеней свободы. Например, точка двигается по поверхности, задаваемой уравнением F(x,y,z)=0. В этом случае необходимо задать независимо 2 координаты, третья же не является независимой - она определяется из уравнения поверхности, по которой движется точка. Иначе говоря, для точки, движущейся по поверхности, число степеней свободы равно 2. Для точки, движущейся вдоль линии, число степеней свободы равно 1. Действительно, любую линию можно пересечением двух поверхностей, т.е. для определения положения точки в пространстве нужно указать независимо только одну координату, две другие же определяются из уравнения линии.

Рассмотрим теперь систему точек, связанных жесткими связями. Пусть таких точек 2 (рис. 7). Для определения положения одной из точек системы в пространстве нужно указать 3 координаты, т.е. эта часть системы обладает 3-мя степенями свободы. Если эту точку закрепить неподвижно, у системы будет отнято 3 степени свободы. Вторая точка при этом может двигаться только по поверхности сферы, т.е. обладает 2-мя степенями свободы. Следовательно, вся система обладает 5-ю степенями свободы.

Рис. 7		Рис. 8

Аналогично определяется число степеней свободы для системы, состоящей из трех жестко связанных между собой точек (рис. 8). Если одну из точек системы закрепить, у системы отнимается 3 степени свободы При закреплении второй точки дополнительно отнимается еще а степени свободы При этом третья точка сможет двигаться только вдоль линии, т.е. обладает одной степенью свободы. Поэтому вся система обладает 6-ю степенями свободы. Легко убедиться, что добавляя к такой системе 4-ю, 5-ю и т.д. точки, мы не увеличим число степеней свободы, т.е. максимальное число степеней свободы для системы жестко связанных между собой точек равно. Абсолютно твердое тело как раз представляет собой такую систему, следовательно, обладает 6-ю степенями свободы.

2.2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА.

Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, при движении тела остается параллельной самой себе. Будем рассматривать движение абсолютно твердого тела. Выделим в теле произвольно т. т. А1 и В1. Через промежуток времени t они займут положения А2 и В2 соответственно (рис. 9).

Рис. 9

Эти положения можно задать векторным способом, указав радиус-векторы ra1, rb1, ra2, rb2. Перемещения точек равны ra, и rb . Векторы (A1B1)и (A2B2) равны между собой, так как равны их модули (тело абсолютно твердое) и одинаковы направления (тело перемещается поступательно).

Поэтому перемещения точек А и В равны ( ra = rb) Поскольку точки выбирались произвольно, можно сделать вывод, что при поступательном движении тела все его точки совершают одинаковые перемещения. По определению:

т.е. и скорости всех точек тела одинаковы. Аналогично можно показать, что и ускорения всех точек тела одинаковы. Следовательно, при поступательном движении все точки тела движутся одинаково и для описания движения тела достаточно рассмотреть движение только одной его точки (чаще всего центра масс тела). Пример поступательного движения - движение кузова автомобиля на прямолинейном участке дороги.

2.3.ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ .

Рис. 10 Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором хотя бы две его точки остаются

неподвижными в пространстве. Прямая, проходящая через неподвижные точки тела, называются осью вращения. При вращательном движении все точки тела движутся в параллельных плоскостях, описывая концентрические окружности, центры которых лежат на оси вращения.

Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси Z (рис. 10). Для определения положения этого тела в пространстве через ось вращения проведем две плоскости: 1 - неподвижную и 2 - связанную с телом и вращающуюся вместе с ним. Положение тела задается углом ϕ между плоскостями (угловой координатой). Изменение угловой координаты задает угловое перемещение Δϕ. Кинематический закон движения тела задан, если известна угловая координата в любой момент времени: ϕ=ϕ (t).

Быстрота вращения определяется угловой скоростью. Средней угловой скоростью называют величину:

(17)

а мгновенной:

(18)

для определения ω как вектора необходимо угол поворота (угловое перемещение) также определять как вектор. Вектором углового перемещения называют вектор, направленный вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовых стрелок. По такому определению вектор угловой скорости равен:

(19)

В случае вращения тела, показанном на рис. 10, вектор угловой скорости направлен вверх вдоль оси вращения.

Вектором среднего углового ускорения называют вектор

(20)

а мгновенного		(21)

Легко видеть, что при ускоренном вращении твердого тела вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, а при замедленном - вдоль оси вращения противоположно вектору угловой скорости.

ДВИЖЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Хотя все точки вращающегося тела имеют одинаковые ω				и β	кинематические
характеристики их движения (	v	и a	) различаются. Предположим, что произвольная точка
вращающегося тела находится на	расстоянии г от оси вращения (рис.11).

рис.11

За промежуток времени t проходит по своей траектории путь S . Средняя скорость точки при этом равна:

а мгновенная:

(22)

С учетом направлений векторов угловой и линейной скорости, а также радиус-вектора рассматриваемой точки, получим:

(23)

Ускорение отдельных точек вращающегося твердого тела удобно определять по отдельным его составляющим at, an:

(24)

(25)

Полное ускорение точки равно		(26)

рис 12

Как видно из приведенных соотношений, полное ускорение и отдельные его составляющие зависят от расстояния r до оси вращения. Направление вектора ускорения при таком представлении определяется углом отклонения α вектора ускорения от радиуса вращения (рис. 12).

Из рис. 12 видно, что

(27)

Таким образом, угол отклонения вектора полного ускорения от радиуса вращения одинаков для всех точек тела.

2.5.ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Плоским называют такое движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных заданной неподвижной. Проведем связанную с телом нормаль АА к заданной неподвижной плоскости и, как показано на рис. 13, двигаясь вместе с телом, через промежуток времени dt нормаль занимает положение A1А1. Очевидно, что все точки тела, лежащие на этой нормали, движутся одинаково, в частности, так же, как и точка O пересечения нормали с сечением тела плоскостью, параллельной заданной неподвижной. То же можно сказать о точках тела, лежащих на