Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

ВВЕДЕНИЕ Предмет оптики

Оптика (от греческого optiké наука о зрительных восприятиях) раздел физики, в котором изучаются оптическое излучение (свет), его распространение и явления, наблюдаемые при взаимодействии света и вещества.

Оптическое излучение представляет собой электромагнитные волны и поэтому оптика часть общего учения об электромагнитном поле. Весь спектр электромагнитных волн делится на следующие диапазоны:

Название диапазона		Границы диапазона
волн
	По длине волны , нм		По энергии квантов, эВ
Гамма-излучение	< 0,0012		> 106
Излучение:
рентгеновское	0,0012 – 12		102 – 106
ультрафиолетовое	12 – 380		3,2	– 100
видимое	380	– 760	1,6	– 3,2
инфракрасное	760	– 106	1,2	10-3 – 1,6
Радиоволны	> 106		< 1,2 10-3

Длины волн оптического излучения заключены в диапазоне с условными границами от единиц нанометров до десятых долей миллиметра (диапазон частот 3 1017 – 3 1011 Гц). К оптическому излучению помимо воспринимаемого человеческим глазом видимого излучения (обычно называемого светом) относятся инфракрасное излучение и УФ-излучение. Оптический диапазон длин волн охватывает около 20 октав и ограничен с одной стороны рентгеновскими лучами, а с другой микроволновым диапазоном радиоизлучения.

Такое ограничение условно и в значительной степени определяется общностью технических средств и методов исследования явлений в указанном диапазоне.

Для оптических методов исследования характерно формирование направленных потоков оптического излучения с помощью оптических систем, формирование оптических изображений предметов с помощью приборов, линейные размеры которых много больше длины волны излучения.

В оптическом диапазоне отчетливо проявляются одновременно и волновые и корпускулярные свойства электромагнитного излучения. Волновые свойства оптического излучения позволяют дать объяснение явлениям дифракции, интерференции, поляризации. В то же время процессы фотоэлектрической эмиссии, тепловое излучение невозможно понять, не привлекая представлений об оптическом излучении как о потоке частиц-фотонов. Эта двойственность природы оптического излучения находит общее объяснение в квантовой механике.

Виды оптического излучения классифицируются по следующим признакам:

1.По природе возникновения тепловое, люминесцентное, синхротронное, Вавилова – Черенкова.

2.По особенностям испускания атомов и молекул спонтанное и вынужденное.

3

3.По степени однородности спектрального состава монохроматическое, немонохроматическое.

4.По степени пространственной и временной когерентности.

5. По упорядоченности ориентации векторов E и H	естественное, поляризованное
линейно, по кругу, эллиптически поляризованное.

По традиции оптику принято подразделять на геометрическую, физическую, физиологическую.

Геометрическая оптика не рассматривает вопрос о природе света, а исходит из эмпирических законов его распространения. Здесь используется представление о световых лучах, которые преломляются и отражаются на границах сред с разными оптическими свойствами и прямолинейных в оптически однородной среде.

Методы геометрической оптики позволяют изучать условия формирования оптического изображения объекта как совокупность изображений отдельных его точек и объяснить многие явления, связанные с прохождением оптического излучения в различных средах, в том числе неоднородных (например, искривление лучей в земной атмосфере вследствие непостоянства ее показателя преломления миражи, радуга).

Наибольшее значение геометрическая оптика с частичным привлечением волновой оптики имеет для расчета и конструирования оптических приборов, от очковых линз до сложных объективов и огромных астрономических инструментов. Благодаря развитию и вычислительной математики и применению современной вычислительной техники такие расчеты достигли высокого совершенства, и сформировалось отдельное направление, получившее название вычислительной оптики.

Физическая оптика рассматривает вопросы, связанные с процессами испускания света, природы света и световых явлений.

Волновая оптика изучает совокупность явлений, в которых проявляется волновая природа света. Ее математическим основанием служит общее уравнение классической электродинамики уравнение Максвелла. Свойства среды при этом характеризуются макроскопическими материальными константами: значением диэлектрической проницаемости и магнитной проницаемости , входящими в уравнение Максвелла в виде коэффициентов. Эти значения однозначно определяет показатель преломления среды n.

Феноменологическая волновая оптика оставляет в стороне вопрос о связи величин и , определяемых экспериментально, со структурой вещества. Она позволяет объяснить все эмпирические законы геометрической оптики и установить границы ее применимости. Но в отличие от геометрической оптики она дает возможность рассматривать процессы распространения света не только при размерах формирующих световые пучки систем, значительно больше длины волны излучения, но и при любом соотношении между ними. Во многих случаях решение конкретных задач методами волновой оптики оказывается чрезвычайно сложным. Поэтому получила развитие квазиоптика, в которой процессы распространения, преломления и отражения волновых пучков с сечением > описываются геометрически, но учитываются дифракционные вклады и, тем самым, волновая природа излучения.

Огромную роль в развитии волновой оптики сыграло установление связи и с молекулярной и кристаллической структурой вещества. Это позволило выйти далеко

4

за рамки феноменологического описания оптических явлений и объяснить все процессы, сопровождающие распространение света в рассеивающих и анизотропных средах и вблизи границ раздела, а также зависимость от оптических свойств сред, влияние на световые явления температуры, давления, звука, электрических, магнитных полей и многих других факторов.

В классической волновой оптике и , n считаются независимыми от интенсивности света. Соответствующие оптические процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Однако во многих случаях это утверждение несправедливо, что приводит к совершенно новым явлениям и закономерностям, таким как изменение угла преломления светового луча на границе двух сред при изменении интенсивности, сжатие и расширение световых пучков (самофокусировка и самодифракция света), изменение спектрального состава света, проходящего через нелинейную среду (генерация оптических гармоник, взаимодействие световых пучков в результате модуляции светом величины ) и появление в излучении комбинированных частот (параметрические явления). Все эти явления рассматриваются нелинейной оптикой, получившей большое практическое значение в связи с созданием лазеров.

Хорошо описывая распространение света в различных материальных средах, волновая оптика не смогла удовлетворительно объяснить процессы его испускания и поглощения. Исследования этих процессов (фотоэффект, фотохимическое превращение молекул, закономерности оптических спектров) и общие термодинамические соображения о взаимодействии электромагнитного поля с веществом привели к выводу, что элементарная система (атом, молекула) может испускать или поглощать энергию электромагнитного поля лишь дискретными порциями (квантами), пропорциональными частоте излучения. Световому потоку сопоставляется поток квантов света, распространяющихся в вакууме со скоростью c. Эффекты, в которых при взаимодействии света и вещества проявляются квантовые свойства элементарных систем, рассматриваются методами квантовой оптики. Эти методы развиты в квантовой механике и квантовой электродинамике.

Двойственность природы света, то есть наличие у него одновременно характерных черт, присущих и волнам и частицам, является частным случаем корпускулярно-волнового дуализма. Эта концепция была впервые сформулирована для оптического излучения, затем она утвердилась как универсальная для всех частиц микромира и затем была экспериментально подтверждена для радиоизлучения (квантовая электроника). Открытие квантовых явлений в радиофизике во многом стерло резкую границу между радиофизикой и оптикой. Сначала в радиофизике, а затем и в физической оптике сформировалось новое направление, связанное с генерацией вынужденного излучения и созданием квантовых усилителей и квантовых генераторов (мазеров и лазеров). В отличие от излучения обычных источников света излучение лазеров обладает большой временной и пространственной упорядоченностью (когерентностью) высокой монохроматичностью ( / 10 – 14), предельно малой расходимостью, что позволяет получить при фокусировке недопустимые для каких-либо других устройств напряженности электрического поля, превышающие внутриатомные.

Появление лазеров стимулировало пересмотр и развитие традиционных и возникновение новых направлений в физической оптике. Оказалось возможным реализовать практически идеи голографии, большую роль стали играть исследования

5

статистики излучения (статистическая оптика), получили развитие методы создания узконаправленных когерентных пучков света и управление ими (когерентная оптика). Дальнейшее развитие получили методы и средства автоматического управления системами, позволяющие компенсировать искажения световых пучков, проходящих через неоднородные среды (адаптивная оптика).

Особую важность приобрело изучение круга явлений, связанных с воздействием интенсивных световых потоков на вещество. Начала быстро развиваться лазерная технология. Развитие лазерной техники потребовало разработки новых оптических материалов, пропускающих без их повреждения интенсивные световые потоки (силовая оптика).

Физиологическая оптика изучает строение и функционирование всего аппарата зрения от глаза до коры головного мозга. Здесь разрабатывается теория зрения, восприятие света и цвета. Результаты используются в медицине, физиологии и в технике при разработке разнообразных устройств, от осветительных приборов и очков до цветного кино и телевидения.

6

1.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

1.1Электромагнитная природа света. Свойства электромаг-

нитных волн

Существование электромагнитных волн было предсказано теоретически Максвеллом как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость

электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине

1

	0
		0

. Ее числовое

значение почти совпало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям Физо в 1849 г., 3,15 108 м/с. Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн – из экспериментов по поляризации света (Юнг 1817г.). Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Волновое уравнение

Уравнения Максвелла для вакуума при ( = 0) имеют следующий вид

	rot H		D
			t
	rot E				B
					t
		div E 0
		div B 0
	D			E
			0			,
	B			H
			0

отсутствии токов (j = 0) и зарядов

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где 0 и 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные. Уравнение (1.1) показывает, что магнитное поле порождается переменным электрическим полем. Уравнение (1.2) представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции. Следующее уравнение выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение (1.4) постулирует отсутствие магнитных зарядов. Применяя к обеим частям уравнения (1.1) операцию rot, получаем

	1		rot rot B 0		rot E ,	(1.6)
		0		t

где учтены соотношения (1.5) и принято во внимание, что порядок дифференцирования по независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить. Применяя известное из векторного анализа соотношение для дифференциальных операторов, запишем

rot rot B grad div B B .

7

Здесь – оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается в

виде

				2					2				2
															.
			x		2			y		2		z		2
Поскольку в рассмотренном случае										0,		то из соотношения (1.6) с учетом
						div B
уравнения (1.2) получаем уравнение для вектора											B	:
		B					1 2B				0 ,				(1.7)
							c2 t2
где c 1/	0 0 – скорость света в вакууме.

Аналогично, применяя операцию уравнение для вектора E :

E

rot к обеим частям равенства (1.2), получим

		1			2	E
							0 .	(1.8)
		c	2	t		2

Уравнения (1.7), (1.8) линейны по полю. Поэтому они эквивалентны совокупности скалярных уравнений такого же вида, в каждое из которых входит только одна декартова компонента напряженности электрического или магнитного полей

E		1 2E
			2		0
		c		t	2

и

B		1 2B
			2		0
		c		t	2

( = x, y, z).

(1.9)

Уравнения (1.7), (1.8), (1.9) называются волновыми уравнениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.

Плоская волна

Предположим, что произвольная компонента поля Ф (например, Еα или Вα) зависит лишь от одной пространственной координаты, например z, и времени, т.е. Ф = Ф(z,t). Тогда уравнение (1.9) упростится и примет вид

	2		1 2		0 .	(1.10)
	z2		c2 t2
	Уравнению (1.10) удовлетворяет функция вида:
	1(t z / c) 2 (t z / c) ,					(1.11)

где Ф1 и Ф2 – произвольные (дифференцируемые) функции своих аргументов. Формула (1.11) выражает общее решение уравнения (1.10). Она описывает

суперпозицию двух волн. Первая из них распространяется вдоль, а вторая – против оси z. Скорости обеих волн одинаковы и равны с. Действительно, возмущение Ф1, находившееся в момент времени t1 в точке z1, в момент t2 приходит в точку z2, определяемую соотношением t1 – z1/c = t2 – z2/c. Отсюда при t2 > t1 имеем z2 > z1, и скорость распространения волнового возмущения равна

υ = (z2 – z1)/(t2 – t1) = c.

Функции Ф1 = Ф1(z, t) и Ф2 = Ф2(z, t) описывают плоские волны, так как волновое возмущение имеет одно и то же значение во всех точках бесконечной

8

плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Конкретный вид функций Ф1 и Ф2 определяется начальными и граничными условиями задачи.

Плоская гармоническая волна

Конкретизируем закон изменения светового поля во времени и в пространстве.Рассмотрим, например, декартову компоненту поля E(z, t). Пусть при z = 0 E(0, t) = E0cos(t), т. е. напряженность светового поля изменяется по гармоническому закону. Тогда в соответствии с (1.11) в области с z ≥ 0 будет распространяться плоская гармоническая волна

E(z,t) E0 cos[ (t z / c)] E0 cos( t kz) E0 cos[ t (z)] . (1.12)

В этом выражении Е0 – амплитуда волны, – круговая частота, связанная с периодом Т и частотой колебаний = 1/Т соотношениями

2 / T

Параметры k и , определяемые как

	k			2	2	/ ,
		c		c

2

.

cT

c /

,

есть соответственно волновое число и длина волны. Величина = t – kz называется полной фазой волны и зависит от t и z. Фазу (z) = kz, связанную с изменением пути, пройденного волной, называют набегом фазы или фазовым сдвигом.

Геометрическое место точек с одинаковым значением фазы называют волновым фронтом. В плоской гармонической волне волновой фронт представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется в произвольном

направлении, задаваемом единичным вектором

N

. Поверхности постоянных фаз

имеют вид плоскостей, перпендикулярных вектору	N	(рис. 1. 1). Введем волновой
вектор

k c N .

Вектор k указывает направление распространения волны, а его модуль равен волновому числу k = /c. Обозначим расстояние, пройденное волной в направлении

N	через , и проведем вектор r	из начала координат в произвольную точку
волнового фронта. Тогда, как видно из рис. 1.1,
		N r .

Используя последнее соотношение, получаем

k k N r k r.

Теперь поле волны можно представить в виде

E(r ,t) E0 cos t k r .

(1.13)

9

x	Рис. 1
	r
	N
	z
y

Р и с. 1.1

При гармоническом изменении во времени напряженностей электрического и магнитного полей частота остается постоянной. В оптике часто говорят не о гармонической, а о монохроматической волне. Монохроматический означает “одноцветный”. Термин этот возник потому, что в видимом диапазоне глаз реагирует на изменение частоты излучения как на изменение цвета.

В дальнейшем для зависимости напряженности поля в волне от координат и времени вместо (1.13) удобно использовать комплексную запись, принимая во внимание формулу Эйлера

e	i	cos i sin ,
E(r,t)			Re[E0e		i( t k r )			].	(1.14)
Величина Е0 в (1.14) может быть как действительной, так и комплексной.
Учитывая, что в общем случае:
E0 E0 e	i	и tg = Im(E0)/Re(E0),
запишем выражение (1.14) в виде
E(r, t)			E0 Re			e	i( t k r )		,

где |E0| – амплитуда плоской волны, – начальная фаза колебаний в точке

r

= 0.

Знак “Re” и знак модуля при записи будем опускать, не забывая, однако, о том, что физический смысл имеет лишь вещественная часть используемых комплексных выражений.

E(r,t) E0e	i( t k r )	.	(1.15)
Комплексная запись особенно удобна	потому, что при		ее использовании

дифференцирование напряженности поля по времени /t сводится, как видно из (1.15), просто к умножению на i . Скалярное произведение k r можно записать в

виде (kx·x + ky·y + kz·z), поэтому дифференцирование

E r ,t , например, по

координате x сводится к умножению

E r ,t

на (ikx).

Сферическая волна

Нетрудно убедиться, что уравнениям (1.9) удовлетворяют и волны вида

E E (t, r),

H H (t, r) ,

10

в которых напряженности полей зависят только от одной пространственной переменной – модуля радиус-вектора.

r	x	2	y	2	z	2	.

Такие волны называют сферическими. Рассмотрим скалярное волновое уравнение

				2
		1					0
		c	2	t		2

и будем искать его решение вида Ф = Ф(t,r). Для сферически симметричной функции Ф оператор Лапласа имеет вид

							1		2
												(r).
							r r			2
Поэтому волновое уравнение перепишется следующим образом
1	2															2
				(r)								1							.
r r		2									c		2			t		2
Введем вспомогательную функцию								F = rФ. Тогда последнее уравнение
преобразуется к виду, аналогичному (1.10)
			2		F			1						2		F
	r					2		c	2			t				2

и, следовательно, его общее решение представится в виде суперпозиции двух волн, бегущих во взаимно противоположных направлениях

F(r,t) F (t r / c) F (t r / c).
1			2
Возвращаясь к искомой функции Ф, получим
Ф(r,t)=	F1(t - r/c)	+	F2 (t + r/c)		(1.16)
	r		r

Выражение (1.16) описывает две сферические волны. Первое слагаемое представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения значений r, т.е. от центра, где расположен точечный источник. Такая волна называется расходящейся. Второе слагаемое описывает волну, движущуюся в направлении уменьшения значения r, т.е. к центру. Такая волна называется сходящейся. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным.

Сферическая гармоническая волна

Если на сфере радиуса r0 задать гармоническое возмущение, синфазное во всех точках сферы

(r , t)		A0	cos (t r			/ c) ,
0		r0		0
то возбуждаемая таким источником		расходящаяся			волна при r > r0 может быть
представлена в виде:

11

A			A
(r,t)	0	cos (t r / c)		0	cos t kr .
	r			r

(1.17)

Здесь в отличие от плоской волны амплитуда зависит от координаты, а фазовый и амплитудный фронты представляют собой сферы.

В комплексном представлении расходящаяся сферическая волна запишется так:

(r, t)	A	ei( t kr).
	0
	r

(1.18)

Наряду с плоской, сферическая гармоническая волна является эталонной волной, имеющей большое значение для оптики. Поэтому и сделан особый акцент на описание этих волновых процессов. Хотя сами по себе эти волны являются в значительной степени математической абстракцией, их роль в описании оптических явлений трудно переоценить. Во многих случаях реальный световой пучок можно разложить в спектр по плоским гармоническим волнам. Излучение реальной среды, состоящей из возбужденных атомов и молекул, часто можно представить как суперпозицию сферических волн.

Свойства плоской гармонической электромагнитной волны

Для анализа структуры плоской электромагнитной волны удобно записать уравнения Максвелла в символической форме с помощью векторного дифференциального оператора “набла”.

		x0		y0		z0		,
			x		y		z
где	x0 , y0 , z0	– единичные векторы, направленные вдоль осей x,
системы координат.

Принимая во внимание, что для произвольного векторного поля

y, z декартовой

A

rotA A

divA A

уравнения Максвелла (1.1) – (1.4) можно записать так:

B						E		,
					0
0						t
		E			B
							,
					t
				B 0,
		E 0.

Будем искать решение этих уравнений в виде плоских гармонических волн

E(r,t) E0ei( t k r ) B(r ,t) B0ei( t k r ) ,

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

12