- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
2. Сумма двух векторов:
Есть вектор, получаемый из слагаемых при помощи правила параллелограмма или правила треугольника.
11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
Коллинеарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же прямой.
Примечание: если из двух коллинеарных векторов направление одинаковое, то вектора сонаправленные, а если противоположные, то называется противоположно-направленные.
Компланарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.
Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.
Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.
Базис пространства -совокупность лин независ векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пр-ва.
Базис 3x мерного пр-ва образует любая тройка некомпланарных векторов пр-ва.
Если образуют базис в пространстве, то любой векториз этого пространства может быть представлен:
Примечание: для конкретно-заданного базиса не всегда просто бывает найти коэффициент .
Проще всего это сделать когда базис является ортонормированным.
Понятие ортонормированности распадается на понятия ортогональности и нормированности.
( перпендикулярность и длина=1).
В 3-х мерном пространстве ортогональный базис состоит из 3 взаимноперпендикулярных векторов.
Ортонормированный базис состоит из 3-х взаимноперпендикулярных векторов, длина каждого из которых = 1.
12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними.
Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось.
Свойства:
1. a*b=b*a
2. (C*a)*b=C*(a*b)
3. a(b+c)=a*c+b*c;
4.
5. (a, b) = 0 =>
6. ij = jk = kj = 0.
Теорема 1: в пространстве R3 в ортонормированном базисе :
Следствие из Т1:
Для вектора :
Механический смысл скалярного произведения:
Пусть - сила, которая перемещает тело в направлении вектораS ( на длину ) =>
13. векторное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.
Векторное произведение вектора a на b - это c, который:
1)с перпендикулярно a и b;
2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах |c|=|a|*|b|*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.
Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:
1. i*j=k;
2. j*k=i;
3. k*i=j;
Свойства:
1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ()
2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.
Пункты: 1)условие коллиниарности: a//b => a*b=0;
2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар=sin. Sтр=0,5*
3)определение момента силы. |M|=|F|*|S|.
Теорема:
,
Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Смешанное произведение 3х векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком + (-), если эти векторы образуют правую (левую) тройку.
Свойства:
1)смешанное произв не меняется при циклической перестановке его множителей.
(.
2)смешанное произв меняет знак при перемене мест любых букв любых сомножителей
3)смешанное произ ненулевых векторов =0 тога, когда они компланарны.
Смешанное произ векторов = определителю 3-его порядка, составленного из координат перемноженных векторов.
Приложение. 1)определение взаимных ориентаций векторов в пространстве: если >0 (<0), то правая (левая) тройка векторов
2)комплонарность векторов: компланарны, когда их произв =0.
3)Геометрический смысл: Vпараллелепипеда=.Vтр=1/6().
Вычисление: ,
Прямая на плоскости.
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствует в прямоугольной система координат разные виды ее уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Пусть: tg=k, , тогда:y = kx + b.
Число tg=k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение – уравнением прямой с угловым коэффициентом.