- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
35. Предел функции.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:
Определение ( по Коши): число А называется пределом функции в точке х0 , если для любого положительного найдется такое положительное число, что для всех хх0 , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство.
Коротко это определение:
.
Предел функции при :
Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М() >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство. Коротко:
36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция называетсябесконечно большой при , если для любого числа M>0 существует число =(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<, выполняется неравенство. Записывают. Коротко:
Функция называетсябесконечно большой при , если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство. Коротко:
Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.
Бесконечно малая функция: Функция называется бесконечно малой при, если : для любого числа>0 найдется число>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<, выполняется неравенство.
Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.
37. Односторонние пределы.
число А называется пределом функции слева в точкеx0, если для любого число >0 существует число=()>0 такое, что привыполняется неравенство.
Предел слева записывают так:
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
38. Сравнение бесконечно малых.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:
1. если , тоиназываютсябесконечно малыми одного порядка.
2. если тоназываетсябесконечно малой более высокого порядка, чем .
3. если тоназываетсябесконечно малой более низкого порядка, чем .
4. если не существует, тоиназываютсянесравнимыми бесконечно малыми.
Таковы же правила сравнения б.м.ф. при и.
Эквивалентные бесконечно малые:
Sinx |
x, при |
ex - 1 |
x, |
tgx |
x, |
ax - 1 |
x*lna, |
arcsinx |
x, |
ln(1+x) |
x, |
arctgx |
x, |
loga(1+x) |
x*logae |
1-cosx |
, |
(1+x)k - 1 |
k*x, k>0, |