3.2.8. Задание 8. Решение системы линейных алгебраических уравнений

3.2.8.1. Условие задания 8

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, методом Крамера и с использованием функции lsolve().. Задачи приводятся в таблице 14.

Таблица 14

Условия задач для задания 8

№ задачи	Выражение	№ задачи	Выражение
1	8.2x1+3.4x2+1.2x3 -1.5x4=-13.3 -1.1x1+7.7x2+1.5x3 -3.2x4=8.4 -0.5x1+1.2x2+8.6x3+1.8x4=-11.6 -1.2x1- 0.8x2- 0.6x3+ 10x4=5.7	2	8.5x1 - 0.5x2 + 0,8x3 - 1.4x4=4.8 -3.2x1+11.3x2 + 1.2x3 - 1.1x4=12.4 -1.7x1 - 0.6x2+10.8x3 - 1.2x4=11.5 -2.1x1 + 1.6x2 - 3.6x3 + 10x4=-8.8
3	8.7x1- 2.3x2+ 4.4x3+0.5x4=21.3 -2.4x1+ 10x2+ 3.1x3- 1.5x4=-1.8 -0.6x1- 1.5x2 + 10x3+2.3x4=14.4 -1.2x1+0.8x2+ 0.5x3+ 10x4=24.4	4	10x1 - 2.2x2 + 1.1x3 - 3.1x4=27 -3.8x1 + 10x2 + 1.2x3 - 2.2x4=-15 -1.1x1 - 2.3x2 + 10x3 +4.1x4=12 -1.7x1 + 2.1x2 - 3.1x3 + 10x4=-1.7
5	8.3x1- 3.1x2+ 1.8x3- 2.2x4=-17.1 2.1x1+ 10x2 - 3.3x3- 2.2x4=6.2 -3.2x1+1.8x2+ 9.5x3+1.9x4=-8.9 -1.2x1- 2.8x2+ 1.4x3+ 10x4=9.4	6	9.3x1 + 0.8x2 - 1.1x3+ 1.8x4=-5.1 -1.8x1 + 4.8x2 - 2.1x4=11.7 -1.3x1 - 3.1x2 + 10x3 =-10.2 -0.8x1 + 3.3x3+ 7.2x4=-2.8
7	7.7x1+1.4x2 - 0.6x3+ 1.2x4=12.1 -1.2x1+ 10x2 - 3.2x3+ 1.8x4=-7.2 -0.8x1+1.2x2+ 7.7x3 - 3.2x4=-5.8 -2.5x1- 2.2x2 - 1.4x3+ 8,6x4=15.6	8	9.5x1 + 0.6x2+ 1.2x3 - 1.4x4=-21.7 -0.4x1+ 11.2x2- 0.8x3 - 1.1x4=14 -3.4x1- 0.8x2+10.6x3 - 1.4x4=-21 -1.1x1 - 1.2x2 + 10.3x4=-8
9	8.7x1- 2.7x2+ 2.2x3+ 1.8x4=12.1 2.1x1+ 10x2+ 1.5x3 - 1.8x4=-3.3 -1.2x1- 1.3x2+13.3x3- 1.8x4=-4.8 -3.3x1+0.5x2- 0.6x3+12.8x4=-1.7	10	9.2x1 + 0.3x2 + 0.4x4=-12 6.0x2 - 2.7x3 +0.8x4=8.1 -3.3x1 + 10.7x3 - 2.1x4=-9.2 -1.1x1 - 0.3x3 +4.2x4=1.7
11	8.6x1 - 2.3x2 - 1.8x3 - 1.7x4=-14.2 -1.2x1+11.4x2 - 0.8x3 - 0.9x4=-8.3 -1.6x1 - 2.4x2 + 10x3 +3.5x4=12.1 -2.3x1 + 0.8x2 - 0.5x3 +7.5x4=6.5	12	8.8x1 + 2.3x2 - 2.5x3 + 1.6x4=12.4 -1.4x1 + 6.6x2 + 1.8x3 - 2.4x4=-8.9 -3.3x1 - 0.3x2 + 8.4x3 + 3.2x4=11.5 -1.2x1 + 0.5x2 + 8.5x4=-5.7
13	7.6x1 - 2.1x2 - 0.6x3 + 3.4x4=14.2 -0.5x1 + 10x2 - 3.2x3 - 1.2x4=-5.7 -3.5x1 +2.7x2 + 10x3 + 0.5x4=6.8 -1.2x1 - 4.3x2 - 0.4x3+12.1x4=-21.4	14	9.9x1 - 0.2x2 + 0.2x3 - 0.8x4=-13 -0.3x1 + 7.2x2 - 3.3x3 + 0.7x4=11 -0.9x1 - 1.3x2 + 5.8x3 - 2.8x4=-17 -1.9x1 + 2.3x2 - 0.8x3 + 6.3x4=15
15	8.3x1 - 02.7x2 + 1.3x3 + 1.1x4=-14.2 -1.3x1 +11.2x2 - 0.9x3 + 0.6x4=4.8 -1.1x1 - 0.5x2+10.2x3 - 1.2x4=-23.4 -1.3x1 - 1.8x2 - 2.4x3 + 5.7x4=7.2

Рекомендации по выполнению задания 8

Для решения системы линейных алгебраических уравнений используются 3 метода. Первый метод - метод обратной матрицы. Суть которого определяется выражением

х=А^-1*d, где х – вектор искомых неизвестных, А – матрица коэффициентов при неизвестных, d – вектор свободных членов.

Второй метод - метод Крамера. Данный метод основан на вычислении определителей. Значений неизвестных определяются по формулам

где - определитель матрицы коэффициентов при неизвестных (А);

_i– определитель добавочной матрицы, получаемой путем замены i – го столбца в матрице коэффициентов при неизвестных на вектор свободных членов.

n – порядок системы линейных алгебраических уравнений, в нашем случае n=4.

В данном методе при формировании добавочной матрицы удобно воспользоваться функциями submatrix() и augment(),stack().Выделить подматрицу из матрицы М можно посредством функцииsubmatrix (M, r1, r2, c1, c2),гдеМ – исходная матрица,r1 и r2–нижний и верхний номер строки матрицыМ, включаемых в результирующую подматрицу, ас1 и с2– нижней и верхний номер столбца матрицыМ, включаемых в результирующую подматрицу. Слияние матриц можно осуществить используя функцииaugment(A,B,…)иstack(A,B,…).Первая функцияaugment(A,B,…)предназначена для слияния матрицА, Ви т.д. слева направо. Причем количество строк в матрицах должно быть одинаково. Вторая функцияstack(A,B,…)выполняет слияние матриц сверху вниз. Количество столбцов в матрицах должно быть так же одинаково. Данные функции могут быть применены и к векторам.

Третий метод позволяет определить вектор-столбец искомых неизвестных хна основе функцииlsolve(А,d), гдеА– матрица коэффициентов при неизвестных, аd – вектор свободных членов.

Пример решения задачи задания 4

Условие задачи

На заданном интервале [0;3] локализовать корни, используя график функции в декартовой системе координат. Найти корни уравненияf(x)=0 с использованием функции root(). Произвести расчеты с различной погрешностью (TOL= 10^-3,TOL= 10^-10) Отобразить результаты с точностью до 15 знаков после десятичной точки. Условия задачи приводятся в таблице 9.