Силабус: Алгебра и Геометрия / Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)_Кузнецов Л.А_1983 PDF / 8. Векторный анализ

a27 1 xi 34 y 3 j 20 zk,

6.18.P: 3x y z 1.

9

a xi 2j 2 zk,

6.19.

6.20.

6.21.

6.23.

6.24.

6.26.

P: x2 y3 z 1.

a 4 xi 7 yj 2z 1 k,

P: 2x y3 2z 1. a 3 xi 6 yj 10k,

P: 2x y z3 1.

a 21 1 xi 62 yj 1 2 z k,

P: 8x y2 z3 1.

a xi 2 yj 2k,

P: x2 y4 z3 1.

a 7 xi 4y 1 j 2 zk,

P: x3 2y z 1. a 6 xi 3 yj 10k,

6.22.

6.25.

a xi 2yj k,

P: 2x y6 z 1.

a 9 xi 2 yj 8k,

P: 2x 8y z3 1.

6.27.

P: 2x y 2 z 3 1.

a 1 xi 2 yj 1 z k,

	6.28.	x		y		z
	P:						1.
		4
			2		3

6.29.

6.30.

6.31.

a xi yj 4 2z k, 2

P: x y z 1. 3 4

a 7 xi 4 yj 2 z 1 k,

P: x3 y4 z 1.

a 5 xi 1 2y j 4 zk,

P: x2 4y z3 1.

Задача 7. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

11

7.1. a ez 2x i ex j ey k, S : x y z 1, x 0, y 0, z 0.

7.2. a 3z2 x i ex 2y j 2z xy k, S : x2 y2 z2, z 1, z 4.

7.3.a ln y 7x i sinz 2y j ey 2z k, S : x2 y2 z2 2x 2y 2z 2.

7.4.a cosz 3x i x 2y j 3z y2 k, S : z2 36 x2 y2 , z 6.

7.5. a e z x i xz 3y j z x2 k, S : 2x y z 2, x 0, y 0, z 0.

7.6. a 6x cosy i ex z j 2y 3z k, S : x2 y2 z2, z 1, z 2.

7.7.a 4x 2y2 i lnz 4y j x 3z4 k, S : x2 y2 z2 2x 3.

7.8.a 1 z i 4y x j xyk, S : z2 4 x2 y2 , z 3.

7.9. a z x i x y j y2 z k, S : 3x 2y z 6, x 0, y 0, z 0.

7.10.a yz x i x2 y j xy2 z k, S : x2 y2 z2 2z.

7.11.a e2y x i x 2y j y2 3z k, S : x y z 1, x 0, y 0, z 0.

7.12.a z 2x i ex 3y j y xk, S : x2 y2 z2, z 2, z 5.

7.13. a ez x 4 i lnx y	4 j	z	k, S : x2 y2 z2 2x 2y 2z 2.
	4

7.14.a 3x 2z i z 2y j 1 2z k, S : z2 4 x2 y2 , z 2.

7.15.a ey 2x i x y j 2z 1 k, S : x 2y z 2, x 0, y 0, z 0.

7.16. a x y2 i xz y j x2 1 z k, S : x2 y2 z2, z 2, z 3.

7.17.a ey 2x i xz y j 14 exy z k, S : x2 y2 z2 2y 3.

7.18.a z y i 3xj 3z 5x k, S : z2 8 x2 y2 , z 2.

7.19.a 8yz x i x2 1 j xy 2z k, S : 2x 3y z 6, x 0, y 0, z 0.

7.20.a y z2 i x2 3y j xyk, S : x2 y2 z2 2x.

7.21.a 2yz x i xz 2y j x2 z k, S : y x z 1, x 0, y 0, z 0.

12

7.22. a sinz 2x i sinx 3y j sin y 2z k, S :

x2 y2

z2, z 3, z 6.

x

z

2

2

2

7.23. a cosz x 4 i e

y

4 j

1 k, S :

x

y

z

2z 3.

4

2

2

2

7.24. a

1 x i 2x y j sinx z k, S :

z

x

y

,

z

z 1.

7.25. a

5x 6y i 11x2

2y j x2 4z k, S :

x y 2z 2,

y 0, z 0.

x 0,

a y2 z2 6x i ez 2y x j x y z k, S : x2 y2 z2,

7.26.

z 1, z 3.

7.27.a 1 x z i 1 x z y j xy 2 k, 2 4

7.28.a 3yz x i x2 y j 6z 1 k, S :

S : x2 y2 z2 4x 2y 4z 8.

z2 9 x2 y2 ,

z 3.

	7.29. a yz 2x i sinx y j x 2z k, S :			x 2y 3z 6,
					y 0, z 0.
				x 0,
	7.30. a 8x 1 i zx 4y j ex z k, S : x2 y2 z2				2y.
				2x 2y z 4,
	7.31. a 2y 5x i x 1 j 2 xy 2z k, S :
					y 0, z 0.
				x 0,

Задача 8. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

a x z i z y k, a 2xi zk,

8.1. x2 y2 9,

S :

z x, z 0 z 0 .

a 2xi 2yj zk,

8.3.		2		2
	y x , y 4x , y 1 x 0
S :			z 0.
	z y,

z 3x2 2y2 1,

8.2.S :

x2 y2 4, z 0.

a3xi zj,

z 6 x2 y2,

8.4.S :

z2 x2 y2 z 0 .

13

az y i yj xk,

8.5.S : x2 y2 2y,

y 2.

a2 z y j x z k,

8.7.z x2 3y2 1, z 0, S :

x2 y2 1.

azi 4yj 2xk,

8.9.z x2 y2,

S :

z 1.

a xi 2yj xk,
8.11.	x y 1, x 0,		y 0,
S :		z 0.
	z x2 y2,

a6xi 2yj zk,

z 3 2 x2 y2 ,

S :	y2	z 0 .
z x2

ay 2z i yj 3xk,

8.15.3z 27 2 x2 y2 ,

S :

z2 x2 y2, z 0 .

a yi 5yj zk,

8.17.		2	y	2	1,
	x
S :
	z x, z 0 z 0 .
a yi x 2y j xk,
	x2 y2				2x,
8.19.

S : z x2 y2,

z 0.

a xi x 2y j yk,

8.6.		2	y	2	1,	z 0,
	S : x
	x 2y 3z					6.

axi zj yk,

z 4 2 x2 y2 ,

8.8.S :

z 2 x2 y2 .

a 4xi 2yj zk,
8.10.	3x 2y 12,	3x y 6, y 0,
S :		z 0.
	x y z 6,

azi xj zk,

8.12.4z x2 y2,

S :

z 4.

a z y i x z j zk,

8.14.		2	4y	2	4,
S :	x
	3x 4y z 12, z 1.

ay 6x i 5 x z j 4yk,

8.16.y x, y 2x, y 2,

S : z x2 y2, z 0.

a zi 3y x j zk,

8.18. x2 y2 1,

S :

z x2 y2 2, z 0.

14

ax y z i 2y

y x, y 2x, x

8.20.S : z x2 y2,

	z 0.
	a 7xi zj x y
	z x2 y2,
8.21.
	S : z x2 2y2,

y x, y 2x, x a xi 2yj 3zk,

x j 3z y k,

1,

5z k,

8.22.

1.

S :	x	2	y	2	z,	8.24.
8.23.

z 2x.

a 17xi 7yj 11zk,

z x2 y2,

S : z 2 x2 y2 ,

y x2, y x.

a 2x y i y 2z k,

z 2 4 x2 y2 ,

S :

z 4 x2 y2 .

a2y 3z i 3x 2z j x y z k,

8.25.S : x2 y2 1,

z 4 x y, z 0. a 2xi zj x y k,

8.26. x2 y2 2y,

S :

z x2 y2, z 0.

a2y 15x i z y j x 3y k,

z 3x2 y2 1, z 0,

8.27.S : 1

x2 y2			.
	4

a y z i x 2y z j xk,

8.28. x2 y2 1,

S :

z x2 y2, z 0.

a3x y z i 3yj 2zk,

8.29.S : z x2 y2, z 2y.

15

ax y i y z j z x k,

8.30.y 2x, y 4x, x 1,

S : z y2, z 0.

ax z i yk,

8.31.z 8 x2 y2, S :

z x2 y2.

Задача 9. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

ax2i xj xzk,

z x2 y2, z 1,

9.1.S :

x 0, y 0 1октант .

a x2 y2 i x2 y2 j x2 y2 k,

9.2.		2	2
S :	z x		y ,
	z 0,		z 1.

ax2i y2j z2k,

9.3.x2 y2 z2 4, S :

x2 +y2 z2 z 0 .

axzi zj yk,

9.5.x2 y2 1 z,

S :

z 0.

ax2i y2j z2k,

x2 y2 z2 2,

9.7.S :

z 0 z 0 .

a zx y i zy x j x2 y2 k,

9.9.		2	y	2	z	2	1,
S :	x
				z 0			.
	z 0

a y2xi z2 yj x2zk,

9.10.

S : x2 y2 z2 1.

ax2i yj zk,

x2 y2 z2 1,

9.4.S :

z 0 z 0 .

a3xzi 2xj yk,

9.6.S : x y z 2, x 1,

x 0, y 0, z 0.

a x3i y3j z3k,

9.8.

S : x2 y2 z2 1.

16

a x2i y2j z2k,

	x2 y2 z2 1,		a x2i xyj 3zk,
			9.12. x2 y2 z2,
9.11.		z 0
S :	x 0, y 0,		S :
			z 4.
	1октант .

a zx y i xy z j x2 yz k,

9.13.		2		2
S :	x		y		2,
	z	0,		z 1.

axy2i x2 yj zk,

x2 y2 1, z 0, z 1,

9.14.S : x 0, y 0

1октант .

axyi yzj zxk,

x2 y2 z2 16,

9.15.S :

x2 +y2 z2 z 0 .

ax2i y2j 2zk,

x2 y2 1,

9.17.S : 4

	z 0, z 2.
a xyi yzj zxk,
	x2 y2 z2 1,
9.19.
S :	x 0, y 0, z 0

1октант .

a3x2i 2x2 yj 2x 1 zk,

9.16.S : x2 y2 1,

z 0, z 1.

axyi yzj xzk,

9.18.x2 y2 4,

S :

z 0, z 1.

azi yzj xyk,

9.20. x2 y2 4,

S :

z 0, z 1.

a zx y i 2y x j x2 y2 k,

9.21.		2	y	2	z	2	1,
S :	x
				z 0			.
	z 0

a x2 xy i y2 yz j z2 xz k,

9.22.		2	y	2	z	2	1,
S :	x
		2	y2		z2		z 0 .
	x

17

a

9.23.

S :

3x2i 2x2 yj 1 2x k,

x2 y2 1,

z 0, z 1.

ax2i,

9.24.S : z 1 x y,

x 0, y 0, z 0.

a y2 xz i yx z j yz x k,

9.25.		2	y	2	1,
S :	x

z 0, z 2.

ayi y2j yzk,

z x2 y2, z 1,

9.26.S : x 0, y 0

1октант .

ayi 2zyj 2z2k,

9.27.S : x2 y2 1 z,

z 0.

ay2xi x2 yj z3k3,

x2 y2 z2 1,

9.29.S :

z 0, z 0 .

a2xyi 2xyj z2k,

9.28.x2 y2 z2 2, S : z 0 z 0 .

axi 2yj yzk,

9.30.x2 y2 z2,

S :

z 4.

ay2 z2 i xy y2 j xz z k,

9.31.S : x2 y2 1,

z 0, z 1.

Задача 10. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N .

F x2 2y i y2 2x j,	F x2 2y i y2 2x j,
10.1. L: отрезок MN,	10.2. L: отрезок MN,
M 4,0 , N 0,2 .	M 4,0 , N 0,2 .

18

Fx2 2y i y2 2x j,

10.3.L: 2 x2 y,

8

M 4,0 , N 0,2 .

F x3i y3j,

10.5. L: x2 y2 4 x 0, y 0 ,

M 2,0 , N 0,2 .

Fx2 yi yj,

10.7.L: отрезок MN,

M1,0 , N 0,1 .

F x y i x y j,

10.9. L: x2 y2 1 x 0, y 0 , 9

M 1,0 , N 0,3 .

F x2 y2 i x2 y2 j,

x, 0 x 1;

10.11. L:

2 x, 1 x 2;

M 2,0 , N 0,0 .

Fxyi 2yj,

10.13.L: x2 y2 1 x 0, y 0 ,

M1,0 , N 0,1 .

Fx2 y2 i 2j ,

10.15.L: x2 y2 R2 y 0 ,

MR,0 , N R,0 .

Fx y i 2xj,

10.4.L: x2 y2 4 y 0 ,

M2,0 , N 2,0 .

Fx y i x y j,

10.6.L: y x2,

M1,1 , N 1,1 .

F2xy y i x2 x j,

10.8.L: x2 y2 9 y 0 ,

M3,0 , N 3,0 .

Fyi xj,

10.10.L: x2 y2 1 y 0 ,

M1,0 , N 1,0 .

F yi xj,

10.12.L: x2 y2 2 y 0 ,

M 2,0 , N 2,0 .

F yi xj,

10.14. L: 2x2 y2								1	y 0 ,
		1							1
M					,0		, N						,0	.
		2
									2

19

Fx yx2 y2 i y xx2 y2 j,

10.16.L: x2 y2 1 y 0 ,

M1,0 , N 1,0 .

F x2 yi xy2j,

10.17. L: x2 y2 4 x 0, y 0 ,

M 2,0 , N 0,2 .

Fx yx2 y2 i y x2 y2 j,

10.18.L: x2 y2 16 x 0, y 0 ,

M4,0 , N 0,4 .

F y2i x2j,	F x y 2 i x2 y2 j,
10.19. L: x2 y2 9 x 0, y 0 ,	10.20. L: отрезок MN,
M 3,0 , N 0,3 .	M 1,0 , N 0,1 .
F x2 y2 i y2j,	F x2j,
10.21. L: отрезок MN,	10.22. L: x2 y2 9 x 0, y 0 ,
M 2,0 , N 0,2 .	M 3,0 , N 0,3 .
F y2 y i 2xy x j,	F xyi,
10.23. L: x2 y2 9 y 0 ,	10.24. L: y sinx,
M 3,0 , N 3,0 .	M ,0 , N 0,0 .
F xy y2 i xj,	F xi yj,
10.25. L: y 2x2,	10.26. L: отрезок MN,
M 0,0 , N 1,2 .	M 1,0 , N 0,3 .

20