Силабус: Алгебра и Геометрия / Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)_Кузнецов Л.А_1983 PDF / 4. Интегралы

	3
x 6cos t,
y 4sin3 t,
15.17.					x 2				.
x 2
		3						3
						3	t,
		2cos
x 2
	2sin3 t,
15.19. y
	x 1 .
x 1
x t sint,
15.21. y 1 cost,
y 1	0 x 2 , y 1 .
x 9cost,
15.23. y 4sint,
y 2		y 2					.

x 24cos3 t,

15.25. y 2sin3 t,

x 93 x 93 .

x 2 t sint ,

15.27. y 2 1 cost ,

y 2 0 x 4 , y 2 .

		2cost,
x 2
		2sint,
15.29. y 5
	y 5 .
y 5

x 32cos3 t,

15.31. y 3sin3 t,

x 123 x 123 .

	x 10		t sint ,
			1 cost ,
	15.18. y 10
	y 15 0 x 20 , y 15 .
		2cost,
	x
				2sint,
	15.20. y 4
			y 4 .
	y 4
			3
	x 8cos t,
	15.22. y 8sin3 t,
		x 1 .
	x 1
	x 8					t sint ,
						1 cost ,
	15.24. y 8
		y 12 0 x 16 , y 12 .

	x 3cost,
	15.26. y 8sint,
	y 4					y 4					.
			3							3
								3	t,
			2cos
	x 4
		2sin3 t,
	15.28. y
		x 2							.
	x 2
	x 4						t sint ,
							1 cost ,
	15.30. y 4

y 6 0 x 8 , y 6 .

Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

16.1. r 4cos3 ,			r 2	r 2 .
r			r sin ,
	3cos ,
16.3.		0		2 .

r 2cos , r 23sin ,

16.5.

0 2 .

16.7. r 6sin3 ,

r 3

r 3 .

r cos ,

16.9.r 2sin 4 ,

4 2 .

16.11. r 6cos3 ,

r 3

r 3 .

r cos ,

r sin ,

16.13. 0 2 .

16.15. r cos ,

r 2cos .

16.17. r 1 2cos .

16.19. r 1 2sin .

16.21. r 3

2 cos ,

r 5

2 cos .

16.23. r sin6 .

16.25. r cos sin .

16.27. r 2cos6 .
16.29. r 3sin ,	r 5sin .
16.31. r 6sin ,	r 4sin .

16.2.r cos2 .

16.4.r 4sin3 , r 2 r 2 .

16.6. r sin3 .

16.8. r cos3 .

rsin ,

16.10.r 2cos 4 ,

0 3 4 .

16.12.r 12 sin .

r2cos 4 ,

16.14.r 2sin 4 ,

4 3 4 .

16.16. r sin ,

r 2sin .

16.18. r 12 cos .

16.20. r 5	2 sin ,	r 3	2 sin .
16.22. r 4cos4 .
16.24. r 2cos ,	r 3cos .

16.26.r 2sin4 .

16.28.r cos sin .

16.30. r 2sin ,

r 4sin .

Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

17.1. y lnx,

x

x2

lnx

3

15.

17.2. y

1 x 2.

,

2

4

5

,

17.3. y

1 x2

arcsinx,

0 x 7 9.

17.3. y ln

x

3

8.

2x

17.5. y lncosx,

0 x 6.

17.6. y ex 6,

ln

x ln

8

15.

17.7. y 2 arcsin

x x2 ,

1 4 x 1.

x

17.8. y ln x2 1 ,

2 x 3.

17.10. y ln 1 x2 ,

17.9. y

1 x2

arccosx,

0 x 8 9.

0 x 1 4.

17.11. y 2 chx,

0 x 1.

17.12. y 1 lncosx,

0 x 6.

17.13. y ex 13,

ln

x ln

15

24.

17.14. y arccos

x x2 ,

0 x 1 4.

x

17.15. y 2 ex,

ln

x ln

3

8.

17.16. y arcsinx 1 x2 ,

0 x 15 16.

17.17. y 1 lnsinx,

3 x

2.

17.18. y 1 ln x2 1 ,

3 x 4.

17.19. y

x x2

arccos

5,

1 9 x 1.

x

17.20. y arccosx

1 x2

1,

0 x 9 16.

17.21. y lnsinx,

3 x 2.

17.22. y ln7 lnx,

x

3

8.

17.23. y chx 3,

0 x 1.

17.24. y 1 arcsinx

1 x2 ,

0 x 3 4.

17.25. y lncosx 2,

0 x 6.

17.26. y ex 26,

ln

x ln

17.27. y

ex e x

3,

0 x 2.

8

24.

2

17.28. y arccos

x x2

4,

0 x 1 2.

x

17.29. y

ex e x 3

,

0 x 2.

17.30. y ex e,

ln

x ln

3

15.

4

17.31. y

1 ex e x

0 x 3.

,

2

Задача 18. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

x 5 t sint ,

18.1. y 5 1 cost , 0 t .

x 4 cost tsint ,

18.3. y 4 sint tcost , 0 t 2 .

x 10cos3 t,

18.5. y 10sin3 t,

0t 2.

x 3 t sint ,

18.7. y 3 1 cost ,

t 2 .

x 3 cost tsint ,

18.9. y 3 sint tcost , 0 t 3.

x 6cos3 t,

18.11. y 6sin3 t,

0 t 3.

x 2,5 t sint ,

18.13. y 2,5 1 cost ,

2 t .

x 6 cost tsint ,

18.15. y 6 sint tcost , 0 t .

x 3 2cost cos2t ,

18.2. y 3 2sint sin2t , 0 t 2 .

x t2 2 sint 2tcost,

18.4. y 2 t2 cost 2tsint,

0 t .

x et cost sint ,

	18.6. y et cost sint ,
							0 t .
		1						1
	x				cost						cos2t,
		2						4
		1						1
	18.8.
	y				sint						sin2t,
		2						4
							2 t	2 3.
						2	2 sint 2tcost,
	x t
	18.10. y 2 t2 cost 2tsint,
											0 t 3.
					t	cost sint ,
	x e

18.12. y et cost sint ,

2 t .

x 3,5 2cost cos2t ,

18.14. y 3,5 2sint sin2t , 0 t 2.

x t2 2 sint 2tcost,

18.16. y 2 t2 cost 2tsint,

0 t 2.

x 8cos3 t,

18.17. y 8sin3 t,

0t 6.

x 4 t sint ,

18.19. y 4 1 cost ,

2 t 2 3.

x 8 cost tsint ,

18.21. y 8 sint tcost , 0 t 4.

x 4cos3 t,

18.23.y 4sin3 t,

6 t 4.

x 2 t sint ,

18.25. y 2 1 cost ,

0t 2.

x 2 cost tsint ,

18.27. y 2 sint tcost , 0 t 2.

x 2cos3 t,

18.29. y 2sin3 t,

0 t 4.

x t2 2 sint 2tcost,

18.31. y 2 t2 cost 2tsint,

0 t .

x et cost sint ,

18.18. y et cost sint , 0 t 2 .

x 2 2cost cos2t ,

18.20. y 2 2sint sin2t , 0 t 3.

x t2 2 sint 2tcost,

18.22. y 2 t2 cost 2tsint,

0 t 2 .

x et cost sint ,

18.24. y et cost sint , 0 t 3 2.

x 4 2cost cos2t ,

18.26. y 4 2sint sin2t , 0 t .

x t2 2 sint 2tcost,

18.28. y 2 t2 cost 2tsint,

0 t 3 .

x et cost sint ,

18.30. y et cost sint ,

6 t 4.

Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

19.1.	3e3 4,				2 2.	19.2.	2e4 3,		2 2.
					2 2.		5e5 12,		2 2.
19.3.		2e ,				19.4.

19.5. 6e12 5,											2 2.			19.6. 3e3 4,													0 3.
19.7. 4e4 3,									0 3.					19.8.													0 3.
																					2e ,
19.9. 5e5 12,									0 3.					19.10. 12e12 5,															0 3.
19.11. 1 sin ,												2 6.		19.12.
2 1 cos ,										2.
19.13. 3 1 sin ,													6 0.	19.14. 4		1 sin ,													0 6.
19.15. 5					1 cos ,								3 0.	19.16. 6		1 sin ,													2 0.
19.17. 7					1 sin ,								6 6.
19.18. 8					1 cos ,							2 3 0.
19.19. 2 ,								0 3 4.						19.20. 2 ,						0 4 3.
19.21. 2 ,								0 5 12.						19.22. 2 ,											0 12 5.
19.23. 4 ,								0 3 4.						19.24. 3 ,					0 4 3.
19.25. 5 ,								0 12 5.						19.26. 2cos ,															0 6.
19.27. 8cos ,										0 4.				19.28. 6cos ,															0 3.
19.29. 2sin ,										0 6.				19.30. 8sin ,															0 4.
19.31. 6sin ,										0 3.
	Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.
20.1.	x2		y2 1,						z y,			z 0 y 0 .		20.2. z x2							4y2,								z 2.
9
	x2			y2											x2					y2					z2
20.3.						z2			1,		z 0,		z 3.	20.4.															1,	z 12.
																					4
9		4												9										36
	x2			y2				z2		1,	z 1,		z 0.
20.5.
								4
16		9
														20.6. x2 y2 9,								z y,							z 0	y 0 .
20.7. z x2					9y2,					z 3.				20.8.	x2			y2 z2									1, z 0, z 3.
														4
	x2			y2				z2		1,		z 16.				x2					y2					z	2		1, z 2, z 0.
20.9.														20.10.
								64								16					9
9		16																						16

		x2							y2					1,							z y											z 0	y 0 . 20.12. z 2x2																			8y2,												z 4.
20.11.																												3,
	3			4
		x2							y2					z2							1, z 0,											z 2.									x2									y2							z2											z 12.
20.13.																																		20.14.																										1,
	81
				25																																	4									9						36
		x2							y2									z2								z 3, z 0.
20.15.																					1,
	16
				9										36
																																			x2					y2						1,						z y														z 0			y 0 .
																																	20.16.																														3,
																																		3			16
20.17. z x2 5y2, z 5.																																		20.18.							x2									y2				z2						1,						z 0,			z 4.
																																					9									4
20.19.		x2							y2									z	2					1,						z 20.			20.20.		x2					y2									z2					1,						z 4,								z 0.
	9																																	16
				25										100																							9									64
20.21.		x2							y2					1,							z					y				, z 0			y 0 .								20.22. z 4x2 9y2,																											z 6.
	27
																										3
				25
20.23. x2							y2							z2					1, z 0,													z 3.		20.24.							x2									y2							z		2					1,				z 20.
				4																																	25									9						100
20.25.		x2							y2									z	2					1,			z 5, z 0.
	16
				9										100
																																	20.26.		x2		y2									1,						z							y					,		z 0			y 0 .
																																		27
																																																											3
20.27. z 2x2 18y2, z 6.																																	20.28.		x2					y2						z2						1,							z 0,								z 2.
																																		25
																																					9
		x2							y2									z2										z 16.													x2									y2							z		2								z 6, z 0.
20.29.																					1,													20.30.																														1,
	16
				9										64																							16									9						144
20.31.		x2							y2									z	2					1,			z 7, z 0.
	16
				9										196

Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

В вариантах 1–16 ось вращения Ox, в вариантах 17–31 ось вращения Oy.

21.1. y x2 5x 6,		y 0.		21.2. 2x x2 y 0,	2x2 4x y 0.
21.3. y 3sinx,	y sinx,		0 x .
				21.4. y 5cosx, y cosx,	x 0, x 0.

21.5.	y sin2	x, x		2, y 0.
21.7.	y xex,	y 0,		x 1.
21.9.	y 2x x2,		y x 2.
21.11.	y x2,	y2 x 0.

21.6. x 3y 2, x 1, y 1.

21.8.	y 2x x2,		y x 2,		x 0.
21.10.	y e1 x ,	y 0,		x 0,	x 1.
21.12.	x2 y 2 2		1.

21.13. y 1 x2,

x 0,

x

y 2,

x 1.

21.14. y x2,

y 1,

x 2.

21.15. y x3,

y

.

21.16. y sin x

2

,

y x2.

x

21.17. y arccos x 3 ,

y arccosx,

y 0.

21.18. y arcsin x

5 ,

y arcsinx,

y 2.

21.19. y x2,

x 2,

y 0.

21.20. y x2 1,

y x,

x 0,

y 0.

21.21. y

y 0,

y 1,

x 0,5.

21.22. y lnx,

x 2,

y 0.

x 1,

21.23. y x 1 2 ,

y 1.

21.24. y2

x 2,

y 0,

y x3,

y 1.

21.25. y x3,

y x2.

21.26. y arccos x

5 ,

y arccos x 3 ,

y 0.

21.27. y arcsinx,

y arccosx,

y 0.

21.28. y x2

2x 1,

x 2,

y 0.

21.29. y x3,

y x.

21.30. y arccosx,

y arcsinx,

x 0.

21.31. y x 1 2 ,

x 0,

x 2,

y 0.

Задача 22

Варианты 1–10

Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (рис. 2). Плотность воды 1000

кг/м3, ускорение свободного падения g положить равным 10 м/с2.

У к а з а н и е. Давление на глубине x равно gx.

22.1. a 4,5 м,	b 6,6 м,	h 3,0 м. 22.2.
a 4,8 м, b 7,2 м, h 3,0 м.
22.3. a 5,1м,	b 7,8 м,	h 3,0 м.	22.4. a 5,4 м, b 8,4 м, h 3,0 м.
22.5. a 5,7 м,	b 9,0 м,	h 4,0 м. 22.6. a 6,0		м,	b 9,6 м,	h 4,0 м.
22.7. a 6,3 м,	b 10,2 м,	h 4,0 м.
		22.8. a 6,6		м,	b 10,8 м,	h 4,0 м.
22.9. a 6,9 м,	b 11,4 м,	h 5,0 м.

22.10. a 7,2 м,

b 12,0 м,

h 5,0 м.

Варианты 11–20

Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту H

км. Масса спутника равна m т, радиус Земли Rз		6380 км. Ускорение свободного падения g у поверхности
Земли положить равным 10 м/с2.
22.11. m 7,0 т,	H 200 км.	22.12. m 7,0 т,	H 250 км.
22.13. m 6,0 т,	H 300 км.	22.14. m 6,0 т,	H 350 км.
22.15. m 5,0 т,	H 400 км.	22.16. m 5,0 т,	H 450 км.
22.17. m 4,0 т,	H 500 км.	22.18. m 4,0 т,	H 550 км.
22.19. m 3,0 т,	H 600 км.	22.20. m 3,0 т,	H 650 км.

Варианты 21–31

Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа

поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на h м (рис. 3).

У к а з а н	и е. Уравнение состояния газа pV const, где p –
давление, V – объем.
22.21. H 0,4 м,	h 0,35 м,		R 0,1м.
			22.22. H 0,4 м,	h 0,3 м,	R 0,1м.
22.23. H 0,4 м,	h 0,2 м,		R 0,1м.
			22.24. H 0,8 м,	h 0,7 м,	R 0,2 м.
22.25. H 0,8 м,	h 0,6 м,		R 0,2 м.
			22.26. H 0,8 м,	h 0,4 м,	R 0,2 м.
22.27. H 1,6 м,	h 1,4 м,	R 0,3 м.
			22.28. H 1,6 м,	h 1,2 м,	R 0,3 м.
22.29. H 1,6 м,	h 0,8 м,		R 0,3 м.
			22.30. H 2,0 м,	h 1,5 м,	R 0,4 м.
22.31. H 2,0 м,	h 1,0 м,		R 0,4 м.