Силабус: Алгебра и Геометрия / Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)_Кузнецов Л.А_1983 PDF / 7. Кратные интегралы
.PDF3x2 y2 dx dy dz;
V
5.9.V : z 10y, x y 1,
x0, y 0, z 0.
4 8z3 dx dy dz;
V
5.11. V : y x, y 0, x 1,
z xy, z 0.
21xz dx dy dz;
V
5.13. V : y x, y 0, x 2, z xy, z 0.
x2 3y2 dx dy dz;
V
5.15.V : z 10x, x y 1,
x0, y 0, z 0.
V |
10 |
5 |
|
|
||
|
|
x |
|
|
dx dy dz; |
|
|
|
|||||
|
3 |
3 |
|
|
5.17. V : y 9x, y 0, x 1,
z xy, z 0.
3y2 dx dy dz;
V
5.19. V : y 2x, y 0, x 2, z xy, z 0.
15x 30z dx dy dz;
V
5.10. V : z x2 3y2, z 0, y x, y 0, z 0.
1 2x3 dx dy dz;
V
5.12. V : y 36x, y 0, x 1,
|
z |
xy, z 0. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dx dy dz |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
6 |
|||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
10 |
8 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.14. V : |
|
|
x |
|
y |
|
z |
1, |
|
|
||||||
10 |
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0, y 0, z 0.
60y 90z dx dy dz;
V
5.16. V : y x, y 0, x 1,
z x2 y2, z 0.
9 18z |
|
dx dy dz; |
|||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.18. V : y 4x, y 0, |
x 1, |
||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
, z 0. |
|
|
||||||||||
|
xy |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx dy dz |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
z |
6 |
||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
4 |
6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.20. V : |
|
|
x |
|
y |
|
z |
1, |
|
|
|||||||
2 |
|
6 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, y 0, z 0.
11
x2 dx dy dz;
V
5.21.V : z 10 x 3y , x y 1,
x0, y 0, z 0.
63 1 2 |
|
|
y |
|
|
dx dy dz; |
||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.23. V : y x, |
y 0, |
x 1, |
||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
, z 0. |
|
|
||||||||||||
|
xy |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx dy dz |
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
z |
6 |
|||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6 |
4 |
|
|
16 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.25. V : |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
1, |
|
|
||||||||
6 |
|
16 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, y 0, z 0.
y2 dx dy dz;
V
5.27.V : z 10 3x y , x y 1,
x0, y 0, z 0.
x2 4y2 dx dy dz;
V
5.29.V : z 20 2x y , x y 1,
x0, y 0, z 0.
x2z dx dy dz;
V
5.31. V : y 3x, y 0, x 2, z xy, z 0.
8y 12z dx dy dz;
V
5.22. V : y x, y 0, x 1, z 3x2 2y2, z 0.
x y dx dy dz;
V
5.24. V : y x, y 0, x 1,
z30x2 60y2, z 0.
xyz dx dy dz;
V
5.26. V : y x, y 0, x 2, z xy, z 0.
|
|
|
3z |
|
||
|
5x |
|
|
dx dy dz; |
||
2 |
||||||
V |
|
|
|
|
5.28. V : y x, y 0, |
x 2, |
|
|
|
|||||||||||
z x2 15y2, z 0. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dx dy dz |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
6 |
||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8 |
3 |
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.30. V : |
|
x |
|
y |
|
z |
1, |
|
|
||||||
8 |
|
5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0, y 0, z 0.
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
12
6.1.y 3x, y 4ex, y 3, y 4.
6.2.x 36 y2 , x 6 36 y2 .
6.3. x2 y2 72, |
6y x2 |
y 0 . |
6.4.x 8 y2, x 2y.
6.5.y 3, y 8ex, y 3, y 8. x
6.6. y |
x |
, y |
1 |
, x 16. |
|
|
22x
6.7.x 5 y2, x 4y.
6.8.x2 y2 12, -6y x2 y 0 .
6.9.y 12 x2 , y 23 12 x2 , x 0 x 0 .
6.10.y 3 x, y 3 , x 9.
22x
6.11.y 24 x2 , 23y x2, x 0 x 0 .
6.12.y sinx, y cosx, x 0, x 0 .
6.13.y 20 x2, y 8x.
6.14.y 18 x2 , y 32 18 x2 .
6.15.y 32 x2, y 4x.
6.16.y 2x, y 5ex, y 2, y 5.
6.17. x2 y2 36, 3 |
2y x2 |
y 0 . |
6.18.y 3x, y 3x, x 4.
6.19.y 6 36 x2 , y 36 x2 , x 0 x 0 .
13
6.20.y 254 x2, y x 52.
6.21.y x, y 1x, x 16.
6.22.y 2x, y 7ex, y 2, y 7.
6.23.x 27 y2, x 6y.
6.24.x 72 y2 , 6x y2, y 0 y 0 .
6.25.y 6 x2 , y 6 6 x2 .
6.26.y 3 x, y 3 , x 4.
22x
6.27.y sinx, y cosx, x 0, x 0 .
6.28. y |
1 |
, y 6ex, y 1, |
y 6. |
|
x |
||||
|
|
|
6.29.y 3x, y 3x, x 9.
6.30.y 11 x2, y 10x.
6.31.x2 y2 12, x6 y2 x 0 .
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
y2 2y x2 0, |
x2 4x y2 0, |
||||||||||
7.1. y2 |
4y x2 |
0, |
7.2. x2 8x y2 |
0, |
|||||||
y x |
|
|
|
|
|
y 0, y x |
|
|
|||
3, y 3x. |
3. |
||||||||||
y2 6y x2 |
0, |
x2 2x y2 0, |
|||||||||
7.3. y2 |
8y x2 |
0, |
7.4. x2 4x y2 |
0, |
|||||||
y x |
|
|
|
|
y 0, y x. |
||||||
3, y 3x. |
|||||||||||
y2 8y x2 |
0, |
x2 4x y2 |
0, |
||||||||
7.5. y2 |
10y x2 0, |
7.6. x2 8x y2 |
0, |
||||||||
y x |
|
|
|
|
y 0, y x. |
||||||
3, y 3x. |
14
y2 4y x2 0,
7.7.y2 6y x2 0, y x, x 0.
y2 6y x2 0,
7.9.y2 10y x2 0, y x, x 0.
y2 2y x2 0,
7.11.y2 4y x2 0, y 3x, x 0.
y2 4y x2 0,
7.13.y2 6y x2 0, y 3x, x 0.
y2 2y x2 0,
7.15.y2 6y x2 0, y x3, y 0.
y2 2y x2 0,
7.17.y2 10y x2 0, y x3, y 3x.
y2 4y x2 0,
7.19.y2 10y x2 0, y x3, y 3x.
y2 2y x2 0,
7.21.y2 4y x2 0, y x, x 0.
x2 2x y2 0,
7.8.x2 10x y2 0, y 0, y 3x.
x2 2x y2 0,
7.10.x2 4x y2 0,
yx3, y 3x.
x2 2x y2 0,
7.12.x2 6x y2 0,
yx3, y 3x.
x2 2x y2 0,
7.14.x2 8x y2 0,
yx3, y 3x.
x2 2x y2 0,
7.16.x2 4x y2 0, y 0, y x3.
x2 2x y2 0,
7.18.x2 6x y2 0,
y 0, y x3.
x2 2x y2 0,
7.20.x2 6x y2 0, y 0, y x.
x2 2x y2 0,
7.22.x2 4x y2 0,
y 0, y 3x.
15
y2 6y x2 0,
7.23.y2 8y x2 0, y x, x 0.
y2 4y x2 0,
7.25.y2 8y x2 0, y x, x 0.
y2 4y x2 0,
7.27.y2 8y x2 0, y 3x, x 0.
y2 2y x2 0,
7.29.y2 10y x2 0, y x3, x 0.
y2 4y x2 0,
7.31.y2 8y x2 0, y x3, x 0.
x2 4x y2 0,
7.24.x2 8x y2 0, y 0, y 3x.
x2 4x y2 0,
7.26.x2 8x y2 0,
yx3, y 3x. x2 4x y2 0,
7.28.x2 6x y2 0,
yx3, y 3x. x2 6x y2 0,
7.30.x2 10x y2 0, y x3, y 3x.
Задача 8. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, - поверхностная плотность. Найти
массу пластинки.
D: x 1, y 0, y2 4x |
y 0 ; |
D: x2 y2 1, |
x2 y2 4, |
|
||
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
; |
||||
8.1. |
y. |
8.2. |
||||
7x2 |
|
x y |
x2 y2 . |
|
||
|
|
|
|
|||
D: x 1, y 0, y2 4x |
y 0 ; |
D: x2 y2 9, |
x2 y2 16, |
|||
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
; |
||||
8.3. |
2 5y. |
8.4. |
||||
7x2 |
|
2x 5y x2 y2 . |
|
|||
|
|
|
|
16
D: x 2, y 0, y2 |
2x |
y 0 ; |
D: x2 y2 1, |
x2 y2 16, |
|
||
|
x 0, y 0 x 0, y 0 ; |
||||||
8.5. |
|
|
8.6. |
||||
7x2 8 2y. |
|
|
|
x y x2 y2 . |
|
||
|
|
|
|
|
|||
D: x 2, y 0, y2 |
x 2 |
y 0 ; |
D: x2 |
y2 4, |
x2 y2 25, |
|
|
8.7. |
|
8.8. |
x 0, y 0 |
x 0, y 0 ; |
|
||
7x2 2 6y. |
|
|
2x 3y x2 y2 . |
|
|||
|
|
|
|
||||
D: x 1, y 0, y2 4x |
y 0 ; |
|
D: x2 y2 1, |
x2 y2 9, |
|
||
|
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
; |
||||
8.9. |
|
|
8.10. |
||||
x 3y2. |
|
|
|
x y x2 y2 . |
|
||
|
|
|
|
|
|||
D: x 1, y 0, y2 |
x y 0 ; |
|
D: x2 y2 9, |
x2 y2 25, |
|||
|
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
; |
||||
8.11. |
|
|
8.12. |
||||
3x 6y2. |
|
|
|
2y x x2 y2 . |
|
||
|
|
|
|
|
|||
D: x 2, y 0, y2 |
x 2 y 0 ; |
|
D: x2 y2 4, |
x2 y2 16, |
|||
|
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
; |
||||
8.13. |
|
|
8.14. |
||||
2x 3y2. |
|
|
|
2y 3x x2 y2 . |
|
||
|
|
|
|
|
D: x 1, y 0, y2 8x
8.15.2
7x 3y2.
D: x 1, y 0, y2 4x
8.17.
7x2 2y.
D: x 2, y2 2x, y 0
8.19.
7x24 y2.
y 0 ; |
|
D: x2 y2 9, |
x2 y2 |
16, |
|||
8.16. |
x 0, y 0 |
x 0, y 0 ; |
|||||
|
|||||||
|
|
2y 5x x2 y2 . |
|||||
y 0 ; |
D: x2 y2 1, |
x2 y2 16, |
|
||||
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
; |
|
||||
8.18. |
|
||||||
|
x 3y x2 y2 . |
|
|
||||
y 0 ; |
D: x2 y2 1, |
x2 y2 4, |
; |
|
|||
8.20. |
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
|
x 2y x2 y2 .
17
|
D: x 2, y 0, y2 2x |
|
y 0 ; |
D: x2 y2 1, |
x2 y2 9, |
|
||||
8.21. |
7x2 4 y. |
|
8.22. |
x 0, y 0 |
x 0, y 0 ; |
|
||||
|
|
|
2x y x2 y2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D: x 2, y 0, y2 x 2 |
|
y 0 ; |
|
D: x2 y2 1, |
x2 y2 25, |
||||
8.23. |
|
8.24. |
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
; |
|||||
7x2 2 8y. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 4y x2 y2 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D: x 1, y 0, y2 4x |
y 0 ; |
D: x2 y2 4, |
x2 y2 16, |
|
|||||
|
x 0, y 0 |
x 0, y 0 ; |
|
|||||||
8.25. |
6x 3y2. |
|
8.26. |
|
||||||
|
|
|
3x y x2 y2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D: x 2, y 0, y2 x 2 |
|
y 0 ; |
|
D: x2 y2 4, |
x2 y2 9, |
||||
8.27. |
|
8.28. |
x 0, y 0 |
x 0, y 0 |
; |
|||||
4x 6y2. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
y 4x x2 y2 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D: x |
1 |
, y 0, y2 2x |
|
y 0 ; |
|
D: x2 y2 4, |
x2 y2 9, |
||
|
|
|
|
|
x 0, y 0 |
; |
||||
|
|
|
|
x 0, y 0 |
||||||
8.29. |
2 |
|
|
|
8.30. |
|||||
|
4x 9y2. |
|
|
|
y 2x x2 y2 . |
|
||||
|
D: x |
1 |
, y 0, y2 16x |
y 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.31.4
16x 9y2 2.
Задача 9. Пластинка D задана неравенствами, - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
|
|
|
|
|
D: 1 x2 9 y2 |
4 2; |
|||
9.1. |
D: x2 y2 |
4 1; |
9.2. |
y 0, |
y |
2 |
x; |
||
|
|
|
|||||||
y2. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
x. |
|
||
|
D: x2 9 y2 |
25 1; |
|
D: x2 9 y2 25 1; |
|||||
9.3. |
y 0; |
|
|
9.4. |
y 0; |
|
|
|
|
|
x2 y. |
|
|
|
7x2 y 18. |
|
18
D: 1 x29 y2 4 4;
9.5.y 0, y x2;8yx3 .
D: x24 y2 1;
9.7.
4y4.
D: 1 x216 y2 4 4;
9.9.x 0, y x2;
xy.
D: x24 y2 1;
9.11.x 0, y 0;6x3 y3.
D: x29 y2 4 1;
9.13.
x2 y2.
D: x24 y2 1;
9.15.x 0, y 0;30x3 y7.
D: x2 y2 25 1;
9.17.y 0;
7x4 y.
D: x24 y2 9 1;
9.19.
x2.
D: x29 y2 1;
9.21.x 0;
11xy8.
D: x29 y2 1;
9.6.x 0;
7xy6.
D: 1 x24 y2 9 4;
9.8.x 0, y 3x2;
xy.
D: x24 y2 9 1;
9.10.x 0, y 0;
x3y.
D: 1 x24 y2 25;
9.12.x 0, y x2;
xy3 .
D: x216 y2 1;
9.14.x 0, y 0;5xy7.
D: 1 x29 y2 4 3;
9.16. y 0, y 2 x;
3
yx.
D: x2 y2 9 1;
9.18.y 0;
35x4 y3.
D: 1 x2 y2 16 9;
9.20.y 0, y 4x;
yx3 .
D: 1 x24 y2 16 5;
9.22.x 0, y 2x;
xy.
19
D: 1 x29 y2 4 5;
9.23.x 0, y 2x3;
xy.
D: x24 y2 25 1;
9.25.
x4.
D: 1 x24 y2 9 36;
9.27. x 0, y 3 x;
29xy3 .
D: x216 y2 1;
9.29.x 0, y 0;105x3y9.
D: 1 x216 y2 3;
9.31.x 0, y x4;
xy5 .
D: x24 y2 9 1;
9.24.x 0, y 0;
x5 y.
D: x2 y2 4 1;
9.26.x 0, y 0;15x5 y3.
D: x2100 y2 1;
9.28.x 0, y 0;6xy9.
D: 1 x29 y2 16 2;
9.30. y 0, y 4 x;
3
27yx5 .
Задача 10. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
y 16 2x, y 2x, |
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y 5 x, y 5x 3, |
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10.1. |
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10.2. |
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z 0, x z 2. |
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z 0, z 5 5 |
x |
3. |
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x2 y2 2, y |
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|
, |
y 0, |
x y 2, |
|
y |
|
, |
|
|
|
||||||||||||
x |
x |
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10.3. |
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10.4. |
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z 0, z 15x. |
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z 12y, z 0. |
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x 5 |
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2, |
x 5y 6, |
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|
y |
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x 20 2y, x 5 2y, |
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|
5 |
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10.5. |
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10.6. |
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z 0, z y 1 2. |
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z 0, z |
3 |
y . |
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6 |
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x2 y2 2, x |
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, |
x 0, |
x y 2, |
|
x |
|
, |
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||||||||||||||
y |
|
y |
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10.7. |
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10.8. |
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z 0, z 30y. |
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z 12x 5, z 0. |
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20