Числовые множества

На всех этапах развития математики представления о числе определяли уровень значимости математических знаний. Глубокое проникновение в теорию числовых множеств сочеталось с мистическим и наивным пониманием их свойств. Многие достижения теории чисел появлялись как дерзкие догадки человеческой мысли.

Представление о числе существовало еще в далекой древности, но лишь в XIX веке эти знания стали формироваться в строгую научную теорию.

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени,

Вы радугой связующей повисли

К раздумиям с вершины вдохновенья.

ВалерийБрюсов

Число есть сущность всех вещей.

Пифагор

Еще пифагорийцы в VI–V веках до н. э. при измерении геометрических величин столкнулись с недостаточностью рациональных чисел при решении некоторых задач. По этой причине действия производились над геометрическими величинами, а не над выражающими их числами. Первые попытки введения иррациональных чисел были предприняты в VI веке до н.э. греческими математиками Теэтетом и Евдоксом, позже–в “Началах” Евклида. Лишь спустя полтора тысячелетия арабский математик и поэт Омар Хайям внес новый вклад в понимание иррациональности.

Чтобы освободить алгебру от геометрической формы, требовалось создать общее представление о числах и действиях над ними, не основанное на геометрии.

Понятие действительного числа появилось в математике не сразу. Многие задачи теории действительных чисел имеют очень

Бог создал натуральный ряд, остальное – дело рук человеческих.

Л. Кронекер

давнюю историю. Проблемы, возникавшие при изучении различных числовых множеств, появлялись спонтанно, обособленно, предопределяя порой решение смежных вопросов. Но глубокое понимание этих проблем возникло, пожалуй, позже создания самого математического анализа, основанного на теории действительных чисел.

Потребности счета предметов привели к появлению множества натура-льных чисел

.

Далее практическая деятельность расширила понятие числа. Возникли целые числа

и рациональные числа

,

где

Будем считать, что дробь

несократима, в разложениях m и n нет общих множителей. Это позволяет добиться однозначности в записи рациональных чисел.

Введение рациональных чисел оказалось еще недостаточным для решения некоторых задач. Например, диагональ квадрата со стороной, равной 1, не может быть представлена рациональным числом. Появились новые числа–иррациональные. Уже Аристотель пытался доказать, что–число иррациональное.

Можно сказать, что рациональные числа заполняют не всю числовую прямую. Стремление поставить в соответствие каждой точке прямой некоторое число привело к появлению новых чисел – иррациональных чисел.

На рубеже XIX и XX веков Р. Дедекиндом была создана теория иррациональных чисел, согласно которой с помощью метода сечений в области рациональных чисел каждое иррациональное число может быть с любой степенью точности выражено через рациональные числа. То есть всякое иррациональное число может быть заключено в сколь угодно малый интервал, границы которого – рациональные числа.

Рассмотрим число . Покажем, что не существует рационального числа– ни целого, ни дробного, квадрат которого равен 2.

Предположим противное: «найдется такое рациональное число x, что.» Очевидно, среди целых чисел нет числа, равного, так как. Кроме того,, так как. Каждое положительное рациональное число, не равное0, можно представить в виде несократимой дроби. Примем

где m иn– натуральные числа, не имеющие других общих делителей, кроме1. Тогда должно быть верным равенство

или . Следовательно,m²– число четное, а значитmтоже четно (mне может быть нечетным, так как его квадрат был бы также нечетным). Еслиm = 2k, тоили, то естьn– число четное. Мы видим, что у несократимой дроби и числитель, и знаменатель– числа четные, что невозможно ввиду несократимости дроби, следовательноне есть рациональная дробь.

Совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество R–МНОЖЕСТВО действительных чисел. Их называют ещеВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ. В математике рассматриваются различные, эквивалентные, способы введения действительных чисел. Мы определим их как бесконечные десятичные дроби вида

,

где – некоторое целое неотрицательное число,– цифры0, 1, 2, ... , 9. Из двух знаков “” берется только один: для положительных чисел– знак “+”, для отрицательных чисел– знак “–”. Знак “+” обычно опускают.

Рациональные числа представимы в виде бесконечных десятичных периодических дробей, иррациональные –в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Некоторые рациональные числа являются конечными десятичными дробями, однако они могут быть заданы и в виде бесконечных десятичных дробей с нулем в периоде или же в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой9в периоде.

Например, ,

или .

Действительное число равно числу водном из следующих случаев:

1. знак общности «» в словесной формулировке заменяют слова «для каждого, для любого…».

2. иесли; (при равенство с индексомследует опустить). Знак существования «» заменяют словами «существует, найдётся какой-нибудь, хотя бы один …».

В противном случае считают .

Сравним неравные между собой числа. Здесь возможны три случая.

1. aиb– неотрицательны. Привсегда найдется натуральноеn (илиn=0), чтои. Будем считать, чтоa  b, еслиa_n  b_n , и a  b, еслиa_n  b_n.

2. a – неотрицательно число, b – отрицательно. Тогда считают a  b. (При a  b точка a на числовой оси лежит правее точки b).

Искусство аналитиков состоит в том, что они, устраняя неизящные вычисления, разрабатывают алгебраические идеи и, таким образом, вместо созерцания пространства пользуются рассматриванием чисел.

Энциклопедия элементарной математики

( Одесса, 1914 г. )

3. Дляaиb– отрицательных считают, что a  b, если |a|  |b|,иab, если |a||b|.

Запись означает, что либо, либо.

Множество действительных чисел Rможно изобразить точками числовой прямой, на которой выбрано начало отсчетаO, масштаб (единичный отрезок) и её положительная ориентация: точкеМ, лежащей справа от точкиО, поставим в соответствие числоc > 0, равное длине отрезкаОМ, точкеР, расположенной слева от точкиО,–число d < 0, где|d|–длина отрезкаОР, а точкеО– число0. Примем без доказательства, что между точками прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие. Вот почему множество действительных чисел называют числовой прямой, а сами числа– точками. Таким образом,–множество всех действительных чисел (числовая прямая).

Напомним здесь уже известную терминологию:

– отрезок (сегмент)–множество всех действительных чиселx, удовлетворяющих неравенству;

– интервал–множество всех действительных значенийx, удовлетворяющих неравенству;

или–полуинтервал (полусегмент)–множество всех действительных чиселx, удовлетворяющих неравенствуили; ясно, что

– полупрямые – мно­жества действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам:

Для них верно:

Отрезок, интервал, полуинтервал, полупрямую и числовую прямую будем называть промежутками.

Рассматривают в математическом анализе также окрестность точки c, как любой интервал, содержащий точкус, и–ок­рестность точки с ( > 0) – интервал.–окрест­ность может быть задана в виде множества. Читают: «Множествосостоит из таких элементовх, что модуль разности (х – с), для них, меньшеε».

Множество =называютпроколотой –окрестностью точки с. Это есть интервал, из которого исключена точкас.

На множестве действительных чисел вводятся основные операции –сложения и умножения, а также отношения между действительными числами– отношения порядка, обладающие следующими свойствами.