Аксиомы сложения

1. Переместительный закон сложения:

“Для любых действительных чисел aиb верно: a+b = b + a.»

2. Сочетательный закон сложения:

3.. (Свойство существования числа ноль вR). Читают: «Есть, существует число 0, прибавление которого к действительному числу a не изменяет его».

4. (Существование в R противоположного числа). «Для любого действительного числа a существует действительное число (–a), сумма которых равна 0.»

Аксиомы умножения

5. Переместительный закон умножения:

6. Сочетательный закон умножения:

7. . (Свойство единицы при умножении).«Есть (существует) действительное число 1, умножение на которое действительного числу a не изменяет его.»

8. . (Существование вRобратного числа). «Для любого действительного числаа, не равного0, существует действительное числоb, произведение которых аb = 1.»

9. Распределительный закон умножения относительно сложения:

Аксиомы порядка

10. . – «Ни для одного действительного числа, а, не выполняется соотношение a  a.»

11. Для любых двух различных действительных чисел а, bвыполняется одно и только одно из соотношений:a  b, b  a.

12. . «Еслиa  bиb  c, тоотсюда следуетa  c.»

13. . «Для любых действительных чиселa, b,сизa  bследует:a + c  b + c).»

14. . «Если действительные числаa  0 и b  0, то их произведение ab  0.»

Аксиома полноты (непрерывности)

15. Если непустые множества АиВдействительных чисел таковы, что для любыхивыполняется неравенствоa  b, то найдется такое действительное числос, чтоa  с  b.

Аксиома полноты справедлива только в R.

Можно доказать, что между любыми не равными рациональными числами всегда можно вставить не равное им рациональное число.

Из данных выше аксиом можно вывести единственность нуля и единицы, существование и единственность разности и частного. Отметим, дополнительно, свойства неравенств, которые широко используются в различных преобразованиях (получении следствий из неравенств):

1. Если a  b,с  d ,тоa+c  b+d.

2. Если a  b, то –a  –b .

3. Если a  0, b  0, то ab  0, а если a  0, b  0, то ab  0. (Последнее, как аксиома 14, верно при a  0, b  0.)

4. Если 0  a  b,0  c  d, то0  ac  bd.

5. Если a  b, c  0, то ac  bc , а если a  b, c  0, то bc  ac .

6. Если 0  a  b, то.

7. 0  1, то –1  0.

8. Для любых положительных чисел аиbнайдется такое числоn N, чтоna  b(аксиомаАрхимеда, для отрезков длиныa,b,na).

Используются следующие обозначения числовых множеств:

N –множество натуральных чисел;

Z –множество целых чисел;

Q –множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

R₊ – множество действительных положительных чисел;

R ^_ –множество действительных отрицательных чисел;

R₀ –множество действительных неотрицательных чисел;

С – множество комплексных чисел (определение и свойства этого множества рассматриваются в разделе 1.1.1).

Введем на множестве действительных чисел понятие ограниченности. Оно далее будет активно использоваться в рассуждениях.

Будем называть множество ОГРАНИЧЕННЫМ СВЕРХУ (СНИЗУ), если существует такое действительное числоМ(m), что любой элемент удовлетворяет неравенству :

Число M называется ВЕРХНЕЙ ГРАНью МНОЖЕСТВА A, а число m – НИЖНЕЙ ГРАНью этого множества.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество N натуральных чисел ограничено снизу, но не ограничено сверху. Множество целых чисел Z не ограничено ни снизу, ни сверху.

Если рассмотреть множество площадей произвольных треугольников, вписанных в круг диаметра D, то снизу оно ограничено нулем, а сверху–площадью любого многоугольника, включающего в себя круг (в частности, площадью описанного квадрата, равнойD²).

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. Тогда, есть ли наименьшая из всех верхних границ и наибольшая из всех нижних границ?

Будем называть число точной верхней граньюограниченного сверху множестваА  R, если:

1. является одной из верхних граней множестваА;

2. является наименьшей из верхних граней множестваА. Другими словами, действительное число является точной верхней гранью множестваА  R, если:

Принято обозначение

Аналогично вводятся: – точная нижняя граньограниченного снизу множестваАи соответствующие обозначения

По-латыни: supremum – наивысшее, infimum – наинизшее.

Запишите определение точной нижней грани с помощью логических символов, как и для .

Точные грани множества могут ему как принадлежать, так и не принадлежать.

ТЕОРЕМА. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Эту теорему мы примем без доказательства.

Пример 1. Найти грани . Для него верхней гранью можно считать число100, нижней гранью число–10, а точные грани:.

Пример 2. Для найти точную верхнюю и нижнюю грани. Из «предиката» множестваАи определения граней имеем:. В этом примере точные границы данному множеству не принадлежат.

На множестве действительных чисел можно выделить два непересекающихся подмножества алгебраических и трансцендентных чисел.

АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИназываются числа, которые являются корнями многочлена

коэффициенты которого –целые числа.

В высшей алгебре доказывается, что множество комплексных корней многочлена конечно и равноn. (Комплексные числа – это обобщение действительных чисел). Множество алгебраических чисел счётно. Оно включает в себя все рациональные числа, так как числа вида

удовлетворяют уравнению первой степени

Творчеству полезны тупики: боли и бессилия ожог разуму и страху вопреки душу вынуждают на прыжок. ИгорьГуберман

Доказано также, что существуют алгебраические числа, не являющиеся радикалами из рациональных чисел. Этот очень важный результат остановил бесплодные попытки найти решения уравнений степени выше четвертой в радикалах. Многовековые поиски алгебраистов, изучавших эту проблему, сумел обобщить французский математик Э. Галуа, нелепо погибший в возрасте 21 года. Его научные труды составляют всего 60 страниц, но они явились блистательным вкладом в развитие математики.

Юноша, страстно и неудержимо любивший эту науку, дважды пытался поступить в самое престижное учебное заведение Франции того времени –Политехническую школу–безуспешно. Начал учиться в привилегированной Высшей школе–отчислили из-за конфликта с директором. Став политическим заключенным после выступления против Луи-Филиппа, передал из тюрьмы в Парижскую академию наук рукопись с исследованием решения уравнения в радикалах. Академия отвергла эту работу. Нелепая смерть на дуэли оборвала жизнь этого незаурядного человека.

Множество, являющееся разностью множеств действительных и алгебраических чисел, называют множеством ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЕЛ. Очевидно, каждое трансцендентное число не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Вместе с тем, доказательство трансцендентности каких-либо отдельных чисел вызывало огромные трудности.

Лишь в 1882 году профессор Кенигсбергского университета Ф. Линдеман сумел доказать трансцендентность числа , откуда стала ясна невозможность решения задачи о квадратуре круга (построить с помощью циркуля и линейки квадрат, имеющий площадь данного круга). Мы видим, что идеи алгебры, анализа, геометрии взаимно проникают друг в друга.

Аксиоматическое введение действительных чисел далеко не единственное. Эти числа могут быть введены путем объединения множества рациональных и иррациональных чисел, или же, как бесконечные десятичные дроби, или с помощью сечений на множестве рациональных чисел.

^*1)Этот материал взят из 7-ой главы книги:

Л.И. Лурье ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ / Учебное пособие / М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К^о», - 2003, - 517 С.

ДОПОЛНЕЕНИЯ:

Ясно, что множество цифр десятичной системы исчисления конечное, его мощность: .

По определению, простыми числами называют числа, которые нельзя представить в виде произведения меньших чисел, исключая единицу. Интересно, конечно ли множество таких, простых, чисел?

Ответ на этот вопрос даёт теорема Эвклида.

Теорема Эвклида: «Множество простых чисел неограниченное».

Доказательство.Применим метод: «от противного». Если считать верным обратное утверждение и предположить конечность множества простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …,Р, то Р– самое большое простое число. Тогда из этих чисел составим новое число: , и рассмотрим его. Очевидно, что числоSнечётное и оно не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5, 7, 11, …,Рбез остатка, так как при делении на любое из них в остатке получается единица. Следовательно, есть новое простое число, которое больше, чемР. Полученное противоречие доказывает, что сделанное предположение не верно, и число простых чисел неограниченное.

Ясно, что для множеств АиВс неограниченным или очень большим числом элементов совпадение всех элементов проверить трудно. В этом случае прибегают к логической проверке «двухстороннего логического включения», поясняемого ниже.

Определение. МножествоАсодержится в множествеВ(множествоВвключает множествоА), если «каждый, любой, элемент изАявляется и элементом изВ:

.

В этом случае множество Аназывают подмножеством множестваВ, илиВ– надмножествоА. Здесь «» обозначает равенство по определению, а стрелка «»обозначает следствие. Символическую запись определения читают так: «По определению, множествоАвходит, содержится, вВ, если из принадлежности любого элементахмножествуАследует его принадлежность множествуВ».

Если и , и , тоАназывают собственным подмножествомВ. Если не исключается, возможно,А=В, то применяется обозначение нестрогого включения, .

Согласно «двухстороннему логическому включению» множества равны, , если из следует и из следует . Это определение получает символьную запись:

Здесь “&” – “логическое и”, указывающее на одновременное выполнение условий в скобках, “” – “обозначение равнозначное &”. При необходимости в символьной записи применяется и символ “” – “логическое или”. Их часто применяют при задании множества предикатом, описанием, в его символьной записи.

Задача.Сравнить бесконечные множестваАиВ, каждое из которых задано предикатом (описанием), а именно:

,

Здесь множество А– все положительные чётные числа. МножествоВзадаётся описанием. Читаем его: “МножествоВвключаетвсеэлементыzравные сумме двух положительных нечётных чисел, каждое из которых задаётся соответственносуществующимнатуральным числомmисуществующимнатуральным числомn”. Озвучивая описание, то есть информацию, записанную в определении множества после вертикальной черты, удобно “читать” её справа налево.

Решение.

Пусть . Покажем, что “в этом случае”.

Действительно, , что соответствует определению множестваАи читается, как: «Длялюбогоу,принадлежащегомножествуА,следуетсуществованиенатуральногочислаk,такого чтоу =2kиk ≥1». Его значение заменимо суммой _.Предложение удобных обозначенийиделают очевидным, что. Это следует из определения множестваВ. Мы проверили, что .

Обратно, проверим, что из следует .

Для , такие что. При этом и, и, и. Предположение, что, где,. Мы убедились в верности и противоположного включения,.

Тем самым нами подтверждено выполнение «двухстороннего логического включения», , что эквивалентно равенству множеств, .Задача решена

Теорема Кантора.Множество всех действительных чисел отрезка [0, 1] не является счётным.

Доказательство. Применим метод: «от противного». Предположим, что это множество счётное. И тогда существует нумерация его его элементов. Расположим построчно в порядке их нумерации все числа, которые изображаются бесконечными десятичными дробями. Наибольшая из них 1=0,(9) = 0,999… и наименьшее 0 = 0,(0), то есть:

Здесь каждая строка, как и каждая бесконечная десятичная дробь пронумерованы первым индексом, второй индекс нумерует десятичные разряды каждой дроби.

Рассмотрим теперь десятичную дробь, у которой . Очевидно, что среди пронумерованных дробей такой дроби нет. Она отличается от первого пронумерованного числа первой цифрой после запятой, от второго числа – второй цифрой после запятой, от третьего – третьей дробной цифрой и т.д.

Полученное противоречие указывает на невозможность пронумеровать все числа отрезка [0, 1]. Следовательно, такое множество несчётное. Его мощность обозначаютс₀и называют континуум,

Метод, использованный при доказательстве этой теоремы, называют «диагональным методом Кантора».

Изучение множества действительных чисел и его подмножеств увлекает крупных ученых и всех любителей математики возможностью достижения самых неожиданных результатов.

П. Фера был уверен, что нашел формулу простого числа:

и предложил ученому миру ее доказать. Но прошло немного времени и Л. Эйлер вместо доказательства предложил ее опровержение.

Для этого достаточно было дать 1 пример её не выполнения; Почему?

Теория чисел всегда буквально завораживала не только математиков, но и людей, не связанных с этой наукой, исключительной простотойпостановки многих задач и невероятными трудностями их решения.

Так, задача нахождения натуральных чисел x,yиz, удовлетворяющих уравнению

приn > 2

(великая теорема Ферма), была решена лишь в 1995 году. Автора, ее решившую, ожидает премия около двух миллионов долларов.

Выше в разделе числовые множествав подразделеаксиома полнотыутверждалось, что между любыми двумя действительными числамиaиb(a  b)найдутся рациональное числоси иррациональное числоdтакие, что

a  c  b и a  d  b.

Поясним здесь это «утверждение» подробнее. Будем считать, для определенности, числа а и b положительными:

Если какое-нибудь из них рационально и выражается дробьюспериодом 9, топредставим егов виде дробис периодом0. Из неравенстваa  bвытекает возможность найти такое неотрицательное числоn, чтоa_k= b_k (k = 0,1,..., n–1)иa_n  b_n. Так как цифра9не является периодом числаа, то, начиная с натурального номераi  n, существуетa_i  9.

“Сконструируем” искомое рациональное число сследующим образом. Примем:

где

Такое число сокажется больше числаа, так как

но меньше b, так как такое неравенство появляется вn–ом разряде, аi  n

Полученное таким образом рациональное число с удовлетворяет неравенству