- •Дифференциальное исчисление Лекция № 18. Тема 4 : Производная и дифференциал
- •4.1. Производная функции
- •4.2. Производные основных элементарных функций
- •4.3. Механический смысл производной
- •4.4. Геометрический смысл производной
- •4.5. Правила дифференцирования
- •4.6. Производная сложной функции
- •Лекция № 19.
- •4.7. Производная обратной функции
- •4.8. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •4.12. Дифференциал функции
- •5.2. Теорема Лагранжа
- •5.4. Формула Тейлора
- •Лекция № 21. Тема 6 : Исследование поведения функций
- •6.1. Возрастание и убывание функций
- •6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
- •6.3. Достаточные условия экстремума
- •6.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Лекция № 22.
- •6.5. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •6.6. Асимптоты линий
- •6.7. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Лекция № 23.
- •6.8*. Кривизна кривой
- •С о д е р ж а н и е
5.4. Формула Тейлора
Для функции , которая имеет производные до (п + 1)го порядка включительно в некоторой окрестности точки х0, найдём многочлен сте-пени п, который удовлетворяет следующим условиям:
. (1)
Будем его искать в виде
. (2)
Определим из условий (1) коэффициенты в выра-жении (2), дифференцируя его и подставляя значение.
.
И тогда получим
.(3)
Естественно ожидать, что многочлен (3) в окрестности точки х0 мало отличается от функции . Обозначим разность, которая называетсяостаточным членом.
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
где . Если остаточный член мал, то имеем приближенную формулу .
Пример 5. Составить формулу Тейлора для функции в окрест-ности точкии вычислить с точностьюзначение.
Учитывая, что иполучим
.
Положим в этой формуле
,
где . Из оценки остаточного члена определимп, т.е. решим неравенство
и тогда окончательно получим
Лекция № 21. Тема 6 : Исследование поведения функций
6.1. Возрастание и убывание функций
Теорема. Если дифференцируемая на функциявозрастает (убывает), товыполняется. Верно и обратное.
Пусть Тогда отношение
Переходя к пределу, получаем
Аналогично доказывается случай
Докажем обратное утверждение. Пусть , а. По теореме Лагранжа имеем
.
Отсюда, с учётом знака правой части, имеем
Аналогично доказывается случай
Замечание 1. В некоторых точках может быть , так как производная является пределом.
Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции
Находим производную заданной функции
Знаки производной определим методом интервалов:
+ +
1 0 1 х
Тогда имеем
6.2. Экстремум функции. Необходимое условие
Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется.
Определение 2. Точки максимума и точки минимуманазываются точками экстремума функции, а соответствующие значения функции – экстремальными значениями.
Замечание 2. Не следует, вообще говоря, считать, что максимум и минимум функции являются соответственно её наибольшим и наимень-шим значениями.
y
0 а х1 х2 х3 b x
Здесь х1, х3 точки минимума, х2 точка максимума функции , а
Из теоремы Ролля следует необходимое условие существования экстремума функции:
Если функция дифференцируемая и имеет экстремум в точкех0, то в этой точке
Как обстоит дело в точках, где производная не существует? Например, очевидно, что функция имеет минимум при, где она не дифференцируемая.
Таким образом, окончательно можем сформулировать
Необходимое условие экстремума. Если непрерывная функция имеет в точкех0 экстремум, то в этой точке либо не существует.
Определение 3. Точки, в которых называютсястационар-ными. Стационарные точки и точки, в которых производная не сущест-вует, называются критическими.
Замечание 3. Очевидно, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, критическая точка, которая не является точкой экстремума (см. график функции ).
Как выделить из критических точек точки экстремума? Для этого существуют достаточные условия экстремума.