- •Интегральное исчисление Лекция № 24. Тема 1: Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица неопределённых интегралов
- •1.4. Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки)
- •Лекция № 25
- •1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Многочлены и рациональные дроби
- •Лекция № 26
- •1.8. Интегрирование рациональных дробей
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция № 27
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Понятие о неберущихся интегралах
Интегральное исчисление Лекция № 24. Тема 1: Неопределённый интеграл
1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
Ранее для заданной функции мы находили производную. Теперь рассмотрим обратную задачу: Известна производная. Требуется найти, которая называется первообразной.
С точки зрения механики – по скорости требуется восстановить движение материальной точки.
Определение 1. Функция называется первообразной на некотором промежутке для функции , еслидля всехх из этого промежутка.
Пример 1. Если , тополучаем, так как. Кроме того, замечаем, что первообразными будут являться также функциии т.д.
Таким образом, первообразные отличаются на константу.
Теорема. Если ипервообразные на, товыполняется, где.
Обозначим и применим к этой функции теорему Лагранжа:, так как, то.
Замечание 1. Если первообразную определить на некотором множестве, а не промежутке, то данная теорема, вообще говоря, неверна, что видно из примера:
Две функции являются первообраз-ными для функции. Однако, их разность
Определение 2. Множество всех первообразных на некотором проме-жутке называется неопределённым интегралом от функции и обозна-чается
.
Выражение называетсяподынтегральным. Операция нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием функции .
С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет собой множество кривых , получаемых путём сдвига одной из них параллельно самой себе вдоль осиОу.
1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
1. .
Действительно, .
2. .
Действительно, .
3. Свойство линейности: , где.
Продифференцируем обе части этого равенства.
Для левой части получаем .
Для правой: .
4. , где.
Доказывается аналогично дифференцированием.
1.3. Таблица неопределённых интегралов
Непосредственным дифференцированием можно проверить следующие формулы:
1. 8.
2. 9.
3. 10.
4. 11.
5. 12.
6. 13.
7. 14.
Замечание 2. Используя свойство 4, таблицу неопределённых интегралов можно расширить. Например, .
С помощью этой таблицы можно находить некоторые интегралы.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
1.4. Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки)
Пусть функция является дифференцируемой и имеет обратную функцию. Тогда имеет место формула, которая проверяется дифференцированием:
. (1)
Действительно, продифференцируем левую часть: ,
Затем продифференцируем правую часть
= (по правилу дифференцирования сложной функции) == (по правилу дифференцирования обратной функции) =.
Замечание 3. Функцию следует выбирать так, чтобы интеграл в правой части формулы (1) можно было найти.
Замечание 4. В практике нахождений интегралов константу С не пишут для каждого интеграла, так как они в конечном итоге будут входить в окончательный ответ, содержащий произвольную константу.
Замечание 5.Часто более целесообразно применять замену переменной в виде . Это в том случае, когда интеграл можно представить в виде. Например,
.
Пример 4.
.
Пример 5. .
Пример 6.
Пример 7. Найдите ошибку:
На основании свойства 4 имеем
.
С другой стороны
Отсюда следует