- •Функции нескольких переменных
- •Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные
- •1.1. Определение функции нескольких переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производная сложной функции
- •2.4. Производная по направлению
- •2.5. Градиент функции
- •Лекция № 34
- •2.6. Касательная и нормаль к поверхности
- •Тема 3* : Векторная функция скалярного аргумента
- •3.1. Векторная функция. Предел. Непрерывность
- •3.2. Производная векторной функции
Функции нескольких переменных
Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные
1.1. Определение функции нескольких переменных
Остановимся, в основном, на случае функции двух переменных. Определения и полученные результаты легко распространить и на случай большего числа переменных.
Рассмотрим плоскость Оху множество всех точек .
Определение 1. Множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству, называетсяокрест-ностью точки и обозначается.
Определение 2. Областью D называется множество точек, обладающих свойствами:
1. Любая точка принадлежит ей и вместе с некоторой- окрестностью (свойство открытости);
2. Любые точки иможно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащейD (свойство связности).
Линия, ограничивающая данную область, называетсяграницей. Если к области отнести и точки границы, то такая область называется замкнутой.
D
М1 М2
Определение 3. Если каждой паре значений двух независимых переменных из некоторой областиD соответствует по некоторому правилу или закону определённое значение величины z, то z называется функцией двух переменных в области D, и пишут .
Аналогично, как и для функции одной переменной определяется многозначная функция нескольких переменных.
Пример 1. Закон Ома: функция двух переменных.
Пример 2. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении: функция трёх переменных.
Определение 4. Множество значений , при которых определена, называетсяобластью определения функции.
Пример 3. Найти область определения функций:
1. , т.е. областью определения данной функции является круг.
2. , т.е. область определения первая и третья координатные четверти без координатных осей.
Геометрически функцию двух переменных можно представить как поверхность, уравнение которой . Например, уравнение функциигеометрически представляет параболоид.
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Точка стремится к точке, если расстояние между этими точками стремится к нулю, т.е.. Это очевидно эквивалентно: .
Определение 5. Число А называется пределом функции при стремлении точки, если, для всех точек из которой выполняется неравенство, и пишут
или .
Аналогично устанавливается понятие о бесконечном пределе функции. В случае, когда или, неравенствозаменяется неравенствами вида: илисоответственно, гдеМ произвольное положительное число, и пишут
или .
Определение 6. Функция имеет пределом числоА при иесли, чтоприи пишут
.
Определение 7. Функция называется непрерывной в точке М0, если имеет место равенство
.
Если в некоторой точке условие непрерывности не выполняется, такая точка называется точкой разрыва.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию в точке
Рассмотрим значения функции вдоль прямых при
.
Таким образом, функция принимает разные значения в зависимости от значения k. Точка является точкой разрыва.
Замечание. Свойства непрерывной функции двух переменных аналогичны соответствующим свойствам функции одной переменной.