Лабораторная работа
.docЛабораторная работа
по дисциплине «Модели и методы принятия решений в анализе и аудите»
ПРИНЯТИЕ РЕШИЙ МЕТОДОМ МНОГОМЕРНОГО КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
Цель работы: освоить применение многомерного корреляционного и регрессионного анализа для прогнозирования экономического состояния системы и выявления рычагов управления этой системой; уяснить основные положения многомерного анализа, а также логику проведения; приобрести навыки экономической интерпретации результатов многомерного анализа для целей управления и принятия управленческих решений.
Задача
Определить силу влияния на рентабельность продукции материальных затрат.
Решение
Проведём корреляционный анализ
Соберём эмпирические данные для проведения анализа – выявим виды материальных расходов за 8 периодов.
На исследуемых предприятиях используются следующие виды материальных затрат:
-
основные материалы
-
вспомогательные материалы
-
сырье и покупные полуфабрикаты
-
ГСМ
-
электроэнергия
-
прочие материальные затраты
Таблица 1.1 – Данные о выручке от реализации и различных видов материальных затрат
Показатели |
2009 |
2010 |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Всего материальных затрат, тыс.грн. |
2296,00 |
3581,00 |
||||||
основные материалы |
257,26 |
253,01 |
285,96 |
266,83 |
422,73 |
432,96 |
463,64 |
385,23 |
вспомогательные материалы |
216,39 |
210,38 |
222,40 |
209,52 |
339,53 |
323,74 |
369,80 |
282,94 |
сырье и покупные полуфабрикаты |
12,34 |
15,56 |
13,55 |
15,96 |
19,42 |
23,72 |
18,82 |
23,98 |
ГСМ |
34,44 |
26,04 |
31,88 |
29,33 |
52,86 |
57,67 |
59,20 |
48,71 |
электроэнергия |
6,78 |
7,05 |
7,14 |
6,58 |
6,62 |
7,76 |
7,56 |
6,70 |
прочие материальные затраты |
49,44 |
26,15 |
51,29 |
40,73 |
44,57 |
66,85 |
64,58 |
51,39 |
Итого материальные затраты |
576,65 |
538,18 |
612,22 |
568,95 |
885,74 |
912,70 |
983,60 |
798,96 |
Рентабельность продукции |
55,64 |
56,41 |
53,14 |
55,78 |
54,15 |
55,1 |
54,3 |
53,96 |
Таблица1.2 Исходные данные для анализа
основные материалы (ОМ) |
257,26 |
253,01 |
285,96 |
266,83 |
422,73 |
432,96 |
463,64 |
385,23 |
вспомогательные материалы (ВМ) |
216,39 |
210,38 |
222,40 |
209,52 |
339,53 |
323,74 |
369,80 |
282,94 |
сырье и покупные полуфабрикаты (СиП) |
12,34 |
15,56 |
13,55 |
15,96 |
19,42 |
23,72 |
18,82 |
23,98 |
ГСМ |
34,44 |
26,04 |
31,88 |
29,33 |
52,86 |
57,67 |
59,20 |
48,71 |
Электроэнергия (Э) |
6,78 |
7,05 |
7,14 |
6,58 |
6,62 |
7,76 |
7,56 |
6,70 |
прочие материальные затраты (Пр) |
49,44 |
26,15 |
51,29 |
40,73 |
44,57 |
66,85 |
64,58 |
51,39 |
Рентабельность продукции (R) |
55,64 |
56,41 |
53,14 |
55,78 |
54,15 |
55,1 |
54,3 |
53,96 |
Построим корреляционную матрицу, заполнив её парными линейными коэффициентами корреляции Пирсона, для чего сравним попарно все факторы (расходы на сбыт) и признак (выручка) системы. Главная диагональ матрицы состоит из единиц, так как отражает силу зависимости показателя самого от себя. Матрица симметрична относительно главной диагонали.
|
ОМ |
ВМ |
СиП |
ГСМ |
Э |
Пр |
Rпр |
ОМ |
1 |
0,984905 |
0,772931 |
0,982232 |
0,475783 |
0,71087 |
-0,46428 |
ВМ |
0,984905 |
1 |
0,67403 |
0,966201 |
0,460833 |
0,663448 |
-0,41762 |
СиП |
0,772931 |
0,67403 |
1 |
0,757422 |
0,285 |
0,461691 |
-0,23602 |
ГСМ |
0,982232 |
0,966201 |
0,757422 |
1 |
0,480255 |
0,779116 |
-0,42567 |
Э |
0,475783 |
0,460833 |
0,285 |
0,480255 |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,71087 |
0,663448 |
0,461691 |
0,779116 |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,46428 |
-0,41762 |
-0,23602 |
-0,42567 |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
Обратим внимание, что в данной матрице существуют три показателя у которых попарные связи сильные ОМ и ВМ, ОМ и ГСМ, ВМ и ГСМ. В таких ситуациях очень велика вероятность мультиколлинеарности. Раз эти показатели так сильно связаны между собой, то их можно заменить одним показателем. В качестве такого показателя может быть выбрана сумма этих трёх факторов, либо выбран один из них, который имеет наименьшую силу связи со всеми оставшимися факторами
Выберем второй вариант, в котором таким показателем будет величина ВМ. В этом не сложно убедиться, с другими факторами он имеет связь «0,67», «0.46», «0.66», «-0.41», что в сумме даст 1.38, что меньше чем у других показателей. Таким образом, исключим из модели такие факторы, как основные материалы (ОМ) и расход топлива (ГСМ) по причине мультиколлинеарности.
Составим новую корреляционную матрицу Q
|
ВМ |
СиП |
Э |
Пр |
Rпр |
ВМ |
1 |
|
|
|
|
СиП |
0,67403 |
1 |
|
|
|
Э |
0,460833 |
0,285 |
1 |
|
|
Пр |
0,663448 |
0,461691 |
0,640261 |
1 |
|
Rпр |
-0,41762 |
-0,23602 |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
Между R и ВМ , возможно существование зависимости. Кроме того, и коэффициент парной корреляции между ними имеет достаточно большую величину (0,67). В модели не должно существовать взаимозависимых элементов, что может привести к мультиколлинеарности, поэтому проведём проверку этих двух факторов с помощью частных коэффициентов корреляции.
Рассчитаем алгебраическое дополнение по признаку АR,R
|
ВМ |
СиП |
Э |
Пр |
Rпр |
ВМ |
1 |
0,67403 |
0,460833 |
0,663448 |
-0,41762 |
СиП |
0,67403 |
1 |
0,285 |
0,461691 |
-0,23602 |
Э |
0,460833 |
0,285 |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,663448 |
0,461691 |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,41762 |
-0,23602 |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 0,67403 0,460833 0,663448 0,67403 1 0,285 0,461691 0,460833 0,285 1 0,640261 0,663448 0,461691 0,640261 1
= 0,17877
Рассчитаем алгебраическое дополнение по признаку Авм,вм
|
ВМ |
СиП |
Э |
Пр |
Rпр |
ВМ |
1 |
0,67403 |
0,460833 |
0,663448 |
-0,41762 |
СиП |
0,67403 |
1 |
0,285 |
0,461691 |
-0,23602 |
Э |
0,460833 |
0,285 |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,663448 |
0,461691 |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,41762 |
-0,23602 |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
Рассчитаем алгебраическое дополнение по фактору ВМ признаку АR,ВМ
|
ВМ |
СиП |
Э |
Пр |
Rпр |
ВМ |
1 |
0,67403 |
0,460833 |
0,663448 |
-0,41762 |
СиП |
0,67403 |
1 |
0,285 |
0,461691 |
-0,23602 |
Э |
0,460833 |
0,285 |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,663448 |
0,461691 |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,41762 |
-0,23602 |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
0,67403 0,460833 0,663448 -0,41762 1 0,285 0,461691 -0,23602 0,285 1 0,640261 -0,08902 0,461691 0,640261 1 -0,49867
= 0,04645
Подставим полученные значения в формулу частного коэффициента корреляции
= - 0,19826
Проверим коэффициент корреляции на нулевую гипотезу.
При 18-ти степенях свободы критическое значение Стьюдента – «2,1», что больше фактического значения, следовательно ошибка значительна, а линейная зависимость R от ВМ маловероятна.
Аналогично рассчитаем частный коэффициент корреляции СиП и проверим его на нулевую гипотезу
Рассчитаем методом Гаусса алгебраическое дополнение по фактору признаку АСиП,СиП
|
ВМ |
СиП |
Э |
Пр |
Rпр |
ВМ |
1 |
0,67403 |
0,460833 |
0,663448 |
-0,41762 |
СиП |
0,67403 |
1 |
0,285 |
0,461691 |
-0,23602 |
Э |
0,460833 |
0,285 |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,663448 |
0,461691 |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,41762 |
-0,23602 |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
Рассчитаем методом Гаусса алгебраическое дополнение по фактору СиП и признаку АR,СиП
|
ВМ |
СиП |
Э |
Пр |
Rпр |
ВМ |
1 |
0,67403 |
0,460833 |
0,663448 |
-0,41762 |
СиП |
0,67403 |
1 |
0,285 |
0,461691 |
-0,23602 |
Э |
0,460833 |
0,285 |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,663448 |
0,461691 |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,41762 |
-0,23602 |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
1 0,460833 0,663448 -0,41762 0,67403 0,285 0,461691 -0,23602 0,460833 1 0,640261 -0,08902 0,663448 0,640261 1 -0,49867
= 0,021377
Подставим полученные значения в формулу частного коэффициента корреляции
Проверим коэффициент корреляции на нулевую гипотезу.
При 18-ти степенях свободы критическое значение Стьюдента – «2,1», что больше фактического значения, следовательно ошибка значительна, а линейная зависимость R от СиП маловероятна.
Обратим внимание, что парныt коэффициент корреляции указывает на большое влияние факторов на признак, однако частные коэффициенты выявили отсутствие связи. Это и есть пример мультиколлинеарности, когда за счёт других факторов создаётся видимость зависимости признака от фактора, которой на самом деле – нет. Исключаем ВМ и СиТ из модели.
|
Э |
Пр |
Rпр |
Э |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
Теперь проверим оставшиеся факторы
|
Э |
Пр |
Rпр |
Э |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
АRR = 0,59
|
Э |
Пр |
Rпр |
Э |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
Аээ = 0,75132
|
Э |
Пр |
Rпр |
Э |
1 |
0,640261 |
-0,08902 |
Пр |
0,640261 |
1 |
-0,49867 |
Rпр |
-0,08902 |
-0,49867 |
1 |
АRЭ = -0,23025
Таким образом, последовательно исключая неподходящие факторы мы пришли к однофакторной модели зависимости рентабельности от Пр мат затрат. Проверим данный фактор.
В однофакторной модели коэффициент корреляции – это парный линейный коэффициент корреляции Пирсона, который в нашем случае уже был рассчитан и включён в корреляционную матрицу «-0,49867».
-0.49867
Проверка коэффициента корреляции на нулевую гипотезу осуществляется, при помощи критерия Стьюдента, который равен
Таким образом, элементы материальных затрат не влияют на рентабельность производства.
Проведём регрессионный анализ
Логический анализ и сбор исходных данных мы провели на стадии корреляционного анализа, и необходимости повторно проводить эти стадии - нет. Следовательно, перейдём к следующему этапу.
.
Так как в нашей модели не выявлено влияющих факторов, возьмем для примера тот, который более приближен к критическому значению. , фактор Э.
Так как у нас предполагается однофакторная модель, то имеет смысл провести графический анализ, для этого построим график зависимости R от Э.
Визуальное наблюдение графика зависимости подтверждает не высокую вероятность связи между признаком и фактором. Предполагаемые формы зависимости – линейная и параболическая
Построим линейную модель вида:
Ошибка модели определяется по формуле
e2 = Σ (R – а*Э-с)2
Наилучшая модель такого вида – это та у которой ошибка минимальна. Для нахождения модели с наименьшей ошибкой проведём частное дифференцирование по неизвестным показателям «а» и «с» и приравняем результат к нулю.
Таким образом, наилучшая линейная регрессионная модель будет иметь вид
Аналогично найдём лучшую параболическую модель, которая будет иметь вид
R пар = 0,8447 Э2 - 12,306*Э + 99,428
Для выбора лучшей из этих двух моделей рассчитаем для всех известных значений Э величину трендовых R.