- •3 Звіт про проходження педагогічної практики
- •2. Активна практика
- •Тема уроку: ”Неперервність складеної функції. Неперервність елементарних функцій. Точки розриву та асимптоти”
- •Неперервність складеної функції. Неперервність елементарних функцій
- •Неперервність показникової функції
- •Неперервність логарифмічної функції
- •Неперервність обернених тригонометричних функцій
- •Неперервність степеневої функції
- •Похилі та горизонтальні асимптоти кривої
- •16 Тема уроку: ” Теорема обернена до теореми Піфагора”
- •17 Тема уроку: ” Розв’язання задач з похідними”
Неперервність обернених тригонометричних функцій
Міркуючи аналогічно до попереднього пункту, дістаємо неперервність обернених тригонометричних функцій y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x на області визначення кожної з них як обернених до тригонометричних функцій y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x, неперервність яких було доведено раніше.
Неперервність степеневої функції
Ми вже зазначали, доводячи неперервність раціональних функцій, що при натуральному функція неперервна при . Якщо - ціле від’ємне число, то, поклавши , матимемо: . Оскільки функція неперервна і перетворюється на нуль лише при , то функція неперервна в усіх точках, крім , як частка неперервних функцій.
Аналогічно, розглядаючи всі можливі припущення щодо , можна довести, що степенева функція неперервна в усіх точка області визначення.
Розглянемо тільки випадок, коли , де - ірраціональне число. У цьому випадку функція визначена при . Запишемо у вигляді , де . Оскільки, як було доведено, - неперервна функція при , то за теоремою про неперервність складеної функції дістаємо, що є неперервною функцією при .
13
Класифікація точок розриву
Означення: Точка називається точкою розриву першого роду функції , якщо функція в точці не є неперервною.
Розриви першого роду: Точка називається точкою розриву першого роду функції , якщо функція в точці має скінченні, але не рівні між собою праву і ліву границю:
|
Наприклад, для функції x точка є точкою розриву першого роду, оскільки x=1,x=-1.
Розриви другого роду: Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо функція в точці не має хоча б однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь нескінченна.
Наприклад, для функції точка є точкою розриву другого роду, оскільки . Можна навести й інший приклад. Раніше було встановлено, що функція Дирихле не є неперервною в будь-якій точці числової прямої і не має границі в кожній точці . Отже, в будь-якій точці функція Дирихле має розрив другого роду.
Похилі та горизонтальні асимптоти кривої
Нехай функція визначена на інтервалі .
Означення: Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої від цієї прямої прямує до нуля, коли (Рис.2).
14
Рис.2
Теорема: (необхідна і достатня умова існування асимптоти кривої)
Нехай функція визначена на інтервалі .Щоб пряма була асимптотою кривої ,необхідно і достатньо, щоб
. (1)
Доведення: Розглянемо випадок, коли функція визначена на інтервалі. Другий випадок доводиться аналогічно.
Необхідність: Нехай пряма є асимптотою кривої.Відстаньточкикривої від цієї прямої легко визначити з прямокутного трикутника(Рис.2):
cos.
Оскільки , коли,cosіне залежить від, то. Звідси:
,
, тобто рівності (1) виконуються.
Достатність: Нехай мають місце рівності (1), де і - дійсні числа. Покажемо, що пряма є асимптотою кривої .
Справді, з рівностей (1) маємо:
,
15
тобто модуль різниці ординат кривої і прямох прямує до нуля, коли . Але при цьому, якщо , то прямуватиме до нуля і відстань точки кривої від цієї прямої. Отже, пряма є асимптотою кривої .
щ.п.б.д.
Зауваження: Асимптота кривої може не мати з кривою спільних точок, а може перетинатися з нею як у скінченній, так і в нескінченній кількості точок.
Означення: Асимптоти, рівняння яких має вигляд , називають похилими асимптотами кривої. Якщо ж , то асимптоту називають горизонтальною асимптотою кривої.
Приклад: Знайдемо похилі асимптоти кривої .
Розв’язання: Маємо:
,
.
Пряма - похила асимптота даної кривої.
Завдання для домашнього опрацювання:
Вивчити конспект.