Операции над матрицами

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в Mathcad в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Некоторые операции применимы только к квадратным матрицам NxN, некоторые допускаются только для векторов (например, скалярное произведение), а другие, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Транспонирование

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности MxN в матрицу размерности NxM, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами. Несколько примеров транспонирования приведены в примере. Ввод символа транспонирования (transpose) осуществляется с помощью панели инструментов Matrix (Матрица) или нажатием клавиш <Ctrl>+<!>. He забывайте, что для вставки символа транспонирования матрица должна находиться между линиями ввода.

Рис. Ввод матриц и основные операции над ними осуществляются при помощи панели Matrix

ПРИМЕЧАНИЕ

Все матричные и векторные операторы, о которых пойдет речь, допустимо использовать как в численных, так и в символьных расчетах. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными. Смело используйте символьный процессор в качестве мощного математического справочника, когда вы хотите вспомнить какое-либо определение из области линейной алгебры. Именно по этой причине мы прибегаем к примерам символьных расчетов в большинстве иллюстраций к данному разделу.

Транспонирование векторов и матриц

Действия над матрицами

В Mathcad можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются стандартные символы "+" или "—" соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Результат унарной операции смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом (нижняя строка примера).

Сложение, вычитание и смена знака матриц

Кроме сложения матриц Mathcad поддерживает операцию сложения матрицы со скаляром. Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответствующего элемента исходной матрицы и скалярной величины.

Сложение матрицы со скалярной величиной

Иногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора или матрицы. Для этого существует вспомогательный оператор (пример 14, первая и вторая строки соответственно), задаваемый кнопкой Vector Sum (Суммирование элементов вектора) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш <Ctrl>+<4>. Этот оператор чаще оказывается полезным не в матричной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными.

В том же примере (снизу) показано применение операции суммирования диагональных элементов квадратной матрицы. Эту сумму называют следом (trace) матрицы. Данная операция организована в виде встроенной функции tr:

tr (А) — след квадратной матрицы А.

Суммирование элементов и вычисление следа матрицы

При умножении следует помнить, что матрицу размерности MxN допустимо умножать только на матрицу размерности NxP (Pможет быть любым). В результате получается матрица размерности MхP.

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*> или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в примере.

Перемножение матриц

Обратите внимание, что попытка перемножить матрицы А и В несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе Mathcad выделяется красным цветом. При установке курсора на это выражение появляется сообщение о несовпадении числа строк первой матрицы с числом столбцов второй матрицы.

Еще один пример, относящийся к умножению вектора на матрицу-строку и, наоборот, строки на вектор, приведен в примере.

ВНИМАНИЕ!

Тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому !!!

Умножение вектора и строки

Аналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы на скалярную величину. Символ умножения вводится так же, как и в случае умножения двух матриц. На скаляр можно умножать матрицу любой размерности.