Векторная алгебра

Векторы являются частным случаем матриц размерности Nх1, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены. Вместе с тем для векторов в линейной алгебре предусмотрен целый ряд специфических операций, и все они реализованы в системе Mathcad.

ВНИМАНИЕ!

Непосредственное проведение многих векторных операций над матрицами-строками, т. е. матрицами 1xN, невозможно; для того, чтобы превратить строку в вектор, ее нужно предварительно транспонировать.

Модуль вектора (vector magnitude)по определению равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов.

ВНИМАНИЕ!

Не путайте модуль вектора и определитель матрицы, который обозначается тем же символом. Это характерный пример оператора, действующего по-разному на векторы и квадратные матрицы.

Модуль вектора

Скалярное произведение векторов(vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно uv=|u||v|cos0, где 0— угол между векторами. Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом, что и умножение.

ВНИМАНИЕ!

Для обозначения скалярного произведения пользователю позволяется выбирать представление оператора умножения при помощи контекстного меню (подобно умножению скалярных величин). Однако никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ х, который является общеупотребительным символом векторного произведения.

Скалярное произведение векторов

С осторожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разному расставленные скобки полностью изменяют результат умножения.

Скалярное произведение векторов, умноженное на третий вектор

Векторное произведение(cross product) двух векторов u и v с углом ф между ними равно вектору с модулем |u|-|v|sin0, направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш <Ctrl>+<8>.

Векторное произведение двух векторов

Векторизация массива

Векторная алгебра Mathcad включает несколько необычный оператор, который называется оператором векторизации (vectorize operator). Этот оператор предназначен, как правило, для работы с массивами. Он позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива (т. е. матрицы или вектора), упрощая тем самым программирование циклов. Например, иногда требуется умножить каждый элемент одного вектора на соответствующий элемент другого вектора, чтобы в результате также получился вектор. Непосредственно такой операции в Mathcad нет, но ее легко осуществить с помощью векторизации. Для этого:

1. Введите векторное выражение, как показано во второй строчке примера (обратите внимание, что в таком виде символ умножения обозначает оператор скалярного произведения векторов).

2. Переместите курсор таким образом, чтобы линии ввода выделяли все выражение, которое требуется подвергнуть векторизации.

3. Введите оператор векторизации, нажав кнопку Vectorize (Векторизация) на панели Matrix (Матрица)), или сочетанием клавиш <Ctrl>+<->.

4. Введите <=>, чтобы получить результат.

Использование оператора векторизации для перемножения элементов вектора

Большинство неспецифических функций Mathcad не требуют векторизации для проведения одной и той же операции над всеми элементами вектора. Например, аргументом тригонометрических функций по определению является скаляр. Если попытаться вычислить экспоненту от векторной величины, Mathcad осуществит векторизацию по умолчанию, возведя в степень е каждый элемент и выдав в качестве результата соответствующий вектор.

Векторизация аргумента необязательна для большинства встроенных функций Mathcad