ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

DET A

где

A =		6	5	−2
		2	6	−5
	−4		2	3

; X =	x2	; B =		5 .
	x1			−20
	x3		−16

Вычислим определитель основной матрицы системы (3) методом треугольников:

detA =

6

5

−2

= (2 · 5 · 3 + 6 · (−2) · (−4) + (−5) · 6 · 2) −

2

6

−5

−4

2

3

− (−5 · 5 · (−4) + 6 · 6 · 3

· − ·

−

−

−

−

(

2) 2) = (30 + 48

60)

−1

8) =

182;

+ 2

(100 + 108

Так как detA = −182 6

, то существует матрица A

, следовательно можно применить матричный

= 0

метод.

X = A−1 · B;

A−1 = detA · A12

A22

A32

;

Aij = (−1)i+j · Mij .

1

A11

A21

A31

A11 =

−3

= 19; A12 = −

A13

A23

A33

2

−4

−3

= −10; A13

=

−4

2

= 32;

5

2

6

2

6

5

6

2

−

2

−

4

4

2

−

6

5

−

5

A21 = −

2

3

= −28; A22 =

3

2

= −28;

−

= −14; A23 = −

−

−

5

−

5

6

A31 =

6

= 13; A32

= −

2

= −26; A33 =

6

= −26;

−

−

1

−14

−26

5

=

X = −182

−10

·

19

28

13

20

32

−28

−26

−16

= −182

−10 · (−20) − 14 · 5 − 26 · (−16)

=

1

19 · (−20) − 28 · 5 + 13 · (−16)

= −182

32 · (−20) − 28 · 5 − 26 · (−16)

.

200 − 70 + 416

= −182

546

= −3

1

−380 − 140 − 208

1

−728

4

−640 − 140 + 416

−364

2

Ответ:

x1 = 4; x2 = −3; x3 = 2.

Метод Крамера

Рассмотрим систему уравнений (1), в которой количество уравнений равно количеству неизвестных, т.е. m = n, и пусть DET A 6= 0 .

Каждому неизвестному xi ставим в соответствие матрицу Axi , которая получается из матрицы A заменой i -ого столбца столбцом свободных членов, т.е.

Axi	=	a21			... a2(i−1)
			a11		...	a1(i−1)
	def
		an		1	...	a	−	1)
						n(i
			.. ... ...

d2	a2(i+1)	...	a2n
d1	a1(i+1)	...	a1n
dn	a	...	ann
...	n(i+1)	... ...
	...

Тогда, используя свойства определителей, можно показать, что

xi = DET Axi , i = 1; n.

Пример. Решим систему (4) методом Крамера. Так как detA = −182 6= 0, то для решения системы уравнений можно применить метод Крамера. Для этого вначале вычисляем три вспомогательных

определителя:			5	−2	= (−300 + 192 − 50) − (400 + 90 + 80) = −728 ;
detA1 =	−	5
		20	6	−5
	−16		2	3

11

detA2 =

6

5

−2

= (30 − 160 + 480) − (100 − 360 + 64) = 546 ;

2

−20

−5

−4

−16

3

2

6

−20

detA3 =

6

5

5

= (−160 − 120 − 240) − (400 − 576 + 20) = −364 .

−4

2

−16

Теперь

вычисляем неизвестные:

detA

1

−728

detA2

546

detA3

−364

x1 =

=

= 4;

x2 =

=

= −3;

x3 =

=

= 2.

detA

−182

detA

−182

detA

−182

Ответ:

x1 = 4;

x2 = −3;

x3 = 2.

Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и состоит из двух частей. Первую часть будем назывть прямым ходом метода Гаусса. Здесь, с помощью алгебраических преобразований, получают систему, равносильную исходной, основная матрица которой является верхней треугольной матрицей. Вторую часть будем называть обратным ходом метода Гаусса. На этом этапе уже вычисляются значения неизвестных величин. Рассмотрим одну из модификаций метода Гаусса на примере решения следующей системы линейных уравнений:

	5x1	−	4x2	−	7x3	=	35	(5)
	−2x1	+	6x2	+	4x3	=	−24

3x1 + 8x2 + 6x3 = −10

Прямой ход метода Гаусса.

Записываем расширенную матрицу системы (5), т.е. матрицу, первый столбец которой образуют коэффициенты системы (5) при первом неизвестном (в рассматриваемом примере - коэффициенты при x1), второй столбец - это коэффициенты системы (5) при втором неизвестном (в рассматриваемом примере - коэффициенты при x2), и т.д. ... , последний столбец - это столбец свободных членов системы (5):

B =	−5	−4	−7	| 35
	2	6	4	|	−24
Над		8	6	|
	3				−10

строками расширенной матрицы можно производить только следующие действия: разрешается 1) изменять порядок строк (это соответствует изменению порядка уравнений), 2) умножать все элементы строки на любое отличное от нуля число (это соответствует умножению уравнения на это число) и 3) прибавлять к элементам любой строки расширенной матрицы соответствующие элементы любой другой строки, предварительно умноженные на какое-нибудь число (это соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на это число). С помощью таких преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной. Над столбцами расширенной матрицы выполнять какие-либо действия запрещено. Отметим, что имеет смысл все элементы строки расширенной матрицы делить на наибольший общий делитель (НОД) элементов этой строки.

Выделим каким-либо способом (подчеркнём или выделим полужирным шрифтом) какую-нибудь строку матрицы B = (bij ), в которой элемент bi1 =6 0, (т.е. коэффициент при первом неизвестном (при x1) отличен от нуля). Заметим, что путем изменения порядка строк, если это необходимо, всегда можно добиться выполнения неравенства b11 =6 0. Т.к. в рассматриваемом случае b11 = −2 =6 0, то выделим

полужирным шрифтом (или подчеркнём) первую строку:
−	5	−4	−7	||	−	35		(6)
	2	6	4			24
	3	8	6	|	−10

Теперь с помощью эквивалентных преобразований будем изменять матрицу (6) таким образом, чтобы у новой матрицы выделенная строка осталась без изменения а в остальных строках в первом столбце новой матрицы были бы нули.

Чтобы получить нули надо проделать следующее:

12

1.Элементы выделенной строки матрицы (6) умножим на −b21 = −5 и прибавим к соответствующим элементам второй строки, предварительно умноженным на b11 = −2. Таким образом получим новую вторую строку.

2.Элементы выделенной строки матрицы (6) умножим на −b31 = −3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки, предварительно умноженным на b11 = −2. Таким образом получим новую третью строку.

	Описанные выше действия коротко будем записывать так:
	−5	−4 −7 || −		35	−2		−3
	2	6	4	24	−5		−2
	3	8	6 | −10
			−2					6						4	|	−24
	Итак, новая матрица получается из (6) следующим образом:
(−5) · (−2) + (−2) · (5)				(−5) · (6) + (−2) · (−4)					(−5) · (4) + (−2) · (−7)						|	(−5) · (−24) + (−2) · (35)
	−3) · (−2) + (−2) · (3)				(−3) · (6) + (−2) · (8)				(−3) · (4) + (−2) · (6)						|	(−3) · (−24) + (−2) · (−10)
	(Таким образом, получили следующую матрицу:
	−0	−22 −6 || −			50
	2	6	4	24
	0	−34 −24 |			92
	Вторую и третью строки полученной матрицы поделим на 2:
					C = (cij ) = −			0	−11	−3	||	−	25			(7)
								2	6	4			24
								0	−17	−12	|		46

В матрице C рассматриваем только не выделенные строки (т.е. 2 и 3 строки). Из оставшихся строк выбираем такую, в которой элемент ci2 6= 0. Так как c22 = −11 6= 0, то выделим вторую строку и преобразуем матрицу C таким образом, чтобы первые две строки остались без изменения, а в третьей строке первые два элемента новой матрицы стали бы равными нулю. Для этого все элементы второй строки умножим на −c32 = 17 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки, предварительно

умноженным на c22 = −11. Таким образом получим новую третью строку.
Описанные выше действия коротко запишем так:
−0	−11	−3	|| −25	17
2	6	4	24
0	−17	−12	| 46	−11
Таким образом, получим следующую матрицу:
				−0		−11	−3	|	25		(8)
					2	6	4	|	−24
					0	0	81	|	−81

Матрица (8) является расширенной матрицей следующей системы уравнений:
	−	11x2	−	3x3	=	25	(9)
−2x1	+	6x2	+ 4x3		= −24
			+	81x3	=	−81

Основная матрица системы (9) является верхней треугольной матрицей, поэтому цель первой части метода Гаусса достигнута, а следовательно, прямой ход метода Гаусса закончен.

Обратный ход метода Гаусса.

Теперь решаем полученную систему (9) последовательно "снизу вверх", начиная с последнего уравнения системы:

81x3 = −81. Отсюда находим x3 = −1.

Подставляем полученное значение x3 в предыдущее уравнение системы (9) и находим x2:

−11x2 − 3 · (−1) = 25. x2 = −2.

Найденные значения x2 и x3 подставляем в первое уравнение системы (9) и находим x1:

−2x1 + 6 · (−2) + 4 · (−1) = −24. x1 = 4.

Все неизвестные найдены, тем самым обратный ход метода Гаусса закончен.

13

Замечание. Отметим следующее обстоятельство, присущее данной модификации метода Гаусса. После того как в первом столбце расширенной матрицы получены нули (т.е. все элементы этого столбца, кроме одного, равны нулю), первая строка матрицы потребуется только на втором этапе метода Гаусса, поэтому её можно далее опустить. После этого получится новая система уравнений, содержащяя на одно неизвестное и на одно уравнение меньше, чем первоначальная система (первый столбец расширенной матрицы этой системы состоит из нулей). Теперь аналогично предыдущему получаем нули во втором столбце новой матрицы. После того как во втором столбце расширенной матрицы получены нули (т.е. все элементы этого столбца, кроме одного, равны нулю), первая строка этой матрицы потребуется только на втором этапе метода Гаусса, поэтому её можно далее опустить. И т.д.

Покажем, как будет выглядеть решение системы (5) при применении системы записи, вытекающей из этого замечания.

Задача. Найти все решения следующей системы уравнений:

	5x1	−	4x2	−	7x3	=	35
	−2x1	+	6x2	+	4x3	=	−24

3x1 + 8x2 + 6x3 = −10

Решение:

Прямой ход метода Гаусса.

−5 −4			−7 || −35				−2		−3
	2	6	4	|	24		−5		−2
	3	8	6		−10
	0	−22	−6	|	50
	0	−34	−24	|	92
Делим элементы строки 1 на 2
Делим элементы строки 2 на 2
	0	−17	−12	|	46		−11
	0	−11	−3	|	25		17
	0 0 81		|	−81

Обратный ход метода Гаусса.

Из равенства 81 · x3 = −81 следует, что x3 = −1.

Далее находим: −11 · x2 −3 · x3 = 25 = −11 · x2 −3 · (−1) = 25 = x2 = −2. −2 · x1 +6 · x2 +4 · x3 = −24 = −2 · x1 +6 · (−2) +4 · (−1) = −24 = x1 = 4.

Ответ: x1 = 4; x2 = −2; x3 = −1.

В процессе выполнения прямого хода метода Гаусса может получиться строка имеющая вид (0 0 ... 0 | d), где число d 6= 0. Это означает, что исходная система уравнений не имеет решения.

Приведем пример системы, которая не имеет решения.

Задача. Найти все решения следующей системы уравнений:

5x1

− 2x2

+ 8x3

+ 7x4

= −28

−3x1

+ 4x2

− 5x3

+ 2x4

= −7

−4x1

+ 10x2 − 7x3

+ 13x4

= −50

13x1 − 8x + 21x3

+ 12x4

= −51

Решение:

2

−5 −2

Прямой ход метода Гаусса.

−8

7 ||

−28

−3

4

−13

3

4

5

2

−7

−5

−3

−4 10 −7 13 | −50

13 −8 21 12 | −51

−3

0

−14

1

−31

|

119

0

−14

1

−31

|

122

0 −28 2 −62 | 244

Делим элементы строки 3 на 2

14

	0	−14		1	−31		|	122		−14		14
	0	−14		1	−31		|	119		14
	0	−14		1	−31		|	122				−14
	0	0	0	0	|	−42
	0 0 0 0				|	−42
Делим элементы строки 1 на 42
Делим элементы строки 2 на 42
	0	0	0	0	||	−1
	0	0	0	0		−1

Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили строку ( 0 ... 0 | 1 ), то система уравнений не имеет решения.

Ответ: Система не имеет решения.

Если в процессе выполнения обратного хода метода Гаусса после подстановки найденных ранее неизвестных будет получено уравнение с несколькими неизвестными, то все неизвестные кроме одного надо объявить параметрами, выразить оставшееся неизвестное через параметры и продолжить выполнение обратного хода метода Гаусса. В этом случае система уравнений имеет бесчисленное множество решений, которые и будут найдены во время обратного хода.

Далее приведем пример системы уравнений, которая имеет бесчисленное множество решений.

Задача. Найти все решения следующей системы уравнений:

4x1

+ 3x2

− 6x3

+ 35x4

= −35

2x1

+ 7x2

− 8x3

+ 43x4

= −49

−5x1 − 2x2

+ 9x3 − 48x4

=

43

−3x1

+ 6x2

+ 2x3 − 8x4

= −6

Решение:

Прямой ход метода Гаусса.

2 7 −8

43 | −49 −4

5

3

4

3

−6

35

|

−35

2

−5 −2

9

−48 | 43

2

−3

6

2

−8

|

−6

2

0

−22

20

−102

|

126

0

31

−22

119

|

−159

0

33

−20

113

|

−159

Делим элементы строки 1 на 2

−11

0

−

31

−22

−119

||

−159

−33

0

11

10

51

63

−31

0

0

−68

272 |

−204

0

33

−20

113

|

−159

−11

0 0 −110 440 |

−330

Делим элементы строки 1 на 68

Делим элементы строки 2 на 110

0 0 −1 4 | −3

−1

0

0

−1

4

| −3

1

Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили матрицу вида:

0

0

0

0

| 0

то прямой ход

закончен и начинаем обратный ход, причем начинаем его с последней выделенной

(подчеркнутой) строки, в которой есть хотя бы один не нулевой элемент.

Обратный ход метода Гаусса.

Так как в равенстве −1 · x3 + 4 · x4 = −3 имеются два неизвестных, то одно из этих неизвестных объявим параметром. Пусть, например, x4 = t параметр. Тогда из предыдущего равенства следует,

что x3 = 4t + 3.
Далее находим:
−11 · x2 +10	· x3 −51 · x4 = 63	=	−11 · x2 +10 · (4t + 3) −51 · t = 63 = x2 = −t − 3.
2 · x1 +7 · x2 −8 · x3 +43 · x4 = −49		= 2 · x1 +7 · (−t − 3) −8 · (4t + 3) +43 · t = −49 = x1 = −2t − 2.
Ответ: x1 = −2t − 2; x2 = −t − 3;			x3 = 4t + 3; x4 = t; t параметр.

15

Метод Гаусса можно применять для решения любой системы линейных алгебраических уравнений, в частности, для решения переопределеных систем (т.е. систем уравнений, в которых число неизвестных меньше числа уравнений) и систем уравнений, в которых число неизвестных больше числа уравнений.

Пример решения переопределенной системы уравнений.

Задача. Найти все решения следующей системы уравнений:

		7x1	+ 2x2			+ 19x3			=			13
	−6x1		− 7x2			− 11x3			=			10
		8x1 − 6x2				+ 30x3			=			48
	−9x1		+ 8x2 − 35x3						= −59
Решение:
				Прямой ход метода Гаусса.
−6 −7 −11						| 10 −7							−8		9
		7	2		19	|	13			−6
		8 −6			30	| 48							−6
	−9		8	−35		|	−59								−6
	0		37	−37		|	−148
	0		92	−92		|	−368
	0	−111		111		|	444
Делим элементы строки 1 на 37
Делим элементы строки 2 на 92
Делим элементы строки 3 на 111											1
0			1 −1 | −4				−1
	0		1	−1	|	−4		1			1
	0	−1		1	|	4
	0	0	0	|	0
Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили матрицу вида:
	0	0	0	|	0

то прямой ход закончен и начинаем обратный ход, причем начинаем его с последней выделенной (подчеркнутой) строки, в которой есть хотя бы один не нулевой элемент.

Обратный ход метода Гаусса.

Так как в равенстве 1 · x2 − 1 · x3 = −4 имеются два неизвестных, то одно из этих неизвестных объявим параметром. Пусть, например, x3 = t параметр. Тогда из предыдущего равенства следует, что x2 = t − 4.

Далее находим:

−6 · x1 −7 · x2 −11 · x3 = 10 = −6 · x1 −7 · (t − 4) −11 · t = 10 = x1 = −3t + 3.

Ответ: x1 = −3t + 3; x2 = t − 4; x3 = t; t параметр.

Приведём пример решения переопределенной системы уравнений.

Задача. Найти все решения следующей системы уравнений:

−5x1			− 9x2		+ 2x3		=		28
	−3x1		+ 2x2		+ 4x3		= −10
	−9x1 − 8x2				+ 7x3		=		21
	−4x1 − 6x2				+ 3x3		=		19
Решение:
				Прямой ход метода Гаусса.
−5 −9 2 |					28		−3		9		4
	−3		2	4 |	−10		5		−3
	−9 −8 7 | 21
	−4 −6 3 |				19						−3
	0	37	14	|	−134
	0	42	15	|	−153
	0	26	7	|	−97

16

Делим элементы строки 2 на 3
	0	37	14	||	−134			14		−26
	0	14	5	|	−51			−37
	0	26	7		−97					14
	0	0	11	|	11
	0 0 −32 |				−32
Делим элементы строки 1 на 11
Делим элементы строки 2 на 32
0 0 −1 ||					−1		1
	0	0	1		1		1
Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили матрицу вида:
	0 0 0		|	0
то прямой ход				закончен и начинаем обратный ход, причем начинаем его с последней выделенной
(подчеркнутой) строки, в которой есть хотя бы один не нулевой элемент.
			Обратный ход метода Гаусса.
Из равенства 1 · x3 = 1 следует, что x3 = 1.
Далее находим: 14 · x2 +5 · x3 = −51										= 14 · x2 +5 · (1) = −51 = x2 = −4.
−3 · x1 +2 · x2 +4 · x3 = −10								= −3 · x1 +2 · (−4) +4 · (1) = −10 = x1 = 2.
Ответ:		x1 = 2;			x2 = −4;			x3 = 1.

В заключение приведем пример решения системы уравнений, в которой количество неизвестных больше числа уравнений.

Задача. Найти все решения следующей системы уравнений:

−8x1		− 2x2		− 7x3		− 3x4			= −6
	2x1	− 3x2		− 4x3		− 27x4			= −11
	−4x1	+ 8x2		+ 6x3		+ 54x4			=	8
Решение:
			Прямой ход метода Гаусса.
−8 −2 −7				−3 | −6				2		4
	2	−3	−4	−27	| −11			8
	−4	8	6	54	|	8				2
						−100
	0 −28		−46	−222	|
0		4 −4		0 | −28
Делим элементы строки 1 на 2
Делим элементы строки 2 на 4								1
	0 −14		−23	−111	|	−50
	0	1	−1	0	|	−7		14

Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили матрицу вида:

0 0 −37 −111 | −148

то прямой ход закончен и начинаем обратный ход.

Обратный ход метода Гаусса.

Так как в равенстве −37 ·x3 −111 ·x4 = −148 имеются два неизвестных, то одно из этих неизвестных объявим параметром. Пусть, например, x4 = t параметр. Тогда из предыдущего равенства следует,

что x3 = −3t + 4. Далее находим:

1 · x2 −1 · x3 = −7 = 1 · x2 −1 · (−3t + 4) = −7 = x2 = −3t − 3.

2 · x1 −3 · x2 −4 · x3 −27 · x4 = −11 = 2 · x1 −3 · (−3t − 3) −4 · (−3t + 4) −27 · t = −11 = x1 = 3t − 2.

Ответ: x1 = 3t − 2; x2 = −3t − 3; x3 = −3t + 4; x4 = t; t параметр.

17

Литература.

Беклемишев,Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры/Д.В.Беклемишев. М.: Высшая школа, 1998. 320с.

Бугров,Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /Я.С.Бугров, С.М.Никольский. М.: Наука, 1980. 176с.

Рублев, А.Н. Линейная алгебра /А.Н.Рублев. М.: Высшая школа, 1968. 384с. Мальцев,А.И. Основы линейной алгебры /А.И.Мальцев. М.: Наука, 1970. 400с. Курош,А.Г. Курс высшей алгебры/ А.Г.Курош. М.: Наука, 1968. 432с.

Тышкевич,Р.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия/ Р.И.Тышкевич, А.С.Феденко. Минск.: Вышэйшая школа, 1968. 504с.

Шнейдер,В.Е. Краткий курс высшей математики. Том 1/ В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцкий, А.С.Шумов.М.: Высшая школа, 1978. 384с.

18