2)Обчислення кількості комбінацій: [1], задачі до розділу 1, с. 33-34, № 13-14, 1920.

3)Експрес-контроль 13н. Перевірка навичок з числової обробки вибірки: вміння знаходити моду, медіану, квартилі та обчислювати методом умовних варіант вибіркові середнє і дисперсію.

Завдання до практичного заняття 1. Розв'язати задачі: [1], задачі до розділу 1, с. 31, №№ 2, 8, 16-18, 23.

План практичного заняття 2. Обчислення ймовірностей випадкових подій.

1)Обчислення ймовірностей за класичним означенням: [2], задачі до гл. 1, с. 30,

№№ 1-4; [3], с. 8, №№ 1-4, 5 а-б).

2)Обчислення ймовірностей за комбінаторними формулами: [1], задачі до розділу

1, с. 35, №№ 25-26, 28.

3)Експрес-контроль 2. Перевірка навичок з алгебри подій та комбінаторики: вміння додавати та множити події, а також обчислювати кількість комбінацій.

Завдання до практичного заняття 2. Розв'язати задачі: [1], задачі до розділу 1, с. 34, №№ 15, 27, 30; [2], задачі до гл. 1, №№ 6-7, 9-10; [3], с. 8, №№ 5 в-г), 6-8.

План практичного заняття 3. Обчислення ймовірностей за теоремами додавання та множення.

1)Обчислення умовних ймовірностей: [1], задачі до розділу 2, с. 53, № 5.

2)Задачі на множення ймовірностей: [1], задачі до розділу 2, с. 53, №№ 7, 12-13, 27.

3)Задачі на додавання ймовірностей: [1], задачі до розділу 2, с. 52, №№ 2-3, 8, 30, 33.

4)Обчислення ймовірності принаймні однієї події: [1], задачі до розділу 2, с. 56,

№№ 26, 21, 37, 43.

5)Експрес-контроль 3. Перевірка навичок обчислення ймовірностей випадкових подій безпосередньо та за допомогою комбінаторики.

Завдання до практичного заняття 3. Розв'язати задачі: [1], задачі до розділу 2, с. 53, №№ 1, 9-11, 14-15, 20, 22, 31, 35, 42.

План практичного заняття 4. Формули повної ймовірності та Баєса.

1)Обчислення ймовірностей за формулою повної ймовірності: [1], задачі до розділу

2, с. 53, №№ 16, 4, 41, 24, 38.

2)Обчислення ймовірностей за формулами Баєса: [1], задачі до розділу 2, с. 55, №№

19, 39.

3)Експрес-контроль 4. Перевірка навичок застосування теорем додавання та

множення для обчислення ймовірностей випадкових подій.

Завдання до практичного заняття 4. Розв'язати задачі: [1], задачі до розділу 2,

№№ 17, 23, 25, 29, 36, 44.

ТЕМА 2. МОДЕЛІ ПОВТОРНИХ ВИПРОБУВАНЬ

Ця тема вивчається по посібниках [1, розд. 3; 2, гл. 5] і конспекту лекцій 3-4. Варто чітко усвідомити, що базовим поняттям цієї теми є послідовність

незалежних випробувань. Це означає, що ймовірність випадкової події А (успіху) в кожному випробуванні не залежить від наслідків інших випробувань. У моделі випробувань Бернуллі, крім цього ймовірність успіху однакова в усіх випробуваннях. Необхідно вміти виявляти умови застосування моделі повторних випробувань Бернуллі. Спочатку потрібно опанувати формулу Бернуллі, яку застосовують при невеликій кількості випробувань (n < 10). Для цього потрібно розібрати приклад 1 з

3

[1, п. 3.1]. Найбільш імовірну кількість успіхів (моду) знаходять як у прикладі 3 з [1,

п. 3.1].

При великій кількості випробувань n для обчислення ймовірностей застосовують наближені формули. Якщо npq < 10, то формулу Пуассона (див. [1, п. 3.2, приклад 1]), а якщо npq > 10, то локальну або інтегральну формули Муавра-Лапласа (див. [1, п. 3.2, приклади 2-3]). Слід зауважити, що при n < 100, наближені формули дають значну похибку. Обчислення за локальною формулою Муавра-Лапласа проводять за допомогою таблиці 2, за інтегральною формулою Муавра-Лапласа таблиці 3, за формулою Пуассона таблиці 4 (див. [1, додаток Д4]). Більш компактні таблиці у [2, додатоки 1-2]

Для застосувань моделі повторних випробувань Бернуллі у математичній статистиці важливу роль грає теорема Бернуллі. З її допомогою обчислюють ймовірність заданого відхилення відносної частоти успіху від його теоретичної ймовірності (див. [1, п. 3.4, приклади 1-3]).

У теорії масового обслуговування широко використовується найпростіший потік подій. Обчислення ймовірностей у цій моделі спирається на формулу Пуассона (див. [1, п. 3.5, приклад 1]).

Врезультаті вивчення теми потрібно засвоїти такі основні поняття:

успіх і невдача; мода та нерівність для неї; рідкісна подія; локальна та інтегральна функції Лапласа; потік подій, його інтенсивність; стаціонарний та ординарний потік подій; потік подій без післядії; найпростіший потік подій.

Врезультаті вивчення теми потрібно оволодіти такими алгоритмами:

обчислення ймовірностей у моделі повторних випробувань Бернуллі за формулами Бернуллі та Пуассона, локальною та інтегральною формулами Муавра-Лапласа; обчислення ймовірності заданого відхилення відносної частоти успіху від його теоретичної ймовірності; знаходження моди; обчислення ймовірностей для найпростішого потоку подій.

План практичного заняття 5. Обчислення ймовірностей за формулами Бернуллі та Пуассона.

1)Задачі на формулу Бернуллі: [1], задачі до розділу 3, с. 77, №№ 1, 3, 6.

2)Задачі на формулу Пуассона: [1], задачі до розділу 3, с. 78, №№ 5, 17-20, 37.

3)Задачі на моду: [1], задачі до розділу 3, с. 79, №№ 14, 13.

4)Експрес-контроль 5. Перевірка навичок обчислення за формулою повної ймовірності та формулами Баєса.

Завдання до практичного заняття 5. Розв'язати задачі: [1], задачі до розділу 3, с. 78, №№ 2, 11-12, 15-16, 21, 24, 38-39.

План практичного заняття 6. Обчислення ймовірностей за формулами Муавра-Лапласа.

1)Задачі на локальну формулу: [1], задачі до розділу 3, с. 80, № 22.

2)Задачі на інтегральну формулу: [1], задачі до розділу 3, с. 80, №№ 25, 27.

3)Задачі на теорему Бернуллі: [1], задачі до розділу 3, с. 81, №№ 28, 32.

4)Експрес-контроль 6. Перевірка навичок обчислення ймовірностей за формулами Бернуллі та Пуассона.

Завдання до практичного заняття 6. Розв'язати задачі: [1], задачі до розділу 3, с. 80, №№ 23, 26, 29, 33.

4