Контрольные вопросы

1. Перечислите виды символьных операций, существующие в Mathcad.

2. Какие операции меню Символьные вычисления дублируются в панели Символьные?

3. Как установить отображение комментариев при символьных расчетах?

4. Как ввести число в системе счисления, отличной от десятичной?

5. Как установить единицу измерения?

6. Какие есть группы единиц измерения?

7. Как использовать масштабирование? Какие единицы здесь можно применять?

Лабораторная работа № 11

Вычисление пределов, производных и интегралов в пакете Mathcad

ЦЕЛЬ. Научиться выполнять вычисления пределов, численных значений производных и определенных интегралов, а также эти вычисление в символьном виде.

Основные положения

1. Вычисление пределов

Для вычисления пределов, производных и интегралов используется панель Матанализ, которая вызывается кнопкой.

Для вычисления пределов используется кнопка . Для получения результата используется символический знак равенства, который вызывается кнопкойиз панелиСимволыкнопка.

Пример:

2.Численное вычисление производных

Для определения операции дифференцирования следует нажать клавишу вопроса (“?”) или кнопку, по которой на экране генерируется знак операции с двумя указателями:

Можно вычислить производную n-го порядка с помощью кнопки .

Все переменные и константы должны быть предварительно определены локально или глобально (или совместно). Дифференцируемая функция может быть как действительной, так и комплексной.

3. Численное вычисление определенных интегралов

Для ввода знака операции интеграла следует нажать клавишу (@) или кнопку, по которой на экране появляется знак операции с 4-мя указателями:

Подынтегральная функция должна быть указана явно, в случае равенства ее константе кодируется данная константа, а не выносится за знак интеграла;

Пределы интегрирования— только действительные выражения, тогда как подынтегральная функция может быть и действительной, и комплексной.

4. Вычисление определенного интеграла при помощи численных методов вычисления

Метод прямоугольников

Для вычисления приближённого значения определённого интеграла отрезок [a, b] делят на n равных частей точками

a=x₀< x₁< x₂<…< x_n=b,

так, что x_i+1- x_i=(b-a)/n (i=0..n-1). Длина каждого отрезка (шаг интегрирования) определяется как h=(b-a)/n, а точки разбиения (узлы) x₀= a, x₁= x₀+h, … x_n= x_n-1+h. В узлах вычисляются ординаты y₀, y₁, …, y_n, т.е. y_i=f(x_i). На частичных отрезках [x_i; x_i+1] строят прямоугольники, высота которых равна значению f(x) в какой-либо точке каждого частичного отрезка (рис.11.1 и 11.2). Произведение f(x_i) h определяет площадь частичного прямоугольника, а сумма таких произведений - площадь ступенчатой фигуры, предстающей собой приближённое значение интеграла.

Рис.11.1 Рис.11.2

Если f(x_i) вычисляется в левых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула левых прямоугольников:

.

Если f(x_i) вычисляется в правых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула правых прямоугольников:

.

Для вычисления интеграла Iпометоду средних прямоугольниковфункциюf(x_i) вычисляют в точках x_i+h/2[x_i; x_i+1]. В результате получают формулу средних прямоугольников

.

Точность вычисления интеграла зависит от количества прямоугольников, на которые разбивают область интегрирования.

Метод трапеций

Для вычисления интеграла I по методу трапеций промежуток интегрирования [x_n; x_k] делят на n равных частей, через точки разбиения проводят прямые параллельно оси y до пересечения с графиком функции f(x) (рис.11.3). Потом соединяют точки пересечения, площади полученных n-криволинейных трапеций заменяют площадями прямоугольных трапеций с высотой h=(x_n-x₀)/n.

Приближенное значение интеграла равно сумме всех площадей частичных трапеций:

,

где y_i=f(x_i).

Рис.11.3

Вычисление I по методу трапеций более точное, чем по методу средних прямоугольников.

Формула Симпсона

Если на частичном отрезке длиной 2h функция f заменяется дугой параболы (рис.11.4), то можно получить формулу парабол или обобщенную формулу Симпсона:

.

Рис.11.4

Пример расчета определенного интеграла функции в Mathcad методом средних прямоугольников