3.	x y z 4 0, 2x 2y z 8 0.
4.	x y z 2 0, x y 2z 2 0.
5.	2x 3y z 6 0, x 3y 2z 3 0.
6.	3x y z 6 0, 3x y 2z 0.
7.	x 5y 2z 11 0, x y z 1 0.
8.	3x 4y 2z 1 0, 2x 4y 3z 4 0.
9.	5x y 3z 4 0, x y 2z 2 0.
10.	x	y	z	2		0,			x		2y		z		4		0.
11.	4x	y		3z		2		0,			2x		y		z		8		0.
12.	3x	3y		2z		1			0,		2x		3y			z	6		0.
13.	6x	7y		4z		2			0,		x		7y			z	5		0.
14.	8x	y	3z			1		0,			x	y	z			10		0.
15.	6x	5y		4z		8			0,		6x		5y			3z			4	0.
16.	x	5y		z	5		0,		2x			5y			2z		5		0.
17.	2x	3y		z		6		0,			x	3y			2z		3		0.
18.	5x	y		2z		4		0,			2x		y	3z			2		0.
19.	4x	y		z	2			0,		2x		y		3z			8		0.
20.	2x	y		3z		2		0,			2x		y		z		6		0.
21.	x	y	2z		2			0,		x		y	z		2		0.
22.	x	5y		z	11			0,			x	y	2z			1		0.
23.	x	y	z	2		0,			x		2y		z		4		0.
24.	6x	7y		z		2		0,			x	7y			4z		5		0.
25.	x	5y		2z		5		0,			2x		5y			z	5		0.
26.	x	3y		z	2		0,			x		3y		2z			14		0.
27.	2x	3y		2z		6			0,		x		3y			z	3		0.
28.	3x	4y		3z		1			0,		2x		4y			2z			4	0.
29.	3x	3y		z		1		0,			2x	3y			2z		6		0.
30.	6x	5y		3z		8			0,		6x		5y			4z			4	0.

§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Пример 3.6

67

Найти точку

пересечения прямой

x 7

y

4 z

5

и

плоскости

5

1

4

3x y 2z 5

0 .

Решение:

Представим

прямую

x

7 y

4

z

5

параметрическими

5

1

4

уравнениями:

x

5t

7,

y

t 4,

z

4t

5.

Пусть M x; y; z

- точка пересечения прямой и плоскости. Так

как искомая точка M

x; y; z лежит и на прямой и на плоскости, то ее

координаты удовлетворяют уравнению плоскости

3x y

2z 5 0 .

Имеем:

3 5t

7

t

4 2 4t

5 5 0,

22t

22

0,

t

1.

Подставляя

t

1

в

соотношения,

определяющие

параметрические уравнения данной прямой, получим координаты точки M :

xM	5	1	7	2;
yM		1 4	3;
zM	4	1	5	1.

Итак, точка пересечения прямой и плоскости M 2;3;1 .

Ответ: M 2;3;1 - точка пересечения прямой и плоскости.

Пример 3.7

Найти координаты точки M , симметричной точке M 2; 5; 7

относительно прямой, проходящей		через	точки	A 5; 4; 6	и
B 2; 17;	8 .
	Решение:
Составим уравнение прямой		AB . Для этого воспользуемся
уравнением	прямой, проходящей через две		точки	M1 x1 ; y1 ; z1	и

M 2 x2 ; y2 ; z2 :

68

x

x1

y

y1

z

z1

.

x2

x1

y2

y1

z2

z1

Для прямой AB имеем:

A 5; 4; 6 ,

B

2;

17;

8 .

x

5

y

4

z

6

;

2

5

17

4

8

6

x

5

y

4

z

6

;

7

21

14

x

5

y

4

z

6

.

1

3

2

Найдем

координаты

точки

M ,

симметричной

точке

M 2;

5; 7

относительно прямой M1M 2 .

Через точку

M проводим плоскость

перпендикулярно к

вектору q

1;3; 2 . Получим:

1

x

2

3

y

5

2

z

7

0;

x 3y 2z 1 0.

Найдем

точку пересечения плоскости

и прямой M1M 2 .

Уравнение прямой M1M 2

представляем в параметрическом виде:

x

t 5,

y

3t

4,

z

2t

6.

Учитывая, что точка O

x; y; z

, пересечения прямой M1M 2

и

плоскости , лежит и на прямой и на плоскости, получим:

t

5 3 3t

4 2 2t

6 1 0;

14t

28

0;

t

2.

Значит xO

2

5

3; yO

3

2

4

2; zO

2 2

6

2 .

Точка

O 3; 2; 2

-

середина

отрезка

MM .

Координаты

точки

M xM ; yM ; zM

найдем из соотношений:

x

xM

xM

; y

yM

yM

; z

zM

zM

.

0

0

2

0

2

2

Получим:

69

xM

2x0

xM ;

xM

2 3 2 4;

yM

2 y0

yM ;

yM

2

2 5 1;

zM

2z0

zM ;

zM

2 2 7

3.

Точка

M 4;1;

3

симметрична точке

M 2;

5; 7

относительно

прямой l .

Ответ:

M 4;1;

3 .

Пример 3.8

Найти точку M , симметричную точке M 6;

4;

2

относительно

плоскости

:

x

y

z

3

0 .

Решение:

Прежде всего, найдем проекцию

M 0

xM

; yM

; zM

точки

M на

0

0

0

плоскость

x

y

z

3

0 .

Для

этого составим

уравнение

прямой

MM0 , перпендикулярной к данной плоскости. Нормальный вектор

плоскости

n

1;1;1

будет направляющим вектором перпендикуляра

MM0 . Используем каноническое уравнение прямой, проходящей через

точку A x0 ; y0 ; z0

с направляющим вектором s

m; n; p :

x

x0

y

y0

z

z0

.

m

n

p

Имеем,

прямая

MM0

проходит

через

точку

M 6;

4; 2

и

s

1;1;1

:

x

6

y

4

z

2

.

1

1

1

Найдем

точку

M0

пересечения

прямой

MM0

и

плоскости

x

y

z

3

0 .

Для

этого

приведем

уравнение

прямой

к

параметрическому виду:

x t 6, y t 4, z t 2.

Подставляя значения x, y, z из этих уравнений в уравнение плоскости , найдем:

70