15.1 4n 3 3 n2 2

lim																											.
																	n2						5n3			2
n			2n						5			2
17.			1			2n						3n2					5n3					4 3n2								n			2 6
lim
																5 3														1 2
n						2n4						n2												n6		n3
19.				3						21							117												n		2		n
lim																							...					5						.
			10						100							1000										10					n
n
21.
								n3					2n2						1					3 n4 1									.
lim
			4 n6							6n5									5 n7							3n3
n																2															1
23.			(n			2)!							(n			1)!
lim																				.
			(n 2)! (n													1)!
n
25.			1			2						3 4 ...												2n
lim																										.
													n2
n																1
27.			1									1										1
lim																...														.
			1 2						2 3														(n			1)n
n
29.			1									1														1
lim																...																			.
			1 3						3 5													(2n				1)(2n							1)
n

16.	lim								n			1 !											.
	n		n		3 !							n				2 !
18.														2
					n3
									1				n
	lim																	.
					n6					n3
	n													1
20.												n)2
	lim	(			n2				1								.
	n					3 n6						1
22.
	lim	4 n5							2			3 n2									1					.
		5 n4												n3
	n								2												1
24.	lim	(n			2)!							(n				1)!						.
						(n						3)!
	n
26.		1			1				1			...				1
	lim				2				4											2n							.
					1				1							1
	n	1										...
					3				9										3n
28.	lim	1			2				3			...				n									n
									n			2													2
	n
30.	lim	1			1				2			3				...											n
		2

n n

§ 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Пример 4.2

Вычислить пределы дробно-рациональных функций:

а)

lim

x2

1

; б)

lim

x3

6x2

12x 8

.

2x2

x 1

x3 3x2

4

x 1

x 2

Решение:

а)

lim

x2

1

.

2x2

x 1

x 1

Непосредственная

подстановка в выражение

x2

1

2x2

x 1

предельного значения аргумента

x

1 приводит к неопределенности

90

вида

0

. Следовательно, прежде чем перейти к пределу,

необходимо

0

данное

выражение

преобразовать. Числитель и знаменатель дроби

x2

1

при x 1 обращаются в нуль, поэтому многочлены x2

1 и

2x2

x

1

2x2

x

1 делятся без остатка на

x

1

(теорема Безу). Имеем:

x2

1

x

1

x

1 ;

2x2

x 1 x 1 2x 1 ,

Здесь квадратный трехчлен 2x2

x

1 разложили на множители (если

x

и

x

-

корни

квадратного

уравнения

ax2

bx

c

0 ,

то

1

2

ax2

bx c a x x x x

2

).

1

В результате получим:

x

1

x

2

1

0

x

1

x

1

1

1

2

lim

lim

lim

.

2x2

x 1

x 1 0

x 1

x 1 2x 1

x 1

2x 1 2 1 3

Ответ:

2

.

3

б) lim

x3

6x2

12x

8

.

x

3

3x

2

4

x

2

При подстановке предельного значения аргумента

x

2

приходим

к

неопределенности

вида

0

.

Разложим

многочлены

0

x3

6x2

12x 8 и

x3

3x2

4 на множители,

учитывая,

что они без

остатка делятся на

x

2

. Имеем:

x3

6x2

x3

3x2

12x 8

x 2

4

x 2

x3

2x2

x2

4x 4

x3

2x2

x2

x 2

4x2

12x

8

x2

4

4x2

8x

x2

2x

4x

8

2x

4

4x

8

2x

4

0

0

Таким образом,

x3

6x2

12x

8

(x 2)(x2

4x

4) ;

x3

3x2

4

(x

2)(x2

x

2) .

Учитывая, что x2

4x

4

(x

2)2 ,

x2

x

2

(x

2)(x 1) , получим:

91