АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_1_Зыза
.pdf
параболу 
B 
эллипс 
C 
гиперболу 
D 
две прямые
92
ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
1)Докажите (при помощи правила Крамера), что два вектора на плоскости коллинеарны в точности тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.
2)Докажите, что три вектора компланарны в точности тогда тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю. (Требуется применять правило Крамера и не пользоваться свойствами смешанного произведения.)
3)Докажите, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a è b как на сторонах, равна длине их векторного произведения [a; b]. (Можно пользоваться алгебраическими свойствами векторного произведения.)
4)Сформулируйте и докажите геометрические свойства смешанного произведения.
5)Сформулируйте и докажите формулу "БАЦ минус ЦАБ".
6)Сформулируйте понятие пучка прямых на плоскости. Докажите, что ура-
внение прямой из пучка, порожденного прямыми Aix + Biy + Ci = 0, i = 1; 2, можно записать в виде ®(A1x+B1y +C1)+¯(A2x+B2y +C2) = 0;
® è ¯ одновременно не равны нулю.
7)Выведите формулу расстояния от точки до плоскости. Когда две точки лежат по одну сторону от плоскости? Сформулируйте и докажите критерий.
8)Сформулируйте понятие пучка плоскостей в пространстве. Докажите, что уравнение плоскости из пучка, порожденного плоскостями Aix+Biy+
Ciz + Di = 0, i = 1; 2, можно записать в виде ®(A1x + B1y + C1z + D1) +
¯(A2x + B2y + C2z + D2) = 0; ® è ¯ одновременно 6= 0.
9)Выведите формулу расстояния от точки до прямой в пространстве, заданной каноническими уравнениями.
10)Выведите формулу расстояния между скрещивающимися прямыми, заданными в каноническом виде.
11)Три способа задания прямой в пространстве. Преобразование их друг в друга. Поясните на примерах.
12)Определения перестановки, инверсии и транспозиции. Докажите, что четность перестановки меняется на противоположную при транспозиции двух ее элементов.
13)Определение подстановки, произведения подстановок. Докажите, что произведение подстановок четно, когда они одинаковой четности, и не- четно в противоположном случае.
93
14)Определение цикла (циклической подстановки). Докажите, что цикли- ческая подстановка четна в точности тогда, когда она имеет нечетную длину (как цикл).
15)Докажите, что определитель не меняется при транспонировании.
16)Докажите, что определитель меняет знак на противоположный при перестановке двух его строк (или столбцов).
17)Сформулируйте и докажите свойство дистрибутивности определителя по строкам (или столбцам).
18)Докажите, что при умножении некоторой строки (или столбца) определителя на число определитель умножается на это число.
19)Дайте описание и обоснование алгоритма приведения определителя к треугольному виду и его вычисления.
20)Формулировка и доказательство теоремы об определителе произведения двух матриц.
21)Описание и вычисление определителя Вандермонда.
22)Определение детерминанта n-го порядка. Определение минора, алгебра-
ического дополнения. Формулировка теоремы Лапласа. Разложение определителя по строке (или столбцу).
23)Сформулируйте определение суммы матриц, умножения чисел на матрицы и умножения матриц. Докажите, что операция произведения матриц удовлетворяет закону ассоциативности.
24)Какие матрицы называются единичными и нулевыми? Поясните смысл этих названий. Докажите закон дистрибутивности для операций над матрицами.
25)Определение обратной матрицы, ее единственность. Критерий существования обратной матрицы.
26)Докажите формулу (AB)T = BT AT .
27)Как записывается система линейных уравнений в матричном виде? Сформулируйте и докажите правило Крамера.
28)Определение элементарных преобразований и элементарных матриц. Как эти понятия связаны? Как сопоставить элементарные преобразования строк и столбцов матрицы умножению ее на элементарные матрицы? Покажите, что перестановку строк (или столбцов) матрицы можно заменить цепочкой элементарных преобразований двух других типов.
29)Определение ступенчатой матрицы. Алгоритм приведения произвольной матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Три случая.
30)Сформулируйте и докажите критерий равенства нулю определителя. Теорема Кронекера Капелли.
94
31)Докажите теорему о ранге матрицы (эквивалентность трех определений ранга).
32)Сформулируйте и докажите теорему о ранге произведения матриц.
33)Опишите пространство Rn. Сформулируйте определение линейной зави- симости в пространстве Rn. Сформулируйте и докажите 5 свойств лине-
йной зависимости. Сформулируйте эти свойства на языке линейной независимости (кроме 5-го свойства).
34)Определение ранга системы векторов из Rn. Какие системы векторов ли-
нейно выражаются через заданные системы? Докажите закон транзитивности для отношения "одна система линейно выражается через другую". Сформулируйте понятие эквивалентности систем векторов.
35)Определение ранга системы векторов. Докажите, что ранг не меняется при элементарных преобразованиях. Вычисление ранга.
36)Докажите, что m векторов из Rn линейно зависимы, если m > n.
37)Однородные системы линейных уравнений. Докажите основные свойства решений этих систем. Определение линейного пространства (ЛП). Определение базиса ЛП. Почему ЛП имеет базис?
38)Докажите, что любые два базиса линейного пространства состоят из одинакового числа векторов. Понятие размерности.
39)Опишите базисы пространства Rn. Понятие фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений.
40)Опишите метод нахождения фундаментальной системы решений. Решение неоднородной системы.
41)Действия над комплексными числами. Геометрическое изображение комплексных чисел. Сопряженные комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
42)Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.
43)Корни из комплексного числа (выведите формулу). Расположение корней на комплексной плоскости.
44)Кольца и поля. Поля Zp.
45)Кольца многочленов. Деление с остатком. Теорема Безу. Схема Горнера.
46)Определение НОД многочленов. Алгоритм Евклида.
47)Доказательство существования представления НОД (f; g) = uf + vg.
48)Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочлена над полями R è C. Неприводимые многочлены над R è C.
49)Разложение рациональных дробей в сумму простейших над полем R.
50)Разложение рациональных дробей в сумму простейших над полем C.
95
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1)Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975. - 432 с.
2)Винберг Э.Б. Курс алгебры. - М.: Факториал Пресс, 2001. - 544 с.
3)Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984. - 416 с.
4)Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977. - 496 с.
5)Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977. - 288 с.
6)Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984.
-336 ñ.
7)Сборник задач по алгебре. Под ред. А.И.Кострикина. - М.: Наука, 1987.
-352 ñ.
8)Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1981.
9)Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964. - 256 с.
10)Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1970. - 337 с.
11)Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964. - 440 с.
Навчальне видання
Алгебра та геометрiя (вища алгебра та аналiтична геометрiя) (росiйською мовою)
Зиза Олександр Васильович, Кiзiменко Олександр Михайлович, Лиманський Володимир Васильович, Лиманський Дмитро Володимирович, Хаджинов Василь Iллiч
Редактор Д.В. Лиманський