Desktop_1 / Mat model

11

К понятию модели можно подойти только в процессе решения человеком конкретной задачи, связанной с активной деятельностью между ним (человеком) и фрагментом реальной действительности (объектом-оригиналом). Теперь сформулируем понятие модели: «Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами (формулы, графики и т. п.) либо материального предмета, отражающий свойства, характеристики и связи объекта-оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом (человеком)». Модель, таким образом, представляет собой «четырехместную» конструкцию, компонентами которой являются:

Субъект (человек);

Задача, решаемая субъектом;

Объект-оригинал;

Язык описания или способ материального воспроизведения модели.

Сточки зрения управления техническими процессами наибольший интерес представляют модели, основанные на сходстве поведения систем, подобия их реакции на изменение воздействия. При этом приходится иметь в виду, что наблюдаемое сходство неполное, а лишь в некоторых сторонах, свойствах.

Модель служит средством познания оригинала, поскольку реальная система имеет бесчисленное множество сторон, свойств, она исследуется каждый раз в некотором отношении определенной конкретной задачи. Схематически процесс познания объекта с помощью модели можно представить следующим образом, рис. 5.

Для решения практических задач важно, чтобы обеспечивалось подобие модели и оригинала. Нет необходимости, чтобы модель отображала все свойства оригинала. Модель всегда беднее объекта-оригинала, и это ее фундаментальное свойство.

В процессе моделирования участвуют субъект, объект и модель. В связи с этим моделям присуща некоторая доля субъективизма. Мысленные (концептуальные) модели предприятия, существующие в сознании его директора, главного технолога, главного бухгалтера, существенно различаются, хотя объект-оригинал (предприятие) у них один. Однако независимо от природы объекта-оригинала, типа решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.

			Объект	Y(X)
X			(система)				e(X)
				y(X)
			Модель
			Субъект

X – входной параметр, который подается на объект и модель; Y(X) – выход объекта;

y(X) – выход модели или теоретическое значение функции; e(X) – погрешность (невязка).

Рис. 5. Процесс познания объекта с помощью модели

12

Виды моделей

В основе построения технических моделей – три типа соответствия между оригиналом и моделью: физическое подобие, физическая аналогия и математическое подобие. Модели, построенные на явлениях физического подобия, называются физическими моделями, а модели, основанные на явлениях физической аналогии или математического подобия, называются математическими моделями. Таким образом, в качестве двух основных видов выделяют физические и математические модели и, соответственно, различают физическое и математическое моделирование.

Физическими называются такие модели, которые имеют одинаковую физическую природу с оригиналом, а физическим моделированием - моделирование, когда процессы в оригинале и модели имеют одинаковую физическую природу и отличаются только масштабом νi . В этом случае по полученным значениям параметров модели можно

определить параметры оригинала простым пересчетом: xi =νi xi′. Масштаб νi еще

называют критерием подобия.

Физическое моделирование имеет существенные недостатки: дороговизна, неточность методов измерения искомых величин и др. Однако, оно широко используется при проектировании летательных аппаратов, корпусов кораблей, гидротехнических сооружений, теплотехнических процессов.

Математическое моделирование базируется либо на физических аналогиях (в большей части электрических), либо на математической аналогии (математическое подобие). Математическим моделированием называется моделирование, при котором процессы в оригинале и модели имеют различную физическую природу, но описываются одинаковыми уравнениями или зависимостями.

Существует также более детальная классификация моделей, рис. 6, табл. 1.

Модели 1

Вещественн ые

Словесноописательные

Символьные

2

Аналитические

Математическ ие	Имитационны е (метод Монте-Карло)		Теоретическ ие
3	4	5	6
	Структурные	Формальные

Рис. 6. Общая классификация моделей

Таблица 1 - Формальная классификация моделей

	Признак классификации	Модель
1.	Целевое назначение	Прикладные, теоретико-аналитические
2.	По типу связей	Детерминированные, стохастические
3.	По фактору времени	Статические, динамические
4.	По форме показателей	Линейные, нелинейные
5.	По соотношению экзогенных и	Открытые, закрытые
	эндогенных переменных
6.	По типу переменных	Дискретные, непрерывные, смешанные
7.	По степени детализации	Агрегированные (макромодели),

			13
			детализированные (микромодели)
8.	По количеству связей		Одноэтапные, многоэтапные
9.	По форме представления информации		Матричные, сетевые
10.		По форме процесса	Аналитические, графические, логические
11.		По типу математического аппарата	Балансовые, статистические,
			оптимизационные, имитационные, смешанные

Основные способы моделирования

Для решения практических задач недостаточно только подобия, необходима возможность экспериментирования с моделью. Воспроизведение некоторого ограниченного множества существенных свойств поведения системы называется имитацией. Различают следующие способы имитационного моделирования:

1.	аналоговое – замена носителей базовых свойств реальной системы другими
	физическими носителями;
2.	аналитическое – замена	носителей базовых характеристик абстрактными

математическими соотношениями;

3.машинное – построение численных моделей поведения систем на основе алгоритмов и программ;

4.ситуационное - осуществляется путем отображения поведения системы в некоторые

моменты времени в виде сценариев, деловых игр.

В зависимости от способа отображения свойств, через те или другие носители все модели подразделяются на материальные (физические) и абстрактные (цифровые, знаковые и т. д.). Формализованное представление закономерностей поведения реальных технических систем в виде абстрактных математических аналогов получило название математического моделирования.

Описание технических объектов, процессов и систем в виде математических моделей базируется на использовании следующих математических методов:

a)статистические методы (регрессионный, факторный, дисперсионный анализы);

b)методы принятия оптимальных решений (математическое программирование, сетевые модели, теория массового обслуживания, теория игр);

c)кибернетика (теория систем управления);

d)теория экспериментального изучения (методы машинной имитации, деловые игры).

Математическое моделирование неразрывно связано с другими науками:

•математикой (математическая статистика, линейная алгебра и др.);

•информатикой, которая является технической базой моделирования (без ЭВМ невозможны трудоемкие вычисления, вычислит математика, теория алгоритмов;

•специальными, или техническими (металловедение и др., они вооружают системой показателей исходной информации);

•технологические дисциплины (процессы протекают в условиях действующего производства определенным образом на специфическом оборудовании и предполагают знания о самом процессе).

Функции моделей разнообразны:

1.Достижение чисто практических результатов, например, установление функциональных связей между входом и выходом объекта.

2.Обучение и демонстрация.

3.Исследование воспроизводимости объекта.

14

4.Критериальная функция модели, с помощью которой проверяется истинность знаний об оригинале.

Понятие системного анализа

Системный анализ впервые был выделен как эффективный метод решения сложных проблем в США при отборе и планировании систем вооружений. С накоплением опыта методы системного анализа получили теоретическую базу и быстро развивались как научная дисциплина. Системный анализ можно считать дальнейшим развитием идей кибернетики. Как и всякая наука, системный анализ находится в стадии развития, он имеет размытые границы, откуда следует множество определений термина. Под системным анализом понимают совокупность определенных научных методов и практических приемов решения разнообразных проблем, возникающих во всех сферах целенаправленной деятельности общества, позволяющих представить объект исследования в виде системы, а также логический и качественный анализ. Цель системного анализа не просто выявление проблемы, а предсказание ее развития и выработка рекомендаций по выбору направления действий. Приняты следующие этапы достижения цели:

1)рассмотрение проблемы объекта как некоторой целостной системы функций в определенной среде;

2)обеспечение достаточной информации об основных характеристиках системы, закономерностей ее поведения в различных условиях;

3)разработка моделей, представляющих собой отображение наиболее важных свойств реальной системы;

4)определение стратегии развития системы;

5)обоснование эффективности достижения поставленной цели, т. е. выбор критерия оптимальности;

6)применение управленческого решения на основе исследования поведения моделей путем проигрывания различных производственных ситуаций при изменяющихся условиях;

7)реализация решений в управлении реальной системы и анализ результатов. Эффективное управление в методологическом отношении включает такие

основополагающие категории, как система, информация, модель, цель, оптимальность, критерий, эффективность.

Многообразие объектов, процессов, проблем, подлежащих системному анализу, обусловливает многообразие применяемых методов. Большая их часть заимствована из прикладной математики:

1.Дерево анализа проблемы. Построение деревьев взаимосвязей и их частных случаев является специфичным методом системного анализа. Дерево анализа проблемы включает три момента: а) что надо исследовать и разработать (формулировка проблемы); б) определить элементы системы, определение их структуры и взамосвязи между элементами; в) определить, как система работает.

2.Метод тезауруса, под которым понимают запас сведений, которыми располагает система. Выделяют толковый тезаурус, как словарь понятий изучаемой системы.

3.Метод диагностики системы, представляет собой методику системного опроса работников технического объекта с целью выявления проблем.

Основные принципы построения деревьев связи

¾Одна из главных задач построения деревьев связи – установление полного набора элементов на каждом уровне и определение взаимосвязи и соподчиненности между ними. Другая задача заключается в последовательном определении коэффициентов

15

относительной важности элементов. Основные правила построения деревьев связи - это самоподчиненность и сопоставимость. В зависимости от того детализированы ли каждый из рассматриваемых элементов, дерево связи может быть полным, частным, несвязанным. Вначале строят дерево только с прямыми связями, а затем переходят к обобщенной структуре с перекрестными связями. Возможны различные принципы детализации деревьев связи: 1) предметный – элементы дерева разбиваются на элементы той же природы, более дробные и детализированные (одежда: взрослая, детская); 2) функциональный – при применении данного принципа изменяется содержание самой функции; 3) детализация; 4) принцип охвата факторов, влияющих на решение проблемы; 5) принцип адресности. Частным случаем дерева связей является дерево целей. Представление целей начинается сверху. Далее они последовательно разукрупняются. Основным правилом разукрупнения является полнота охвата, объединение подцелей, полностью определяющих исходную цель. При построении дерева целей встречаются следующие виды коэффициентов:

¾коэффициент состязательности целей (означает, что достижение одной цели затрудняет достижение другой);

¾коэффициент поддержки цели (определяет, в какой мере достижение одной цели способствует достижению другой);

¾коэффициент значимости цели.

На рис. 7 представлено дерево целей при разработке сплава – граф соподчинения частных задач.

Заданные свойства

Основа сплава и тип структуры

Метод измерения свойств

Химический

Модели влияния

Установка

Обработка

и фазовый

структуры на заданные

методики и

состав

свойства в данном

проверка

сплаве

воспроизво-

димости

Способ

Механизм и

Теория

Методика

выплавки и

кинетика

изучения

исследования

получения

превращений

свойства

структуры

деталей

Влияние

Способ

состава на

термической

диаграммы

обработки

превращений

Промышленные

Оптимальные

технология и

режимы

оборудование

16

Рис. 7. Дерево целей при разработке сплава

ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Построение корреляционных математических моделей

В технике и технологии особое место занимают модели, выявляющие количественные связи между изучаемыми показателями и влияющими на них факторами. Формы проявления этой взаимосвязи весьма разнообразны. В качестве двух общих видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) виды связи. Корреляционная связь проявляется в среднем для массовых наблюдений. При корреляционной связи каждому значению аргумента (входа) соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения результативного признака (выхода). Для упрощения и интерпретации результатов зависимость представляют в формализованном виде в форме математических уравнений или функций. Корреляционные модели можно классифицировать по ряду признаков. Так, по аналитической форме модели (уравнения) бывают:

¾ линейные:

	~	= a0	+ a1 x ;
¾ нелинейные:	y
	~
- степенная функция:		= a0	x	a1	,
	y
		~	= a0		x	.
- показательная функция: y					+ a1

Различают также уравнения парной и множественной регрессии. ¾ Парная:

~y = a0 + a1 x

¾ Множественная:

~y = a0 + a1 x1 + a2 x2 +K+ an xn .

Процесс построения корреляционной модели является достаточно сложным и включает в себя следующие этапы:

1.Сбор исходных данных и анализ информации.

2.Отбор факторов.

3.Выбор вида математической модели.

4.Построение модели.

5.Проверка качества (адекватности) модели.

6.Применение модели для анализа и прогнозирования.

Укажем основные требования, предъявляемые к включаемым в математическую модель факторам.

•Каждый из факторов должен быть обоснован теоретически.

•В перечень целесообразно включать только важнейшие факторы, оказывающие

существенное воздействие на изучаемы показатели; при этом рекомендуется, чтобы количество включаемых в модель факторов не превышало одной трети от числа наблюдений в выборке (длины временного ряда).

17

•Факторы не должны быть линейно зависимы, поскольку эта зависимость означает, что они характеризуют аналогичные свойства изучаемого явления. Включение в модель линейно взаимозависимых факторов приводит к возникновению явления

мультиколлинеарности, которое отрицательно сказывается на качестве модели.

•Влияющие на технологический процесс факторы могут быть количественные и качественные. В модель рекомендуется включать только такие факторы, которые могут быть численно измерены.

•В одну модель нельзя включать совокупный фактор и образующие его частные факторы. Одновременное включение таких факторов приводит к неоправданно увеличенному их влиянию на зависимый показатель, к искажению реальной

действительности.

При отборе влияющих факторов используются статистические методы отбора. Так, существенного сокращения числа влияющих факторов можно достичь с помощью пошаговых процедур отбора переменных. Ни одна из этих процедур не гарантирует получения оптимального набора переменных. Однако при практическом применении они позволяют получать достаточно хорошие наборы существенно влияющих факторов, кроме того, их можно сочетать с другими подходами к решению данной проблемы, например, с экспертными оценками значимости факторов. Среди пошаговых процедур отбора факторов наиболее часто используются процедуры пошагового включения и исключения факторов.

Метод исключения предполагает построение уравнения, включающего всю совокупность переменных, с последующим последовательным (пошаговым) сокращением числа переменных в модели до тех пор, пока не выполнится некоторое, наперед заданное условие. Суть метода включения - в последовательном включении переменных в модель

до тех	пор, пока регрессионная модель не будет отвечать заранее установленному
критерию	качества. Последовательность включения определяется с помощью частных

коэффициентов корреляции: переменные, имеющие относительно исследуемого показателя большее значение частного коэффициента корреляции, первыми включаются в регрессионное уравнение.

Выше отмечено, что одной из предпосылок применения методов регрессионного анализа для построения математических моделей является отсутствие среди независимых переменных (факторов) линейно связанных. Если данная предпосылка не выполняется, то возникает, как уже сказано выше, явление мультиколлинеарности, т.е. наличие сильной корреляции между независимыми переменными (включенными в модель факторами).

Основные причины, вызывающие мультиколлинеарность, - независимые переменные, либо характеризующие одно и то же свойство изучаемого явления, либо являющиеся составными частями одного и того же признака.

В настоящее время существует ряд методов, позволяющих оценить наличие мультиколлинеарности в совокупности независимых переменных, измерить ее степень, выявить взаимно коррелированные переменные и устранить или ослабить ее негативное влияние на регрессионную модель. Наиболее распространенным методом выявления мультиколлинеарности является метод корреляции. На практике считают, что две переменные коллинеарны (линейно зависимы), если парный коэффициент корреляции между ними по абсолютной величине превышает 0,8. Устраняют мультиколлинеарность чаще всего путем исключения из модели одного из коррелированных факторов.

При выборе вида математической модели, т.е. зависимости y = f (x) возможны следующие случаи:

•Общий вид зависимости известен заранее из опыта (априори) или теоретических положений. Тогда задача построения математической модели заключается в нахождении параметров этой зависимости.

18

•Вид зависимости заранее неизвестен, тогда методом проб подбирают тот вид математической модели, который наилучшим образом описывает опытную

зависимость.

Подбор функции осуществляется следующими методами: абстрактно-логическим или графическим. Наглядным изображением эмпирической зависимости служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладываются значения аргумента, по оси ординат – значения функции, а точками показывается сочетание (x, y). По

расположению точек, по их концентрации в определенном направлении можно судить о форме аналитической зависимости. При этом можно применять разные функции: 1)линейную, 2)полиномиальную, 3)гиперболическую 4)параболическую 5)асимптотическую. Некоторые примеры аналитических зависимостей, используемых при построении математических моделей технологических процессов, представлены на рис. 8.

y	y		2		y
				1
	y=a0+a1x
				3
							2
	x						3 1
				x			x
		Прямая корреляционная связь					Обратная корреляционная связь
	~	х↑, y↑					х↑, y↓
1.		= a0 + a1	x ;
	уравнение прямой линии: y
2.		~	= a0	+ a1 x + a2 x		2	;
	уравнение полинома 2-го порядка: y
3.			~	x	.
	уравнением показательной функции: y = a0 + a1

Рис. 8. Виды аналитических зависимостей, используемых при построении моделей

Целесообразно проверять одновременно несколько функций. В качестве модели выбирается та, которая наилучшим образом описывает опытную зависимость, а ее график наиболее близок к эмпирической линии связи.

Параметры уравнения оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение среди которых, получил метод наименьших квадратов. МНК является основным методом построения корреляционно–регрессионных моделей.

Оценка качества модели проводится несколькими способами: 1)по величине коэффициента корреляции; 2)по значению t – критерия Стьюдента оценивается значимость связи между аргументом и функцией; 3)достоверность уравнения регрессии оценивается по значению F – критерия Фишера. Таким образом, необходима комплексная оценка, особенно в тех случаях, когда мы выбираем математическую модель из нескольких.

Построение корреляционных моделей методом наименьших квадратов (МНК)

Основу математического аппарата для рассматриваемых моделей составляют корреляционный и регрессионный анализ. Для определенности экзогенные переменные в этих моделях будем называть результативными признаками, и обозначать, как и ранее, буквой у, а экзогенные переменные будем называть факторными признаками и обозначать их буквой х. При построении математических моделей известны фактические значения х и у, необходимо определить параметры a0 , a1 , a2 ,K, an для соответствующей модели. Данные

параметры определяются по методу наименьших квадратов.

19

Рассмотрим МНК для зависимостей линейного вида: ~y = a0 + a1 x , рис. 9. Наилучшие оценки a0 и a1 получают, когда

n	~	2
f = ∑(yiоп − yi ) = min
i=1

Т.е. сумма квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной от теоретических (расчетных) должна быть минимальной.

y			*	°	*	° °
у2факт					°	*
y2теор	°		°	*
у1теор
y1факт
	*
	x1		x2	x3 x4		x5 x6	x

Рис. 9. МНК для зависимостей линейного вида

Как известно из математики, для нахождения минимума функции нужно взять частные производные по анализируемым параметрам, и приравнять данные выражения к нулю.

n	~	2	n	2
			= ∑(yi −a0 −a1 xi ) = min
f = ∑(yiоп − yi )
i=1			i=1

dadf0 = −2∑( yi −a0 −a1 xi ) = 0 dadf1 = −2∑( yi − a0 − a1 xi )xi = 0

Получим систему нормальных уравнений, из которых найдем заданные коэффициенты.

∑yi = na0 + a1 ∑xi

∑xi yi = a0 ∑xi + a1 ∑xi 2

Можно воспользоваться и другими формулами, вытекающими из МНК:

a	=	∑yi ∑xi 2 − ∑xi yi ∑xi	a =	n∑xi yi −∑xi ∑yi	.
0		n∑xi 2 − (∑xi )2	1	n∑xi 2 −(∑xi )2

Аналогичным образом, используя МНК, можно получить коэффициенты для остальных функций, используемых при аппроксимации. Определение параметров линейного уравнения требует минимума вычислений, поэтому на практике стремятся к упрощению вида зависимостей. Существуют способы, которые позволяют заменой переменных x, y привести

зависимость к линейному виду. Например, рост аустенитного зерна в стали при нагреве характеризуется уравнением вида y=aebx. Если исходное уравнение прологарифмировать, получаем: ln y = ln a +bx . Обозначим: ln y = y′, ln a = a′. Получаем уравнение линейного

вида: y′ = a′+bx , параметры которого находятся уже известным способом. Такой прием

называется линеаризацией.

Если в качестве факторного признака х используется время t, то такой ряд называется динамическим (временным) рядом. При применении специального подхода и выражении

20

факторного признака через t, когда сумма времени t будет равна 0, формулы для коэффициентов a0, a1, a2 будут проще.

ti, ∑t = 0

93	94	95	96	97
-2	-1	0	1	2

При таком подходе формулы коэффициентов a0 , a1 значительно упрощаются: a0 = ∑n y , a1 = ∑∑tty2 (для линейной функции)

Аналогично определяем коэффициенты для других функций:

yt =a0 +a1t +a2t2 (парабола)

	∑t 4 ∑y −∑t 2 ∑t 2 y		∑t у		n∑t2 у−∑t2 ∑y
a0 =			a1 = ∑t 2	a2 =
	n∑t 4 −∑t 2 ∑t 2				n∑t4 −∑t2 ∑t2
y =a0 a1t (показательная функция)
lg a	= ∑lg y	lg a = ∑t lg y .
0	n	1	∑t 2

Математические модели факторного эксперимента

Чтобы получить математическую модель технического объекта используется факторный эксперимент, суть которого заключается в одновременном варьировании всех факторов объекта исследования, заданных фиксированными значениями (уровнями), проведение эксперимента по определенному плану, представлении математической модели в виде линейного полинома и исследовании его методами математической статистики. Данная задача может быть представлена алгоритмом, блок-схема которого изображена на рис. 10. Все необходимые расчетные формулы сведены в таблицу 2.

Объектом исследования называют изучаемый процесс, агрегат, физическое явление. Он должен быть воспроизводим и управляем. Факторами называются независимые величины, с помощью которых можно воздействовать на исследуемый объект. Факторы могут принимать определенные значения, которые называются уровнями. Количественно найденная характеристика процесса, обычно показатель, наиболее полно отражающий его сущность или эффективность, называется параметром оптимизации.

Методы планирования эксперимента позволяют установить зависимость между рядом факторов и одним параметром оптимизации, например, между составом и температурой плавления чугуна. Изучаемый объект описывается моделью в виде полинома первого, второго или третьего порядка. Как правило, модели более высоких степеней не рассматриваются. Коэффициенты модели определяют методом наименьших квадратов, с помощью которого получают наиболее достоверные оценки.

Параметр оптимизации должен быть единственным и однозначно характеризовать существенное свойство объекта. Из нескольких величин, удовлетворяющих этим требованиям, выбирают ту, которая поддается более точному измерению. Факторы должны допускать проведение опытов при любой комбинации их уровней, быть совместными в совокупности, независимыми и иметь количественную характеристику, которую можно точно измерять и поддерживать на заданном уровне.