Desktop_1 / Mat model

21

При планировании эксперимента устанавливают два или три уровня значений факторов. В последнем случае задают минимальное, среднее и максимальное значения. После кодового перехода получают числа -1, 0, +1, которые называются кодовыми значениями. Двухуровневые факторы задают граничными значениями. Последние, с помощью кодирования приводят к числам -1 и +1.

Для объектов, характеризующихся k факторами, имеющих два уровня, общее количество

возможных опытов равно 2k , а при трех уровнях - 3k . Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Для металлургических процессов характерно большое количество факторов, влияющих на изучаемое явление.

1.Выбор формы математической модели

2.Расчет коэффициентов регрессии

3.Расчет дисперсий параллельных опытов

4.Вычисление ошибки опыта

5.Расчет дисперсии коэффициентов регрессии

5а. Проверка значимости коэффициентов

да

6. Расчет дисперсии адекватности

6а. Проверка адекватности модели

да

Адекватная модель

нет

нет

Рис. 10. Алгоритм расчета и анализа математической модели

Таблица 2 - Формулы расчета по плану ПФЭ 2n

	Блоки				Формулы расчета		~	Обозначения
								- расчетная переменная состояния;
	1			~	n
					= ∑bi xi , (i =1,2,K, n)		y
				y			xi - факторы;
					i=1

22

2

3

4

5а

6

6а

1

N

bi =

∑xiu yu , (i =1,2,K, n)

N u=1

1

m

2

Su2 =

∑(yuk − yu )

m −1 k =1

1

m

yu

=

∑yuk

m k =1

1

N

S02

=

∑Su2

N u =1

Sbi2

=

S 2

0

N

tip

=

bi

Sbi

Условие значимости

коэффициентов

tip

> tт

(α, f )

f = N(m −1)

m

N

~

2

2

Sад.

=

∑(yu − yu )

N −n

−1 u=1

Fp

S 2

=

ад.

S02

Условие адекватности модели

Fp < Fт (α, f1 , f 2 )

f1 = N −n −1, f2 = N(m −1)

bi - коэффициенты уравнения регрессии;

n - число факторов; N - число опытов;

Su2 - построчная дисперсия;

yuk - переменная состояния в параллельных

опытах;

m - число параллельных опытов;

S02 - ошибка опыта;

Sbi2 - дисперсии коэффициентов регрессии;

tip - расчетное значение критерия Стьюдента; Sbi - среднеквадратические отклонения;

tтабл, - табличное значение критерия Стьюдента; f - число степеней свободы;

S ад2 . - дисперсия адекватности;

Fp - расчетное значение критерия Фишера;

Fт - табличное значение критерия Фишера; f1 , f2 - числа степеней свободы.

Методы оптимизации факторных математических моделей

Задачи оптимизации технологических процессов, как правило, связаны с выпуском продукции заданного качества и достижением экстремального значения критерия оптимизции Y , зависящего в общем случае от технико-экономических показателей производства. Ограничения накладываются не только на качество продукта, но и на входные переменные, тогда задача оптимизации для объекта исследования может быть записана так:

Y (X , B)→ extr

A1 ≤ X ≤ A2 ,

где X - вектор входных переменных, В – матрица коэффициентов регрессии.

Задачи оптимизации очень часто решают поисковыми методами, которые отличаются большим разнообразием. К основным методам поиска можно отнести следующие: метод Гаусса – Зейделя, градиентный метод и его модификацию – метод крутого восхождения.

23

Метод Гаусса – Зейделя. При оптимизации методом Гаусса – Зейделя оптимум исследуемого процесса ищут поочередным варьированием входной переменной (фактора) до достижения локального оптимума выходной переменной. Вначале достигается оптимум по направлению одной из координатных осей при фиксированных значениях факторов по другим координатным осям. Затем, зафиксировав найденное значение фактора, переходят к варьированию другого фактора, где опять достигается локальное значение оптимума и т. д.

На рис. 11 изображены линии равного выхода целевой функции для двух факторов и общие представления о движении к оптимуму методом Гаусса – Зейделя.

Рис. 11. Графическая интерпретация поиска оптимума методом Гаусса – Зейделя

Это наиболее простой метод оптимизации широко используется на практике. Основным недостатком метода является длительность продвижения в область оптимума. Поэтому указанный алгоритм редко «доводит» до области оптимума.

Рассмотрим методику решения задачи оптимизации функции 2-х переменных. Пусть
задана функция f (x , x	2	)	= x2	+1,2x x	2	+ x2	, начальная точка с координатами	x(0) =1, x(0) = 2
1			1	1		2		1	2

и погрешность ξ = 0,01 . Необходимо найти минимум функции методом Гаусса – Зейделя. Найдем значение функции в начальной точке. Для этого подставим координаты исходной

точки в уравнение функции двух переменных: f (x1(0), x2(0))=12 +1,2 1 2 + 22 = 7,4. Движение начинаем вдоль координаты x1 . Изменяя переменную x1 при x2 = const = 2,

найдем локальный оптимум функции, приравняв к нулю частную производную функции f (x1 , x2 ) по переменной x1 (известно, что в точках экстремума частные производные

функции обращаются в ноль).

∂∂xf1 = 2x1 +1,2 x2 = 0 → x1(1) = −1,2 .

Далее зафиксируем новое значение координаты x1 = -1,2 и начнем движение вдоль координаты x2 . Определим локальный оптимум функции по переменной x2 :

∂∂xf2 =1,2 x1 + 2x2 = 0 → x2(1) = 0,72.

На поверхности отклика новой точке x1(1) = −1,2x2(1) = 0,72 соответствует значение

функции, равное 0,92. Таким образом, за одну итерацию (один шаг) значение функции уменьшилось от 7,4 до 0,92. Рассмотрим последующие итерации:

x1(2) = −0,432; x2(2) = 0,259; f 2 (x)= 0,3. x1(3) = −0,155; x2(3) = 0,093; f 3 (x)= 0,037 .

24

x1(4) = −0,056; x2(4) = 0,033; f 4 (x)= 0,0005.

На четвертой итерации поиск минимума функции можно закончить, поскольку мы получили значение функции, меньше заданной погрешности ξ .

Метод градиента. При оптимизации методом градиента оптимум исследуемого объекта ищут в направлении наиболее быстрого возрастания (убывания) выходной переменной, т.е. в направлении градиента, рис. 12. Но прежде чем сделать шаг в направлении градиента, необходимо его рассчитать. Градиент можно определить по имеющейся модели:

y(x)=

∂y

r

∂y

r

∂y

r

,

i

+

j

+K+

k

∂x

∂x

2

∂x

n

∂y

1

− частная производная функции по

j −

r

r

− единичные

где

му фактору, i , j ,K, k

∂x j

векторы в направлении координатных осей факторного пространства.

Рис. 12. Графическая интерпретация метода градиента

Метод крутого восхождения. На рис. 13. изображены кривые равного выхода поверхности отклика для двух независимых переменных. Они подобны линиям равной высоты на географических или топографических картах. Поверхность отклика имеет вид холма (впадины) с вершиной в точке «О». Необходимо попасть в окрестность этой точки.

Частные производные функции по соответствующему фактору в выражении градиента численно равны коэффициентам регрессии математической модели, а единичные векторы − интервалам варьирования факторов. Изменяя независимые переменные пропорционально коэффициентам регрессии, мы будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути, поэтому процедура движения к оптимуму называется крутым восхождением.

Рис. 13. Графическая интерпретация метода крутого восхождения

25

Метод крутого восхождения, или иначе метод Бокса−Уилсона, объединяет в себе достоинства трех методов − метода Гаусса−Зейделя, метода градиента и метода полного (или дробного) факторного эксперимента, как средства получения линейной математической модели. Задача метода заключается в том, чтобы шаговое движение осуществлялось в направлении наискорейшего возрастания (или убывания) выходной переменной.

Направление движения корректируется после достижения в некоторой точке на данном направлении частного экстремума функции. В точке локального экстремума ставится новый факторный эксперимент, определяется математическая модель и вновь осуществляется крутое восхождение.

Алгоритм метода крутого восхождения

Расчет составляющих градиента. Практически расчет составляющих градиента реализуется вычислением произведений коэффициентов регрессии на соответствующие интервалы варьирования значимых факторов. Тогда уравнение для градиента будет иметь вид:

y(x)= b1 x1 +b2 x2 +K+bn xn .

На расчет градиента не оказывает влияние b0 . Незначимые факторы стабилизируют на

любом уровне (среднем, нижнем или верхнем). В движении по градиенту эти факторы также не участвуют.

Выбор базового фактора. Фактор, для которого произведение коэффициента регрессии на интервал варьирования максимально, принимается как базовый:

max(bi xi )= a .

Выбор шага крутого восхождения. Для базового (или другого) фактора выбирают шаг восхождения ha . Обычно его выбирают по совету технологов или по имеющейся априорной

информации. Часто принимают:

ha = a(5 ÷10).

Для облегчения расчетов шаги обычно округляют.

Пересчет составляющих градиента. Здесь используется условие: умножение составляющей градиента на любое положительное число дает точки, также лежащие на градиенте. Составляющие градиента пересчитывают по выбранному шагу крутого восхождения для базового фактора:

hi = bi axi ha .

Коэффициенты регрессии берутся в этом выражении со своими знаками.

Организация поиска локального оптимума осуществляется последовательным прибавлением составляющих градиента к нулевому уровню факторов. Получают серию значений факторов крутого восхождения. Переводя их в кодированную форму по формуле перехода и подставив в уравнение регрессии, получим ряд «предсказанных» значений переменной состояния. Эти опыты принято называть «мысленными». Обычно рассчитывают от пяти до десяти таких опытов.

Линейное программирование

Задачами линейного программирования называются оптимизационные задачи, в которых ограничения представляются в виде равенств или неравенств и целевая функция линейна. Методы линейного программирования (ЛП) широко используются для решения различных военных, экономических, промышленных и организационных задач. Главными

26

причинами	столь	широкого	применения	методов		ЛП являются доступность
математического обеспечения для решения задач				при вариации исходных данных.
Задача ЛП записывается следующим образом:
			F = ∑c j x j → max(min,const) ,
			∑a j x j	≤ bj	,
			d j ≤ x j ≤ D j		,
			i = [1, m], j = [1, n].
Задачи	ЛП можно решать		аналитическим и графическим методами. Аналитические
методы представляют собой			последовательность вычислений				по некоторым правилам и
являются	основой	для решения задач на компьютере.				Их	единственный недостаток

заключается в том, что в отличие от графических методов они совершенно не наглядны. Графические методы наглядны, но они пригодны лишь для решения задач, в которых число переменных равно двум, что дает возможность представлять задачу на плоскости.

Существуют стандартные типы задач ЛП: задача о составе сплавов, о ресурсах, о загрузке оборудования, транспортная задача.

Под разработкой моделей линейного программирования понимают построение моделей конкретных практических задач. Построение моделей не следует рассматривать как науку, скорее это искусство, которое постигается с опытом. Разработка модели ЛП включает следующие основные этапы:

•постановка задачи и обоснование критерия оптимальности;

•определение переменных задачи;

•представление ограничений задачи в виде линейных уравнений или неравенств;

•задание линейной целевой функции, подлежащей оптимизации;

•решение задач на ЭВМ;

•технико-экономический анализ полученного варианта.

Постановка задачи предполагает четкую формулировку, включающую цель решения, выяснение известных параметров объекта и тех параметров, количественные значения которых надо определить. При постановке задачи и отборе необходимых связей требуется соблюдение ряда условий:

•Предполагается, что связи носят линейный характер и их можно описать системой линейных уравнений и неравенств. Следует отметить, что связь меж фактором и целевой функцией не всегда является линейной.

•Система линейных уравнений и неравенств должна иметь множество решений, она должна быть совместной, т.е. должен быть набор значений, которые удовлетворяют всем уравнениям и неравенствам.

•Поскольку задача имеет множество допустимых значений, необходим критерий, позволяющий выбрать наилучший вариант.

•Выбор критерия оптимальности должен быть грамотным с теоретической точки зрения.

•Существенное требование, которое имеет техническое значение – это требование неотрицательности переменных.

Приведем пример, иллюстрирующий основные этапы разработки модели и решения задачи ЛП.

Задача отдела технического контроля

В отделе технического контроля (ОТК) некоторой фирмы работают контролеры разрядов 1 и 2. Норма выработки ОТК за 8 – часовой рабочий день составляет не менее 1800 изделий. Контролер первого разряда проверяет 25 изделий в час, причем не ошибается в 98% случаев. Контролер второго разряда проверяет 15 изделий в час; его точность составляет 95%.

27

Заработная плата контролера первого разряда равна 4 доллара в час, контролер второго разряда получает 3 доллара в час. При каждой ошибке контролера фирма несет убыток в размере 2 долларов.

Фирма может использовать 8 контролеров первого разряда и 10 контролеров второго разряда. Руководство фирмы хочет определить оптимальный состав ОТК при котором общие затраты на контроль будут минимальными.

Разработка модели. Пусть x1 , x2 - количество контролеров первого и второго разряда

соответственно. Число контролеров каждого разряда ограничено:

0 ≤ x1 ≤ 8

0 ≤ x2 ≤10.

Ежедневно, в течение 8 – часового рабочего дня, работники отдела должны проверять не менее 1800 изделий, поэтому справедливо следующее неравенство:

8 25 x1 +8 15 x2 ≥1800 или после сокращения: 5x1 +3x2 ≥ 45.

Других ограничений на переменные задачи не налагается.

В качестве целевой функции примем затраты фирмы на контроль, на что явно указывает условие задачи. При построении целевой функции следует иметь в виду, что расходы фирмы, связанные с контролем качества изделий, включают в себя:

1.Зарплату контролеров.

2.Убытки фирмы, связанные с ошибками контролеров.

Исходя из сказанного выше, расходы фирмы на одного контролера первого разряда составляют: 4 дол. + 2 дол. 25 изд./час 0,02 = 5 дол./час. (4 доллара – это зарплата одного контролера; 2 доллара – убытки фирмы, связанные с ошибкой контролера; 25 изд./час – производительность контролера ; 0,02 – доля ошибок).

Расходы фирмы на одного контролера второго разряда равны: 3 дол. + 2 дол. 15 изд./час 0,05 = 4,5 дол./час. (3 доллара – это зарплата одного контролера; 2 доллара – убытки фирмы, связанные с ошибкой контролера, 15 изд./час – производительность контролера; 0,05 – доля ошибок контролера второго разряда). Следовательно, целевая функция, выражающая ежедневные расходы фирмы на контроль, имеет вид:

F = 8 (5 x1 + 4,5 x2 )= 40 x1 +36 x2 → min.

Таким образом, математическая модель данной задачи ЛП:

	F = 40x1 +36x2 → min
ГРУ	0	≤ x1	≤ 8,
		≤ x2	≤10
	0
	5x1 +3x2 ≥ 45

Решение задачи. В настоящей задаче требуется найти значения переменных x1 , x2 ,

удовлетворяющие всем ограничениям и обеспечивающие минимальное значение целевой функции.

В качестве первого шага решения следует определить все возможные неотрицательные

значения	x1 , x2 , которые удовлетворяют условию:		x1 ≥ 0, x2	≥ 0. Поскольку значения
переменных неотрицательны, все допустимые значения			x1 , x2	лежат в первом кавдранте.
Следующим шагом является выполнение ограничений:			x1 ≤ 8, x2 ≤10. Для этого вначале
необходимо преобразовать неравенства в равенства и			построить прямые x1 = 8, x2 =10.
Полуплоскости, задаваемые неравенствами x1		≤ 8, x2 ≤10 , располагаются слева от прямых
x1 =8, x2	=10. В силу ограничения 5x1 +3x2	≥ 45 все допустимые решения располагаются

по одну сторону от прямой 5x1 +3x2 = 45 . Указанную прямую удобно провести, соединяя

28

пару подходящих точек, например: (x1 = 0; x2 =15),(x1 = 9, x2 = 0), рис. 14. Необходимые

полуплоскости отмечены стрелкой, направленной перпендикулярно данной прямой. Пересечение всех полуплоскостей, удовлетворяющих ограничениям задачи, образует треугольник АВС. Он называется допустимой областью задачи ЛП и представляет собой множество всех допустимых решений. Любая точка, находящаяся внутри или на стороне треугольника АВС, может быть решением задачи, поскольку удовлетворяет всем ограничениям. Решение задачи линейного программирования заключается в отыскании наилучшего решения в допустимой области. Лучшее допустимое решение задачи ЛП называется оптимальным. В рассматриваемом примере оптимальное решение представляет собой допустимое решение, минимизирующее целевую функцию F = 40x1 +36x2 .

Если заранее зафиксировать значение целевой функции F , то соответствующие ему точки будут лежать на некоторой прямой. При изменении величины F эта прямая будет подвергаться параллельному переносу. Рассмотрим прямые, соответствующие различным значениям F и имеющие с допустимой областью хотя бы одну общую точку. Начальное значение F положим равным 600 и найдем координаты двух необходимых точек: x1 = 0, x2 = 60036 =16,7; x1 =15, x2 = 0 . После чего построим прямую: 40x1 +36x2 = 600. При

приближении прямой к началу координат значение F будет уменьшаться. Если прямая имеет хотя бы одну общую точку с допустимой областью АВС, ее можно смещать в направлении начала координат. Ясно, что для прямой, проходящей через угловую точку А с

координатами x1 = 8, x2 =1,6 дальнейшее движение невозможно. Точка А	представляет
собой наилучшую допустимую точку, соответствующую наименьшему	значению F ,

равному 377,6. Следовательно, значения переменных x1 = 8, x2 =1,6 - оптимальное решение и

F = 377,6 – оптимальное значение целевой функции и решение рассматриваемой задачи ЛП. Таким образом, штат отдела технического контроля некоторой фирмы должен состоять из 8 контролеров первого разряда и 2-х контролеров второго разряда.

Рис. 14. Графическое решение задачи ОТК

Задача оптимального проектирования

29

В последнее время проблема обеспечения надежности технических средств особенно актуальна. Ненадежность, отказ или поломка в работе отдельных элементов могут привести к нарушению всего производственного процесса, большим экономическим потерям. В ряде отраслей промышленности: химической, нефтеперерабатывающей, металлургической, ядерной энергетике отказ в работе отдельных агрегатов может привести к тяжелым экологическим последствиям. Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей надежности. Надежность – способность объекта безотказно выполнять заданные функции в определенных условиях эксплуатации в течение определенного времени. Этот показатель одинаково применим и к отдельным элементам, узлам, блокам, так и к агрегатам, частям технологического процесса. Надежность оборудования – степень уверенности в его безотказной работе, она определяется вероятностью безотказной работы и может изменяться от 0 до 1. Если в качестве объекта моделирования рассматривать термический участок, то отказ любого агрегата приведет к остановке технологического процесса. Надежность работы всего участка равна произведению вероятностей надежной работы каждого термического агрегата:

p = p1 p2 p3 K pn

(1)

Общая надежность участка всегда меньше надежности самого ненадежного агрегата. В связи с этим для повышения надежности используют параллельное подключение агрегатов (резервное оборудование). Как показывает практика, резервирование является одним из наиболее действенных способов повышения надежности. Главный недостаток резервирования – повышение стоимости. Надежность комплекса из ni параллельных

агрегатов с надежностью pi определяется по формуле:
p(ni )=1−(1− pi )ni .	(2)

При оптимальном проектировании возможны две постановки задачи:

Первая постановка

F1 = C(x)→ min

C(x)= f1 (T (x))

min x ≤ x ≤ max x T (x)≥Tзад.

Вторая постановка

F1 =T (x)→ max

T (x)= f2 (C(x))

min x ≤ x ≤ max x C(x)≤ Cзад.

x - параметры объекта проектирования,

30

C(x) - экономические характеристики,

T(x)- технические характеристики.

В первой постановке необходимо найти такие значения искомых параметров, которые обеспечивали бы получение технических характеристик не хуже заданных при минимизации стоимости. Во второй постановке необходимо найти такие значения искомых параметров, которые обеспечивали бы при стоимости, не превышающей заданную, максимизацию технических характеристик. Решаемая задача формулируется в одной из двух постановок. Алгоритм решения задачи оптимального проектирования складывается из следующих этапов:

1.Определить задачу оптимального проектирования по рассмотренной выше классификации.

2.Выяснить назначение объекта проектирования, его структуру.

3.Определить зависимости параметров объекта проектирования от параметров элементов.

4.Сформулировать задачу оптимизации.

5.Решить задачу.

6.Выполнить анализ рассматриваемой задачи.

Задача. Оптимальное проектирование участка термообработки деталей машин

Спроектировать участок термообработки деталей машин по первому варианту с условием получения минимальной стоимости при заданной надежности. Для этого рассмотрим структуру объекта проектирования. Участок термообработки состоит из трех блоков с однотипным оборудованием, рис. 15, 16.

	Блок 1				Блок 2			P = P1 P2 P3
	P1, C1				P2, C2
								C = C1+C2+C3
			Блок 3
			P3, C3

Рис. 15. Структура объекта проектирования

1

2

…