§ 3. Метод бесконечного спуска и доказательство
Великой теоремы Ферма для показателя n = 4
Метод бесконечного спуска. Вот цитата из письма П. Ферма к Каркави от августа 1659 года: “Поскольку обычные методы, которые изложены в книгах, недостаточны для доказательства столь трудных предложений, я нашел совершенно особый путь для того, чтобы достичь этого. Я назвал этот способ доказательства бесконечным (infinie) или неопределенным (indefinie) спуском; в начале я пользовался им только для доказательства отрицательных предложений:
что не существует числа, меньшего на единицу кратного трёх, которое составлялось бы из квадрата и утроенного квадрата;
что не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратным числом.
Доказательство проводится путём приведения к абсурду таким способом: если бы существовал какой-нибудь прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством.
Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности.
Но если задано число, то не существует бесконечности, по спуску меньших его (все время подразумеваются целые число). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью”.
Этот метод бесконечного или неопределенного спуска действительно сделался одним из наиболее мощных средств диофантова анализа.
После П. Ферма его с успехом применяли Л. Эйлер и Л. Лагранж, а в наши дни – Л. Дж. Морделл, А. Вейль и другие. При этом метод был распространен на проблемы решения уравнения в рациональных числах. Осуществить метод спуска в общем случае теоремы Ферма мешает неединственность разложения целых чисел алгебраических колец в произведение простых сомножителей из того же кольца.
Проиллюстрируем суть метода бесконечного спуска простыми примерами.
Примеры:
1. Докажем,
что
– иррациональное число.
Предположим
противное, т.е. что
,
где p,
q
N.
Тогда имеем
q
= p,
2q2
= p2,
откуда видно, что p
чётно: p
= 2p1
(p1
Z).
Поэтому q2
= 2p12,
и теперь q
чётно: q
= 2q1
(q1
Z).
Кроме того,
.Таким
образом, начав с пары таких натуральных
чисел (p;
q),
что
, получили новую пару натуральных чисел
(p1
; q1)
, где p1
< p,
q1
< q,
с тем же свойством. Точно так же по этой
паре построим ещё одну пару (p2
; q2),
где p2
< p1
, q2
< q1
, и этот процесс построения пар можно
продолжать бесконечно. Однако убывающая
цепочка натуральных чисел p
> p1
> p2
> …
бесконечной быть не может. Полученное
противоречие доказывает, что предположение
о рациональности числа
было
неверно.
2. Докажем, что диофантово уравнение x2 + y2 = 3z2 имеет только тривиальное решение x = y = z = 0.
Предположим, вопреки доказываемому, что (x; y; z) – нетривиальное решение. Тогда x и y делятся на 3. Действительно, рассматривая уравнение по модулю 3, получим сравнение x2 + y2 0 (mod 3), которое выполнено только при x 0 y (mod 3), в чём легко убедиться, перебрав возможные значения x, y {0, 1, 2}:
|
x / y |
0 |
1 |
2 |
|
0 |
02 + 02 0 |
02 + 12 1 |
02 + 22 1 |
|
1 |
12 + 02 1 |
12 + 12 2 |
12 + 22 2 |
|
2 |
22 + 02 1 |
22 + 12 2 |
22 + 22 2 |
Теперь x = 3x1 , y = 3y1 и 3(x12 + y12) = z2 , значит, z = 3z1 . Поэтому x12 + y12 = 3z12. Таким образом, начав с нетривиального решения (x; y; z), получили новое нетривиальное решение (x1 ; y1 ; z1 ), причём |x1| < |x| , |y1| < |y| , |z1| < |z| . По этому решению можно построить новое нетривиальное решение (x2 ; y2 ; z2 ), где |x2| < |x1| , |y2| < |y1| , |z2| < |z1| , и этот процесс можно продолжать бесконечно. Однако убывающая цепочка натуральных чисел |x| > |x1| > > |x2| > … не может быть бесконечной. Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании нетривиального решения рассматриваемого уравнения x2 + y2 = 3z2 было неверным.
Проблема Ферма для показателя n = 4. Дадим короткое доказательство, использующее классификацию пифагоровых троек.
Теорема (о диофантовом уравнении x4 + y4 = z2). Диофантово уравнение x4 + y4 = z2 не имеет решений в натуральных числах. В частности, не имеет решений в натуральных числах и уравнение x4 + y4 = z4.
Доказательство. Пусть (x; y; z) – натуральное решение, т.е. x, y, z N. Если D = НОД(x, y) > 1, то для любого простого числа p, входящего в каноническое разложение D , число p4 входит в разложение z2, а значит, p2 входит в разложение z. Поэтому равенство x4 + y4 = z2 можно последовательно сокращать на p4 , не нарушая вида этого равенства. Таким образом, через несколько шагов придём к аналогичному соотношению со взаимно простыми числами x, y.
Если НОД(x, y) = 1, то НОД(x, z) = 1 = НОД(y, z). Действительно, если, например, x и z делятся на некоторое простое число, то на это число делится и y4, а значит, y вопреки условию НОД(x, y) = 1. Таким образом, можно считать, что (x; y; z) – примитивное решение уравнения, т.е. все числа x, y, z попарно взаимно просты.
Если (x;
y;
z)
–примитивное решение диофантова
уравнения x4
+ y4
= z2
в натуральных числах, то (x2;
y2;
z)
– примитивная пифагорова тройка.
Следовательно, она имеет один из следующих
видов:
,
где u, v – взаимно простые целые числа разной чётности (§ 1).
Рассмотрим только первую возможность, когда y нечётно, т.к. во втором случае всё аналогично. Тогда y2 + v2 = u2, т.е. (y; v; u) – тоже пифагорова тройка, причём примитивная, т.к. u, v взаимно простые числа. Значит, можно считать, что y = s2 – t2, v = 2st, u = s2 + t2 для некоторых взаимно простых натуральных чисел s, t. Поэтому из x2 = 4st(s2 + t2) следует x = 2x1 , где x12 = st(s2 + t2), причём числа st и s2 + t2 взаимно просты: если простое число p – их общий делитель, то p | s или p | t и p | (s2 + t2), откуда по свойствам делимости p – общий делитель взаимно простых чисел s, t, что невозможно. Следовательно, по следствию из основной теоремы арифметики получаем s2 + t2 = b2, st = a2 , и далее s = m2 , t = n2 и m4 + n4 = b2.
Таким образом, по примитивному решению (x; y; z) построено новое примитивное решение (m; n; b), причём b < x12 < z, т.е. реализован метод бесконечного спуска. Значит, диофантово уравнение x4 + y4 = z2 не имеет нетривиальных решений, а значит, их не имеет и уравнение x4 + y4 = z4.
Теорема доказана.