Глава II. Великая теорема ферма и abc-гипотеза

§ 1. Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса

Великой теоремы Ферма

Удивительно, но, как это часто бывает в математике, решение проблемы Ферма пришло совсем с другой стороны, нежели ожидалось. Как уже отмечалось, Э. Вайлс и Р. Тейлор доказали гипотезу Таниямы, относящуюся к теории эллиптических кривых, но из неё К. Рибет, основываясь на гениальной догадке Г. Фрея, вывел Великую теорему Ферма.

К сожалению, объём работы не позволяет подробно остановиться на исследованиях Вайлса-Тейлора. Поэтому лишь наметим путь, ведущий к доказательству Проблемы Ферма.

1. Эллиптические кривые. Эллиптической кривой называется кривая на плоскости, заданная уравнением y² = x³ + ax² + bx + c, где a, b, c  Q .

По аналогии с дискриминантом общего кубического уравнения x³ + ax² + bx + c = 0 вводится дискриминант D эллиптической кривой y² = x³ + ax² + bx + c (a, b, c  Q), равный по определению D = –16(4a³c – a²b² – 18abc + 27c² + 4b³). Отличие в числовом множителе от дискриминанта  здесь не принципиально, но удобно тем, что при целых a и b дискриминант тоже будет целым числом.

На рис. 2, 3 приведены некоторые графики эллиптических кривых: неособые с ненулевым дискриминантом, и особые – с нулевым.

Эллиптическая кривая y² = x³ + ax² + bx + c (a, b, c  Z) называется полустабильной, если сравнение x³ + ax² + bx + c  0 (mod p) не имеет трёхкратных корней для любого простого p | (4a³c – a²b² – 18abc + 27c² + 4b³).

Примеры: 1. Кривая y² = x³ не полустабильна: её дискриминант нулевой, т.к. a = b = c = 0, а правая часть имеет трёхкратный корень x = 0 по любому простому модулю.

2. Пусть A, B – взаимно простые целые числа, С = A + B. Тогда эллиптическая кривая y² = x(x – A)(x – C) полустабильна.

Действительно, уравнение кривой имеет вид y² = x³ – (A + C)x² + ACx, а её дискриминант вычисляется так:

D = –16(– (A + C)²(AC)² + 4(AC)³) = –16(AC)²(A – C)² = –16A²B²C².

Поэтому, если p | A²B²C², то p делит одно из чисел A, B, C, причём два из этих чисел не могут делиться на p ввиду взаимной простоты A и B: например, если A  p, C  p, то B = (C – A)  p – противоречие. Таким образом, корни x  0, x  A, x C (mod p) правой части уравнения кривой не могут все быть одинаковыми.

Определим для эллиптической кривой y² = x³ + ax² + bx + c понятие кондуктора, ограничившись только важным для дальнейшего случаем, т.к. общее его определение требует далеко выходящих за рамки данного изложения понятий. Грубо говоря, кондуктор собирает в одно произведение все простые числа, участвующие в каноническом разложении дискриминанта эллиптической кривой. При этом степень _p , с которой простое число p входит в кондуктор, равна 1, если a² 3b (mod p). Эта степень _p равна 2, если p > 3 и a²  3b (mod p). В случае, когда сравнение x³ + ax² + bx + c  0 (mod p) не имеет решений, степень _p совпадает с показателем, с которым p входит в каноническое разложение дискриминанта D. Остальные возможности p = 2, 3 для кривой с условием a²  3b (mod p) исследуются более сложно, но они не встретятся в дальнейшем, так что оставим их без комментариев.

Примеры: 1. Для кривой y² = x³ – x + 1 имеем

D = –16(4a³c–a²b²–18abc+27c²+4b³) = – 16(271² + 4(–1)³) = –2⁴23.

Таким образом, N = 2^23^. Остаётся вычислить степени  , .

Поскольку многочлен x³ – x + 1 не имеет корней по модулю 2, то  = 4. По модулю 23 имеем a² 3b  0² 3(–1) (mod 23). Поэтому  = 1.

Итак, кондуктор эллиптической кривой y² = x³ – x + 1 равен N = 2⁴23.

2. Пусть A, B – взаимно простые целые числа, С = A + B. Вычислим кондуктор эллиптической кривой y² = x(x – A)(x – C), дискриминант которой вычислен ранее: D = –16A²B²C² . Следовательно, в кондуктор N войдут двойка, а также нечётные простые числа, делящие A²B²C², т.е. делящие одно из чисел A, B, C: N = . Вычислим показатели, с которыми эти простые числа входят в кондуктор. При этом 2 | ABC, т.к. в равенстве A + B = C все три числа не могут быть нечётными.

Ясно, что x(x – A)(x – C) = x³ – (A + C)x² + ACx, т.е. a = A + C, b = AC и a² – 3b = A² – AC + C² . Это выражение не сравнимо с нулём по модулю p, если p | A или p | C : если A² – AC + C²  0 (mod p), то A  0  C (mod p), что противоречит взаимной простоте чисел A, B, C. Если же p | B, то A  C (mod p) и A² – AC + C²  A²  0 (mod p) – противоречие.

Таким образом, a² 3b (mod p), т.е. _p = 1 для всех p | ABC.

Итак, кондуктор эллиптической кривой y² = x(x – A)(x – C), где C = A + B, НОД(A, B) = 1, является произведением всех простых чисел из канонического произведения дискриминанта D = 16A²B²C², т.е. N = .

2. Модулярные формы и модулярные эллиптические кривые. Пусть H – верхняя комплексная полуплоскость n  N, k  Z. Модулярной параболи­ческой формой веса k и уровня n называется заданная и дифференцируемая на H (аналитическая в H) функция f : H  C со следующими свойствами:

,

где a, b, c, d – любые такие целые числа, что ad – bcn = 1, а r  Q .

Нетрудно заметить, что для любого z  H элемент при условии ad – bcn = 1 тоже принадлежит H, так что данное определение корректно. В самом деле, , где в знаменателе дроби стоит положительное число |ncz + d|² , а числитель имеет мнимую часть, равную adIm(z) – bncIm(z) = Im(z) > 0. Таким образом, рассматриваемая дробь принадлежит H.

Множество всех модулярных параболических форм веса k и уровня n обозначим через S_k(n).

Примеры: 1. Нулевая функция 0 : H  C является, очевидно, модулярной параболической формой веса k и уровня n.

2. Если константа является модулярной параболической формой веса k и уровня n, то эта константа равна нулю.

Действительно, если f(z) = c, то из условия получаем, что , т.е. c = 0.

2. Если k – нечётно, то S_k(n) = {0}.

В самом деле, ввиду (–1)(–1) – 00 = 1, то из получаем f(z) = –f(z), т.е. f(z) = 0.

В дальнейшем важную роль сыграют модулярные параболические формы веса 2 и уровня n. Оказывается, что множества S₂(n) состоят только из одной нулевой функции при n  10: S₂(n) = {0} (0  n  10).

Любая модулярная параболическая форма f  S_k(n) удовлетворяет условию при любых целых a, b, c, d со свойством ad – bcn = 1. В частности, при a = 1, d = 1, с = 0 получаем f(z + b) = f(z) при любом b  Z. Это показывает, что функция f однозначно определяется своим заданием в полуполосе , т.е. является периодической с периодомT = 1 (рис. 4). Например, f(–7+2i) = = f((0 + 2i) – 7) = f(0 + 2i). Можно доказать, что такую периодическую аналитическую функцию можно представить в виде , где дляz = x + iy величина e^z = e^x(cos y + isin y) – обычная экспонента в комплексной плоскости. Как известно, экспонента периодична с периодом 2πi:

e^z+2πi = e^{x+i(y+2π)} = e^x(cos(y+2π) + isin(y + 2π)) = e^x(cos y + isin y) = e^z.

Поэтому функция q(z) = e^{2πiz} и её любые степени q(z)^k = e^{2πikz}, периодичны с периодом 1:

q(z + 1)^k = e^{2πi(z+1)k} = e ^{–2πyk+2πi(x+1)k} = e ^{–2πyk+2πixk+2πik} =

= e ^{–2πyk+2πixk} = e ^{(–2πy+2πix)k} = e^{2πizk} = q(z)^k.

По сути дела, такое разложение функции f по степеням q^k (k  N) – это её разложение в ряд Фурье.

Модулярная параболическая форма f  S₂(n) называется собственной (по аналогии с собственными числами линейных операторов: она является собственной функцией для некоторого семейства операторов – всех операторов Гекке), если все коэффициенты a_k в ряде являются целыми числами, удовлетворяющими условиям:

– a₁ = 1;

– a_mk = a_ma_k , если НОД(m, k) = 1;

– для любого простого p | n;

– для любого простого p n.

Наконец, эллиптическая кривая y² = x³ + ax² + bx + c с кондуктором N называется модулярной, если существует такая собственная модулярная параболическая форма  S₂(N), что a_p = p – n_p для всех простых чисел p, за исключением конечного их числа, где n_p – это число решений сравнения y²  x³ + ax² + bx + c (mod p).

3. Гипотеза Таниямы. На первый взгляд, кажется невероятным существование хотя бы одной модулярной эллиптической кривой, ибо вышеприведённые условия модулярности и собственности формы слишком сложны, а числа n_p практически не вычислимы. Однако обширный эмпирический материал и развитая математическая сверхинтуиция позволили экстравагантному японскому математику Ютака Танияме (1927-1958) в 1955 г. сформулировать следующую смелую гипотезу: всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна.

В течение долгого времени эта гипотеза не привлекала внимания математиков из-за своей неправдоподобности. Но в 1970-е годы, благодаря работам Г. Шимуры и А. Вейля она стала популярной, но не на много более понятной, чем раньше. Особенно усилилась её популярность в математической среде после того как в 1985 г. немецкий математик Г. Фрей предположил, а американец К. Рибет доказал, что из гипотезы Таниямы следует Великая теорема Ферма.

Наконец, в 1993 г. математик и Принстона Э. Вайлс объявил о доказательстве той части гипотезы Таниямы, которой хватает для вывода Великой теоремы Ферма. В его рассуждениях были обнаружены пробелы, которые удалось залатать спустя почти два года вместе со своим учеником Р. Тейлором. С тех пор Великая теорема Ферма считается полностью доказанной. Полная версия гипотезы Таниямы была доказана позже усилиями целой группы специалистов, среди которых был и Р. Тейлор.

4. Вывод теоремы Ферма из гипотезы Таниямы. Пусть Великая теорема Ферма не верна, т.е. для какого-то простого числа s > 3 верно равенство a ^s + b ^s = c ^s, т.е. A + B = C, где A = a^s , B = b^s , C = c^s , НОД(A, B) = 1.

Рассмотрим эллиптическую кривую Фрея, в модулярности которой он усомнился первым, что и подтвердил доказательством К. Рибет:

y² = x(x – A)(x – C) = x³ – (A + C)x² + ACx.

Эта кривая уже встречалась ранее: она полустабильна, вычислен её дискриминант D = 16A²B²C² и кондуктор .

Теорема (Рибета). Пусть  : y² = x³ + ax² + bx + c – модулярная эллиптическая кривая с дискриминантом , кондуктороми собственной модулярной параболической формой  S₂(N) веса 2 и уровня N. Тогда для любого простого числа r и существует такая модулярная параболическая форма  S₂(N_r) с целыми коэффициентами, что при любом натуральном k верно (b_k – a_k)  r.

Если применить эту теорему к рассматриваемой кривой Фрея, то . Действительно, каждое нечётное простое число p, участвующее в разложении дискриминанта, встречается ровно один раз (либо в A, либо в B, либо в C ввиду попарной взаимной простоты этих чисел) с показателем, делящимся на s, и поэтому сократится в N_s . Число 2 участвует в дискриминанте в степени вида sk + 4 < s(k + 1) и не делится на s > 3, так что 2 участвует в числителе, но не участвует в знаменателе, т.е. будет значением N_s .

По теореме Рибета найдётся форма  S₂(2) со свойством: при любом натуральном k верно (b_k – a_k)  s. Однако, как отмечалось выше, S₂(2) = {0}, поэтому b_k = 0 (k  N), а значит, a_k  s при любом k  N, вопреки условию a₁ = 1.

Великая теорема Ферма доказана.

Изложенное доказательство теоремы Ферма снова подчёркивает всеединство математики. Для того чтобы понять рассуждения Вайлса, нужно быть специалистом экстра класса не только в современной (алгебраической) теории чисел, но понимать, как весьма тонкие аналитические методы теории модулярных форм, так и причудливую геометрию алгебраических кривых. Это не под силу ни узким специалистам в одной области математики, ни широко, но не глубоко образованным дилетантам. Такая ситуация обостряет проблемы математического образования: как нужно готовить студентов, чтобы они были способны воспринимать новейшие методы науки ?