- •Предисловие
- •Глава 1 гидростатика
- •1.1. Массовая сила, напряжение, давление
- •1.2. Уравнения гидростатики
- •1.3. Жидкость в поле силы тяжести
- •1.4. Закон Архимеда
- •1.5. Жидкость в неинерциальной системе отсчёта
- •Глава 2 динамика невязкой жидкости
- •2.1. Скалярное и векторное поля
- •2.2. Линии тока и траектории
- •2.3. Расход жидкости
- •2.4. Расход при стационарном течении.
- •2.5. Одномерное течение. Уравнение Эйлера
- •2.6. Уравнение Бернулли
- •2.7. Скорость ударной волны
- •2.8. Скорость звука в газе
- •2.9. Решение уравнения Эйлера для газа и сжимаемой жидкости
- •Глава 3 динамика вязкой жидкости
- •3.1. Понятие о вязкости
- •3.2. Течение жидкости в круглой трубе
- •3.3. Ламинарное и турбулентное течения
- •3.4. Тело в потоке вязкой жидкости
- •3.5. Уравнение неразрывности
- •3.6. Фильтрация жидкости в скважину
- •3.7. Закон парности касательных напряжений
- •Приложение
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Вектор площадки. Поток векторного поля
- •3. Инвариантные определения градиента, дивергенции, ротора
- •Теорема о градиенте, дивергенции, роторе
- •5. Градиент, дивергенция и ротор в декартовых координатах
- •6. Оператор Гамильтона
- •7. Вычисление расхода через произвольную поверхность
- •8. Циркуляция векторного поля
- •9. Формула Стокса
- •10. Смысл градиента, дивергенции, ротора
- •1. Смысл градиента:
- •3. Смысл ротора:
- •11. Закон Архимеда как следствие теоремы о градиенте
- •12. Расход невязкой несжимаемой жидкости как следствие уравнения неразрывности
- •13. Парадокс гидростатики
- •14. Измерение атмосферного давления
- •Глоссарий
- •Оглавление
- •Глава 1. Гидростатика…………………………………………………………………2
- •Глава 2. Динамика невязкой жидкости………………………………………..15
- •Глава 3. Динамика вязкой жидкости……………………………………………26
2.8. Скорость звука в газе
Зависимость плотности от давления ярко проявляется у газов: при увеличении давления на газ его плотность увеличивается. Кроме того, газ при сжатии нагревается. Теплопроводность у газа мала, поэтому тепло не успевает уходить из нагретых областей. Это значит, что для газа сжатие является адиабатным процессом (т.е. без передачи тепла). Адиабатный процесс для идеального газа описывается уравнением
(а)
в котором константа называетсяпоказателем адиабаты,
При сжатии масса не меняется. Пусть – масса газа и его объём. ТогдаПодставив в (а), получимили
(2.12)
где Получили связь междуи
Из (2.12) находим
(2.13)
Из (2.12) следует
(2.14)
Подставим в (2.13):
Отсюда Подставив в (2.11), будем иметь
(2.15)
Получилась формула определения скорости звука в газе.
2.9. Решение уравнения Эйлера для газа и сжимаемой жидкости
Воспользуемся равенством (2.9), в котором не использовалось условие несжимаемости. Подставим (2.13) в (2.9). Получим
(а)
Пусть при выполняются условия:(б)
Подставим их в (а):
Вычтем это выражение из (а):
Отсюда
(в)
Найдём чтобы сюда вставить. Из (2.14) и (2.15) имеем ОтсюдаПодставим в (в):
(г)
Заметим, что величина очень мала (т.к.близко к нулю, а скорость звукавелика). Кроме того, скорость течения обычно мала по сравнению сперепад высотневелик. Поэтому в фигурных скобках второй член мал и выражение (г) допускает следующее приближение:
В частности, для горизонтального канала (когда будем иметь
Глава 3 динамика вязкой жидкости
3.1. Понятие о вязкости
Реальная жидкость и газ имеют вязкость.
Вязкость – это сила трения между слоями текущей жидкости.
Именно из-за вязкости текущая жидкость, предоставленная самой себе (т.е. когда убраны причины, вызвавшие движение), останавливается.
Рассмотрим два опыта, в которых проявляется внутреннее трение (вязкость).
Оп ы т 1. В вертикальную трубку с краном внизу нальём воду, а на неё сверху осторожно дольём коричневое растительное масло (рис. 3.1). В состоянии равновесия граница раздела будет горизонтальной (пунктирная линия).
Откроем кран так, чтобы течение было очень медленным. Вскоре граница раздела примет форму параболоида вращения. Слой жидкости, прилегающий к стенке трубки, неподвижен. Скорость течения остальных слоёв увеличивается по мере приближения к оси трубки.
О п ы т 2. Поместим в жидкость две параллельные пластины одинаковой площади расстояние между которымипричём(рис. 3.2).
Будем перемещать вправо верхнюю пластину Рис. 3.1
со скоростью Убеждаемся, что для перемеще-
ния пластины с постоянной скоростью, к ней нужно приложить определённую постоянную силу Раз пластина движется не ускоренно, значит, на неё действует нулевая суммарная сила. Следовательно, внешнюю силукоторую мы прикладываем, уравновешивает противоположно направленная сила трения жидкости о пластину. Обозначим её
Выполняя этот опыт при различных (как это делал Ньютон), можно убедиться, что
Рис. 3.2
Значит,
(3.1)
Коэффициент называетсядинамической вязкостью; он зависит от типа жидкости и её состояния (например, от температуры). Опыт показывает, что при нагревании вязкость жидкости уменьшается, а газов – растёт.
Относительно верхней пластины нижняя пластина движется с той же скоростью но в обратную сторону, влево. Значит, на нижнюю пластину действует сила
Формула (3.1) определяет не только силу трения, действующую на пластину, но и силу трения между соприкасающимися слоями жидкости.
Для слоёв, находящихся на расстоянии скорости отличаются наПоэтому формулу (3.1) можно записать так:
(3.2)