Методические указания по выполнению лабораторных и расчетно-графических работ

1 Лабораторная работа №1. Методы интерполяции.

Задание. Протабулировать произвольно заданную нелинейную функцию наотрезкес постоянным шагом,где n – число точек (узлов) таблицы n = 4…10. По результатам табулирования функции построить таблицу

			…
			…

Используя линейную и квадратичную интерполяцию, вычислить значения функции в двух произвольных, не лежащих в узлах таблицы, точках и,в которых функция имеет разную кривизну. Вычислить в процентах относительную погрешность интерполяции по отношению к точному значению функции в точках и,и сделать соответствующие выводы.

Решение.

Пусть функция имеет вид – т.е. многочлен четвертого порядка. (Если выбранная функция – многочлен, то порядок его должен быть задан выше двух, иначе при использовании квадратичной интерполяции получим абсолютно точный результат). Протабулируем функцию на отрезкес постоянным шагом,где n=4 – число точек (узлов) таблицы. По результатам табулирования функции построим таблицу 1.1 и график функции (рисунок 1.1)

Таблица 1.1

			1,25
			2

Рисунок 1.1 График функции

Выберем две точки и ,в которых функция имеет разную кривизну.

1.1 Расчеты в точке

Вычислим точное значение функции в этой точке: .

Вычислим значение функции, используя формулы линейной интерполяции:

, т.е.

Точка находится между узламии.В этом случае

Относительная погрешность линейной интерполяции в процентах равна

.

Вычислим теперь значение функции в точке , используя формулыквадратичной интерполяции. Найдем приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции

.

Для нахождения коэффициентов составим систему уравнений (2.14) (смотри теоретический материал)

Так как точка ближе к узлу,чемк узлу , то выбираем для расчета следующие три узла: ,,.Соответственно ,,.

Тогда система запишется в виде:

Решая эту систему, находим . Искомое значение функции .

Относительная погрешность квадратичной интерполяции в процентах равна

.

1.2 Расчеты в точке с большей кривизной

Вычислим точное значение функции в этой точке: .

Вычислим значение функции, используя формулы линейной интерполяции:

, т.е.

Точка находится между узламии.В этом случае

.

Относительная погрешность линейной интерполяции в процентах равна

Вычислим теперь значение функции в точке , используя формулыквадратичной интерполяции. Найдем приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции

.

Для нахождения коэффициентов составим систему уравнений (2.14) (смотри теоретический материал)

Так как точка ближе к узлу,чемк узлу , то выбираем для расчета следующие три узла: ,,.Соответственно ,,.

Тогда система запишется в виде:

Решая эту систему, находим . Искомое значение функции .

Относительная погрешность квадратичной интерполяции в процентах равна

.

1.3 Проверка проведенных вычислений по компьютерной программе

1.4 Исследование влияния числа узлов сетки на точность интерполяции

Проведенные выше расчеты показали, что при выбранном числе узлов сетки порешность интерполяции слишком большая. Для повышения точности интерполяции следует увеличить число узлов сетки, или, что, то же самое, увеличить шаг при табулировании заданной функциина отрезке, (). Выберем число узлов n = 7 так, чтобы шаг был равным . По результатам табулирования функциипостроим таблицу 1.2.

Таблица 1.2

		1,0156		1,0156	1,25	2,2656
		0,5		1,5	2	2,5

Проведем для тех же точек и аналогичныерасчеты по компьютерной программе.

Выводы:

1) Применение квадратичной интерполяции для данной функции – многочлена четвертой степени, дает более точные результаты, чем линейная интерполяция.

2) При увеличении кривизны кривой погрешность интерполяции увеличивается.

3) Для повышения точности интерполяции (если погрешности интерполяции не устраивают расчетчика) следует увеличить число узлов сетки, особенно в областях с большой кривизной кривой .