Контрольная работа д2 Колебания материальной точки

Груз А, прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы , как показано на рис.1.

Масса груза m=10кг, амплитуда возмущающей силы и ее круговая частота. коэффициент затухания.

Определить коэффициент упругости с пружины для заданного значения коэффициента динамичности при, где- круговая частота свободных колебаний без учета сил сопротивления.

Найти уравнение движения груза при заданных начальных условиях ,и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять в конце недеформированной пружины.

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений: 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.

Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При заданном значении коэффициента затухания, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений: 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

Рис.1

Решение:

Определим коэффициент упругости пружины.

При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности вычисляется по формуле:

Откуда получаем:

Но квадрат круговой частоты свободных колебаний без учета сил сопротивления так же равен:

(1)

Или

Амплитуда вынужденных колебаний определяется соотношением:

, где - деформация пружины при статическом действии силы.

В рассматриваемой задаче

и

Силы, приложенные к грузу в произвольный момент времени изобразим на рис.2:

Рис.2

Составляем дифференциальное уравнение движения груза:

(2)

где

Подставим заданное выражение возмущающей силы, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза:

Или

Учитывая (1) и обозначив , получим:

(3)

- линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение будем искать в виде:

, где - общее решение однородного уравнения,- частное решение неоднородного уравнения.

Соответствующее однородное дифференциальное уравнение имеет вид:

Его характеристическое уравнение:

Тогда корни характеристического уравнения:

Так как корни характеристического уравнения чисто мнимые, то общее решение однородного уравнения:

(4)

где - постоянные интегрирования

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

(5)

Подставив (5) в (2) найдем постоянные А и D:

Приравнивая коэффициенты при иполучим:

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

И общее решение уравнения (2) можно записать в виде:

Так как и

, то

(6)

Постоянные интегрирования находим из начальных условий , :

Продифференцируем уравнение (6):

И используем второе начальное условие:

И уравнение колебательного движения груза А окончательно примет вид:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки следующая:

(7)

Сведем результаты расчетов по формуле (7) в таблицу 1:

Таблица 1

z	0,00	0,25	0,50	0,75	0,90	1,00	1,10	1,25	1,50	1,75	2,00
В·100, м	0.2500	0.2667	0.3333	0.5714	1.3158	∞	1.1905	0.4444	0.2000	0.1212	0.0833

По данным таблицы 1 строим амплитудно-частотную характеристику системы при отсутствии сопротивления (кривая 1) .

При наличии силы сопротивления окружающей среды, пропорциональной скорости груза, дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:

,

где n – коэффициент затухания (с^-1)

Величина амплитуды вынужденных колебаний находится по формуле:

(8)

Где b – относительный коэффициент затухания

Сведем результаты расчетов по формуле (8) в таблицу 2:

Таблица 2

z	0,00	0,25	0,50	0,75	0,90	1,00	1,10	1,25	1,50	1,75	2,00
В·100, м	0.2500	0.2655	0.3244	0.4885	0.6739	0.7062	0.5651	0.3493	0.1841	0.1161	0.0811

По данным таблицы 2 строим кривую 2, которая дает представление о влиянии сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза (рис.3).

Рис.3