- •«Динамика»
- •2403.309003.000Пз
- •Контрольная работа д1 Динамика материальной точки
- •Контрольная работа д2 Колебания материальной точки
- •Контрольная работа д3 Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела
- •Контрольная работа д4 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
- •Контрольная работа д5 Применение общего уравнения динамики к изучению движения механической системы с одной степенью свободы
- •Контрольная работа д6 Применение уравнений Лагранжа второго рода к изучению движения механической системы с двумя степенями свободы
Контрольная работа д3 Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела
Тело D массой m1 вращается вокруг вертикальной оси Оz с угловой скоростью ω0 (рис. 1). При этом в точке М желоба АВ тела D на расстоянии АМ от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка К массой m2. В момент времени t = 0 на систему начинает действовать пара сил с моментом . Приt = t1 действие пары сил прекращается, одновременно точка К начинает относительное движение по жёлобу согласно закону . Определить угловые скорости тела D в моменты времени t = t1 и t = t2.
Рис.1
Решение
Рассмотрим механическую систему, состоящую из тела D и материальной точки К. Для определения угловых скоростей тела D применим теорему об
изменении кинетического момента системы относительно оси z:
(1)
где - кинетический момент системы относительно оси z,- главный момент внешних сил, приложенных к системе относительно оси z.
Рассмотрим движение системы на отрезке времени от t = 0 до .
На систему действуют внешние силы (рис.2) : силы тяжести тела D и материальной точки К и, реакции опор вала,и момент. Т.к. силыипараллельны осиz, а реакции ипересекают ее, то их моменты относительно этой оси равны нулю. Тогда(2)
Рис.2
Для рассматриваемой механической системы , гдеи– кинетические моменты относительно оси z тела D и материальной точки К, соответственно.
Тело D вращается вокруг неподвижной оси z, следовательно .
Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела:
По теореме Штейнера .
Следовательно .
Кинетический момент материальной точки К, закрепленной в точке М:
.
Так как точка К совершает вращательное движение вместе с телом D, то
По условию задачи ,тогда центральный угол АОМ, на который опирается дуга АМ:
Тогда
И кинетический момент материальной точки К, закрепленной в точке М:
Тогда кинетический момент системы:
(3)
Подставив (3) и (2) в (1), получим:
Или, учитывая начальные данные:
Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем правую и левую части:
Так как в начальный момент времени , то
И
уравнение угловой скорости тела D на отрезке времени от t = 0 до
При
Рассмотрим теперь движение системы на отрезке времени от до.
Рис.3
На систему действуют те же внешние силы (рис.3), за исключением момента. Тогда(4)
Тогда уравнение (1) можно записать в виде: , то есть.
В момент времени кинетический момент системы:
(5)
В момент времени материальная точка находится в точке В, так как длина дуги МК:
и центральный угол МОК, на который опирается дуга МК:
В момент времени кинетический момент тела D:
Для определения кинетического момента материальной точки К рассмотрим движение точки К как сложное, считая ее движение по желобу относительным, а вращение самого тела D – переносным движением. Тогда .
Следовательно,
И
Так как , то.
При
Переносная скорость
Из прямоугольного треугольника О1ОВ получим:
И
Тогда кинетический момент материальной точки К при :
И кинетический момент системы при :
(6).
Так как , то приравнивая (5) и (6), получим:
или
Откуда находим: