книжка. Математические бои 2013

11

9. Приводим уравнение к виду cos x + 1 + (x + 3) 2 = 0. Так как cos x + 1 0, (x + 3) 2 0, то равенство достигается, только когда cos x = –1 и x + 3 = 0. Отсюда получаем решение

х= –3.

10.Сумма чисел на всех гранях равна 51. При первом бросании сумма чисел на двух противоположных гранях (верхней и нижней) равна 51 – 36 = 15, при втором 51 – 33 = 18. Значит на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 – 15 – 18 = 18. Число 10 в паре с числом на противоположной грани дает одну из этих сумм. Но 15 = 10 + 5 не реализуется, значит, возможно только 18 = 10 + 8, то есть на противоположной грани число 8.

11.Пусть расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани а км, собственная скорость теплохода x км/сут., скорость течения реки y км/сут. Тогда скорость теплохода по течению (x + y) км/сут., против течения (x – y) км/сут. Получаем систему из двух

	уравнений	a	=5,	a	=7. Из неё получаем
		x y		x y

время движения плота 35 суток.

a y

=35, то есть

12.Обозначим самое маленькое из больших чисел через b, самое большое из маленьких через М. Если эти числа различны, то возьмём число а, лежащее на пересечении строки с числом b

истолбца с М (возможно, а совпадает с одним из этих чисел). Имеем b ≥ a ≥ M, и b ≥ M.

13.Нельзя, так как при раскраске квадрата в 4 цвета по параллельным диагоналям получается неравное количества клеток одного цвета, что можно установить, по крайней мере, двумя способами:

а) прямым подсчётом;

б) так как 2012 4 , то при раскраске прямоугольников 2012x2014 и 2x2012 закрашенных в каждый цвет клеток будет одинаково, но при раскраске прямоугольника 2x2 будет разным.

Каждая фигурка 1x4 будет окрашена в 4 разных цвета.

12

Можно применить и другой способ раскраски. Разобьем квадрат на квадратики размером 2 2. Их число нечетно. Раскрасим эти квадратики в черный и белый цвета в шахматном порядке. Квадратиков одного цвета, например, черного, на 1 больше, чем белого. Значит, черных единичных квадратиков на 4 больше, чем белых. Любая полоска 1 4 закрывает 2 черных и 2 белых единичных квадратика. Значит, при любом замощении доски должно быть покрыто одинаковое количество черных и белых единичных квадратиков.

14.Можно обеспечить 99 правильных ответов. У первого мудреца никакой информации о своей шапке нет, поэтому его ответ может оказаться правильным только случайно. Но он своим ответом может дать информацию всем остальным. Присвоим цветам номера: белому 0, синему 1, чёрному 2. Далее каждому целому числу ставим в соответствие цвет, номер которого равен остатку от деления этого числа на 3. Первый мудрец суммирует номера цветов остальных 99 мудрецов и называет цвет, соответствующий этой сумме. Каждый из остальных мудрецов суммирует номера цветов, соответствующих 98 мудрецам без первого. Зная ответ первого мудреца и найдя остаток от деления своей суммы на 3, он определяет номер своего цвета: этот номер дополняет найденный им остаток до номера, соответствующего ответу первого мудреца. Например, если первый мудрец назвал синий цвет, имеющий номер 1, а второй при делении найденной им суммы на 3 получил остаток 2, то он должен к этому остатку прибавить 2, чтобы у суммы получился остаток 1. Значит, у второго мудреца будет шапка чёрного цвета.

15.В круге присутствуют как рыцари, так и лжецы, иначе все ответы были бы одинаковы. Если подряд стоят несколько рыцарей (в частности, один), то на первый вопрос крайний справа ответит «да», остальные «нет». Та же ситуация с группой стоящих подряд лжецов. Значит, так как было всего два ответа «да», было всего две таких группы, то есть все рыцари стояли подряд и все лжецы подряд. Если как рыцарей, так и лжецов бы-

13

ло не меньше двух, то два крайних слева рыцаря и два крайних слева лжеца на второй вопрос ответят «да», что противоречит условию. Следовательно, либо рыцарь, либо лжец был единственным. Этот единственный человек и стоящий напротив него на третий вопрос ответят «да», остальные – «нет».

16. Пусть в турнире было m мастеров и g гроссмейстеров. Гроссмейстеры провели между собой g(g – 1)/2 партий и разыграли столько очков. Столько же очков они завоевали в партиях с мастерами. Мастера провели между собой m(m – 1)/2 партий и разыграли столько очков, столько же очков они завоевали в партиях с гроссмейстерами. Значит, всего в партиях между мастерами и гроссмейстерами разыграно g(g – 1)/2 + m(m – 1)/2 очков. А так как количество партий между ними равно mg, то получаем

уравнение g(g – 1)/2 + m(m – 1)/2 = mg. Преобразуем это уравне-

ние: g2 – 2mg + m2 = g + m;

(g – m)2 = g + m. А так как g + m = n, то отсюда получаем утверждение задачи.

17. Углы BHC и BFC равны как симметричные относи-

тельно BC.

BHC 180 A

как углы с взаимно перпендикуляр-

ными сторонами. Так как сумма углов A и BHC равна 180 точка F принадлежит окружности ABC (также как и точки D

, то и E)

18. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку C проведём прямую, параллельную диагонали BD. Точку пересечения этой прямой c прямой AD обозначим через E. Так как BCED – параллелограмм, то CE=BD, следовательно, треугольник ACE равнобедренный. Тогда CAD CED ODA (O – точка пересечения диагоналей трапеции). Таким образом, треугольник AOD – равнобедренный. Поэтому треугольник BOC подобен треугольнику AOD и также является равнобедренным. Углы AOB и COD равны, следовательно AB=CD.

		19.		Из		подобия			треугольников	BNG и ВАМ имеем
MA			AB		MA		AB	.	Значит, подобны	прямоугольные тре-
NG			BN		AN		AE

14

угольники AMN и АВЕ, и AMN = ABE. Тогда по двум углам подобны треугольники MKE и ВАЕ, и угол MKE прямой.

15

ПРАВИЛА, РЕГЛАМЕНТ

ПРАВИЛА ПРОВЕДЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЁВ В Г. ТУЛЕ

1.Математический бой (матбой) является соревнованием двух команд, состав которых определяется согласно регламенту данного математического соревнования или договорённости.

2.В начале математического боя каждая команда получает список из 9 (одних и тех же) задач, подготовленных жюри.

3.Командам предоставляются изолированные помещения

и1,5 часа времени на решение задач. В случае обоюдного согласия время решения может быть увеличено ещё на 0,5 часа. О своём желании использовать дополнительное время капитан команды должен известить жюри не менее чем за 5 минут до окончания основного времени, после чего команда не может отозвать свою просьбу.

4.По окончании решения задач проводится жеребьёвка, которая определяет команду, начинающую математический бой. Жеребьёвка не проводится в случае достижения обоюдного согласия по этому вопросу.

5.Собственно математический бой состоит из четырёх туров, в каждом из которых обе команды выбирают по одной задаче (ранее не выбранной ни одной из команд), причём в первом

итретьем туре первой выбирает одна команда, а во втором и в четвёртом – другая (таким образом, порядок выбора задач командами следующий: 1-2-2-1-1-2-2-1). Команда, выбравшая ту или иную задачу, назначает по этой задаче докладчика, противоположная команда – оппонента. Выбор задач, назначение докладчика и оппонента осуществляется капитаном команды и происходит до начала обсуждения предшествующей задачи.

6.Каждый участник команды в течение одного математического боя может быть назначен один раз докладчиком и один раз оппонентом.

16

7.Докладчику предоставляется до 10 минут на подготовку доклада, после чего запрещаются всякие контакты докладчика и оппонента с остальными членами своих команд, которые в обсуждении не участвуют.

8.В процессе рассказа докладчиком решения задачи его могут прерывать только оппонент и жюри просьбой уточнить ранее сказанное. Наводящие вопросы и замечания, сделанные в это время, не оцениваются положительно, и верные ответы на них исправляют сделанные ранее ошибки. Докладчик может рассказать несколько различных решений задачи (или её некоторых этапов) с целью избежать получения командойоппонентом дополнительных баллов (см. п.11).

9.По окончании выступления докладчика слово предоставляется оппоненту, который может исправить и дополнить решение, задать вопросы докладчику, предложить своё решение. Докладчик в том же порядке может оппонировать оппоненту и так далее.

10.Всякие верные высказывания участников команд, не являющихся по данной задаче докладчиками или оппонентами, засчитываются в баланс противоположной команде.

11.Жюри по итогам решения каждой задачи распределяет баллы (целые числа), руководствуясь следующими критериями: докладчику из расчёта за верное решение – 10 баллов; оппоненту из следующего расчёта: в сумме докладчику и оппоненту за обнародованное совместными усилиями верное решение – 10 баллов, при существенном улучшении оппонентом верного решения, или изложении принципиально иного верного решения – 12 баллов, при несущественном улучшении оппонентом верного решения, или изложении несколько иного верного решения – 11 баллов. Оценка за недостаточно рациональное решение не снижается, дополнительные баллы за оригинальность не начисляются. Команда может получить 1 балл, если найдёт ошибку в решении соперника, не сделав, при этом, никакого продвижения

крешению задачи.

17

12.По окончании каждого тура жюри объявляет его итоги

итекущий счёт. По окончании 4-го тура команда, набравшая не менее чем на 5 баллов больше соперника, объявляется победителем, в противном случае назначается дополнительный пятый тур. Командам предоставляется двадцать минут на решение оставшейся (9-ой) задачи. По окончании этого времени каждая из команд предоставляет в жюри письменное решение данной задачи. Жюри начисляет баллы каждой команде из расчёта 10 баллов.

13.По окончании 5-го тура команда, набравшая не менее чем на 4 балла больше соперника по итогам пяти туров, объявляется победителем, в противном случае фиксируется ничья. Команда, набравшая после четырёх туров на 3-4 очка больше соперника, может отказаться от проведения дополнительного тура, зафиксировав ничью, об этом должен заявить капитан команды не позже, чем через 5 минут после начала 5-го тура. В случае если регламентом турнира ничьи не предусматриваются (например в турнирах, приводящихся по олимпийской системе) для определения победителей устраивается короткое дополнительное соревнование в соответствии со спецификой соревнования (в форме, по выбору жюри, определение победителя по жребию не допускается).

14.Математический бой судит жюри в составе председателя и двух членов. В случае проведения в одном здании одновременно нескольких математических боёв в рамках турнира математический бой может судить жюри в составе двух членов, а также председатель общего жюри турнира (тура) и несколько (в зависимости от числа математических боёв) его заместителей.

15.Во время решения задач в одном помещении с командой могут находиться только члены жюри, а также представитель команды-соперника.

16.Требовать у жюри разъяснения по поводу оценки задачи, апеллировать к решению жюри может только капитан команды (или какой-либо другой участник по его поручению). По-

18

добные рассмотрения могут происходить только непосредственно после объявления результатов каждого тура.

17. О выбранной задаче, назначенном докладчике (оппоненте) капитан команды (только он) информирует жюри, после чего жюри информирует об этом другую команду. После этого перемена принятого решения не допускается

РЕГЛАМЕНТ ПРОВЕДЕНИЯ ОТБОРОЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЁВ

1.Отборочные математические бои турнира математических боёв школ Тульской области (март 2013 года) проводятся в 2 тура. В первом туре (16 марта) команды будут разбиты на пары согласно жребию, но, при этом, команды школ, показавших лучшие результаты на областном туре Всероссийской олимпиады школьников 2013 года, будут рассеяны, то есть, не встретятся друг с другом. Во втором туре, 23 марта 2013 г. команды будут разбиты на пары согласно принципам швейцарской системы, то есть, по возможности, команды, выигравшие в первом туре, встретятся с выигравшими, проигравшие - с проигравшими.

2.На основе отборочных математических боёв формируется турнир математических боёв школ Тульской области 2014 года, который будет проведён в двух дивизионах, высшем и первом. К турниру высшего дивизиона (6 команд) будут допущены не менее 4-х команд-победительниц отборочных математических боёв, также будут учтены результаты областного тура Всероссийской олимпиады школьников 2013 года. К турниру первого дивизиона, приводящемуся по олимпийской системе (с выбыванием) будут допущены все другие команды, подавшие заявки.

3.В каждом математическом бое определяется победитель или фиксируется ничья. Места, занятые командами, распределяются по числу набранных очков (за победу начисляются 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0). В случае, когда какие-то две

19

или более команд наберут одинаковое число очков, преимущество получает команда, имеющая лучший модифицированный коэффициент Бухгольца, т.е. сумму очков соперников (с которыми команда в турнире играла), умноженных на нормированный результат математического боя с этим соперником. Например, при победе со счётом 30:20 нормированный результат ра-

вен 30/(30+20)=0,6.

4.Состав команды, участвующей в математическом бое, формируется из 6 учеников со следующим распределением по классам: 11 класс – 3 человека, 10 класс – 2 человека, 9 класс – 1 человек. Допускаются замены в сторону уменьшения класса. В каждом последующем математическом бое допускаются любые изменения состава, если только этот состав окажется соответствующим данному пункту регламента. Команда в составе менее четырёх человек к математическому бою не допускается.

5.Математические бои проводятся в 4 учебном корпусе ТГПУ им. Л.Н.Толстого.

6.Командам, участвующим в математическом бое предоставляются изолированные помещения на срок до двух часов для решения задач, а также помещение с большой классной доской для ведения собственно математического боя, достаточно просторное, для того, чтобы вместить обе команды, жюри и зрителей.

7.Во время решения задач вместе с командой в комнате могут находиться только члены жюри, а также представитель команды-соперника.

8.Участникам математического боя разрешается пользоваться чертёжными инструментами, калькуляторами, справочниками, учебниками и т.п., запрещается пользоваться компьютерами, сборниками задач олимпиадного характера, конспектами занятий математических кружков, секций и т.п., а также в той или иной форме прибегать к мнению болельщиков, руководителей команды и прочих лиц. Во избежание недоразумений рекомендуется перед началом математического боя предъявить

20

жюри материалы, которые предполагается использовать, без разрешения жюри запрещается пользоваться мобильными телефонами. Окончательное решение о возможности использования того или иного материала принимает председатель жюри.

9. Команде засчитывается техническое поражение со счётом 0:1, если она оказывается виновной в нарушении пунктов 7 или 8 настоящего документа, а также в случае неявки. Если нарушение п.8 выявлено в ходе собственно математического боя или по его окончании, то за командой, которой присуждается победа, сохраняются очки, набранные к тому моменту.

НЕКОТОРЫЕ КОММЕНТАРИИ К «ПРАВИЛАМ ПРОВЕДЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЁВ В Г.ТУЛЕ» И НЕКОТОРЫЕ СОВЕТЫ УЧАСТНИКАМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЁВ

ПО ТАКТИКЕ ВЕДЕНИЯ БОЯ

1.Порядок выбора задач командами (1-2-2-1-1-2-2-1) составлен так, чтобы ни одна из команд не имела преимущества, если бы команды выбирали задачи строго по очереди (1-2-1-2-1- 2-1-2), то, очевидно, что первая команда получила бы преимущество.

2.Докладчик имеет перед оппонентом большое преимущество, но это нормально, если обе команды правильно решили задачу, то счёт будет 10-0 в пользу докладчика (если у оппонента нет принципиально иного решения). Однако, то, что каждая команда является докладчиком и оппонентом одинаковое число раз (по 4), уравнивает ситуацию. Счёт 9-0, 10-1 и, тем более, 10- 2 следует рассматривать как неплохой для оппонента.

3.Именно поэтому жюри объявляет очередные оценки и текущий счёт не после каждой задачи, а после каждых двух (после "тура"), чтобы в текущем счёте не отражалось преимущество одной из команд, которая к тому времени чаще была докладчиком (после каждого тура число докладов у обеих команд одина-