bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki
.pdfАналогічно знаходимо координати точок С і А:
|
|
C : xS |
xR xP |
|
2 4 |
1, yS |
|
yS |
yP |
|
3 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 |
, C |
|
|
|
|
5 |
|
QC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
1, |
|
|
|
, |
|
CS |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xQ xS |
|
2 2 1 |
0, |
y |
|
yQ yS |
|
2 2 |
2 C 0, 2 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
C |
1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A: xN |
|
xR xQ |
|
|
2 2 |
|
0, yN 3 7 5, N |
0, 5 , |
PA |
2, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AN |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xA |
xP xN |
|
|
4 2 0 |
4, yA |
2 2 5 |
8, |
A 4,8 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координати вершин трикутника: А (– 4, 8); В (8, 6); С (0, –2).
б) Точка перетину медіан трикутника буде спільною як для трикутника RQP, так і для трикутника АВС. Розглянемо RQP і медіану RM. Точка О поділяє відрізок RM у відношенні
|
RO |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
OM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
xR xM |
|
2 2 3 |
|
|
4 |
|
|
|
yR yM |
|
3 2 |
|
||||||||
Звідси x0 |
|
|
|
; y0 |
|
|
2 |
4 . |
||||||||||||||||
1 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Координати точки перетину медіан: |
O |
|
, 4 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) Площу трикутника АВС знаходимо за формулою |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
x1 |
y1 |
1 |
|
1 |
|
4 |
|
8 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
S ABC |
|
x2 |
y2 |
1 |
|
|
8 |
|
|
6 |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
x3 |
y2 |
1 |
|
2 |
|
0 2 1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
24 16 64 8 1 |
112 56. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площа трикутника АВС дорівнює 56 кв. од.
218
г) Знайдемо рівняння QR як рівняння прямої, що проходить через дві точки:
|
x x1 |
|
|
|
y y1 |
, |
|
x x , |
|
|
y y |
Q |
, x |
2 |
x |
R |
, |
y |
2 |
y |
R |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 x1 |
|
|
|
y2 y1 |
1 |
|
|
Q |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 2 |
|
|
y 7 |
|
x 2 |
|
|
y 7 |
x 2 y 7, x y 5 0. |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 7 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Звідси PD |
|
xP yP 5 |
|
|
|
|
4 2 5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
7 2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
12 |
12 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PD 7 22 .
д) Точку перетину висот знайдемо як точку перетину прямих
АА1 і ВВ1.
1) Рівняння прямої АА1:
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
x 4, y 8 , |
|
8 0, 6 2 8, 8 , |
AA1 |
BC |
AA1 |
BC |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 8 x 4 8 y 8 0 x y 4 0. |
|||||
|
|
AA1 |
BC |
2) Рівняння прямої ВВ1:
BB1 AC, BB1 x 8, y 6 , AC 0 4 , 2 8 4, 10 ,
BB1 AC 0 4 x 8 10 y 6 0
2x 16 5y 30 0 2x 5y 14 0.
Щоб знайти точку перетину висот, потрібно розв’язати систему рівнянь:
2x 5y 14 |
|
|
2 |
5 |
|
7, |
1 |
|
14 |
5 |
|
6, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
||||||||
x y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
14 |
|
|
22 , |
x 1 |
|
6 |
, |
|
y 22 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
Координати точки |
перетину висот трикутникаАВС: |
|
|
6 |
, |
22 |
|
|||||||||||||||
|
E |
7 |
7 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача2.2-9. ДанодвівершиниА(2, –3), В(5, 1) трикутникаАВС, рівняннясторони ВС: 2х+ 3у– 13 = 0 імедіани АМ: 3x 2 y 3 0.
219
Знайти:
а) точку перетину медіан; б) тангенс кута СВА; в) рівняння сторони АС;
г) рівняння висоти СD, опущеної з вершини С на сторону АВ; д) довжину висоти СD;
е) площу трикутника АВС.
С
y
M
Q
B (5, 1)
0 |
D |
А(2, – 3)
2 |
|
|
|
|
|
х |
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
0 |
а) Знайдемо спочатку точку М перетину медіани АВ і сторони ВС:
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2x 3y 13 0 |
; |
|
|
|
2 9 7; |
1 |
13 |
9 |
4; |
||||||||||||||||||||||||
|
y 3 |
|
0 |
3 1 |
|
|
3 1 |
||||||||||||||||||||||||||
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
6 39 33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Координати точки M |
|
|
|
|
, |
7 |
. Точка Q перетину медіан по- |
||||||||||||||||||||||||||
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
діляє відрізок АМ у відношенні |
|
2 . Тому |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
QM |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
xA xM |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Q |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
yA yM |
|
|
|
|
|
|
3 2 |
33 |
|
|
45 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
yQ |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220
|
2 |
|
15 |
|
|
Координати точки перетину медіани Q |
|
, |
|
. |
|
7 |
7 |
||||
|
|
|
|
б) tg CBA |
k2 k1 |
|
, де k1 — кутовий коефіцієнт ВС, |
k1 |
2 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
1 k k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yB yA |
1 3 |
4 |
|
|
|
|||
k |
— кутовий коефіцієнт сторони АВ k |
AB |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xB xA |
5 2 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Звідси tg CBA |
|
|
|
|
|
|
18 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg CBA 18 .
в) Координати точки А відомі. Щоб знайти координати точки С, розглянемо відрізок ВС, точка М — поділяє цей відрізок навпіл, то-
чка С — відрізок ВМ зовнішньо у відношенні CMBC 2 . Тому
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
4 |
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xB xM |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yB |
yM |
|
|
|
1 |
2 |
33 |
|
|
|
59 |
|
|
|
59 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
yC |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Координати точки |
|
|
|
43 |
, |
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
C |
|
7 |
|
|
|
. Рівняння сторони АС шукає- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
мо у вигляді рівняння прямої, яка проходить через дві точки: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x1 |
|
|
y y1 |
|
, де x 2, |
y 3, |
|
x |
2 |
43 , |
y |
2 |
59 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 x1 |
|
|
y2 y1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
y 3 |
|
x 2 |
|
|
y 3 |
80x 160 57 y 171 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
43 |
|
|
|
59 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
57 |
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
7 |
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рівняння сторони АС: |
80x 57 y 11 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
221
г) Позначимо точку D (x, y). CD AB CD AB 0 ;
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
CD |
|
, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
7 |
|
7 |
, AB 3, 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
21x 129 28y 236 0 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 x |
|
7 |
|
|
|
y |
7 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
21x 28y 107 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рівняння висоти СD: 21x 28y 107 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
д) Скористаємось формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d CD |
|
Ax0 By0 C1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
де A, B, |
C — коефіцієнти прямої АВ; х0 у0 — координати точки С. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рівняння |
АВ: |
|
|
x x1 |
|
|
|
y y1 |
|
x 2 |
|
|
y 3 |
|
x 2 |
|
|
y 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
y |
2 |
y |
|
|
|
|
1 3 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 8 3y 9 4x 3y 17 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
3 |
59 |
|
17 |
|
|
|
|
|
172 177 119 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
468 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d CD |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
35 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Довжина висоти СD дорівнює 468 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x1 |
|
|
y1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
S ABC |
|
x2 |
|
|
y2 |
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
е) |
|
|
|
|
|
2 |
|
x3 |
|
|
y3 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
43 59 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
129 |
|
|
|
295 |
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
234 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
15 |
118 |
|
1 |
|
468 |
|
33,4 |
(кв.од.). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
2 |
|
7 |
|
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
S ABC 33,4 |
|
кв.од. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
222
Задача 2.2-10. Дано координати вершин А(–3; 3) та В(–1; 9) |
||
трикутника АВС, рівняння двох його висот х – у + 6 = 0 та 9х –– у |
||
+ 18 = 0 і координати точки Р(7; –4). |
||
|
у |
0 |
|
В (– 1; 9) |
|
|
= |
|
|
|
6 |
|
|
+ |
|
|
у |
|
|
– |
45 |
|
х |
|
|
|
L2 |
D |
|
|
М |
N |
|
|
|
|
А (– 3; 3) |
45 |
|
|
С |
|
О |
х |
|
L1 |
|
|
|
Р (7; – 4) |
Відкладаємо дані точки А(–3; 3); В(–1; 9) та Р(7; –4) (див. рисунок). Будуємо прямі х – у + 6 = 0 та 9х – у + 18 = 0. На цих прямих лежать висоти трикутника, які перетинаються в точці М. Через точки А та В проводимо прямі, перпендикулярні до висот. У точці їх перетину міститься третя вершина С. Через вершину С проводимо пряму CD, на якій лежить медіана CD. Позначаємо на ній точку перетину медіан N. Через вершину В під кутом 45 до медіани
CD проводимо дві прямі BL1 та BL2. Креслимо трикутник МРС. |
|||||||||
1) Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, має |
|||||||||
вигляд |
y |
y1 |
|
x |
x1 |
. Підставивши в це рівняння координати |
|||
y |
|
|
x |
|
|
||||
|
2 |
y |
2 |
x |
2 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
точок А та В, складемо рівняння сторони АВ:
3x y 12 0 .
Кутовий коефіцієнт висоти, що проходить через вершину В, k = 9. З умови перпендикулярності висоти та сторони АC знаходи-
223
мо кутовий коефіцієнт kAC 19 . Рівняння прямої, що проходить
через задану точку, має вигляд y y1 k(x x1 ) . Підставляючи в це рівняння координати точки А та kAC, складаємо рівняння сто-
рони АВ: y 3 1 |
(x 3) , |
або |
x 9 y 24 0 . Аналогічно знахо- |
|||||||||
|
|
9 |
|
x y 8 0 . |
|
|
|
|||||
димо рівняння сторони BC: |
|
|
|
|||||||||
2) Координати точки C знайдемо, розв’язавши систему рів- |
||||||||||||
нянь x 9 y 24 0 |
Звідси C(6;2). |
|
|
|
||||||||
|
x y 8 0. |
|
|
|
|
|
x1 x2 |
|
|
|||
За |
формулами |
координат |
середини відрізка x |
, |
||||||||
2 |
||||||||||||
|
y1 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
обчислюємо координати середини сторони АВ — точки |
|||||||||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
x 6 |
|
|
||
D(–2; |
6). Тепер складаємо рівняння медіани CD: |
|
|
, |
||||||||
|
2 6 |
|
||||||||||
або x 2 y 10 0 . |
|
|
|
6 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Медіани трикутника в точці перетину поділяються у відношенні 2:1. Звідси випливає, що точка N поділяє відрізок CD у
відношенні |
CN |
2 . |
За формулами поділу відрізка в даному |
||||||
|
|
ND |
|
|
|
|
|
|
|
відношенні |
x |
x1 x2 |
|
|
y |
y1 y2 |
обчислюємо координати точ- |
||
1 |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
14 |
|
|
||
ки перетину медіан |
N |
|
; |
|
. |
|
|||
3 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3) З формули кута між прямими tg |
k2 k1 |
знайдемо кутові |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 k k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
коефіцієнти прямих BL1 та BL2. Для кута між прямими BL1 та CD |
||||||||||
пряма BL1 перша, її кутовий коефіцієнт k1 |
невідомий. Пряма |
|||||||||
CD — |
друга, її |
кутовий |
коефіцієнт |
k |
1 |
. Таким чином, |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
tg45 |
2 |
|
1 |
. |
Звідси |
k 3 . Підставляючи в рівняння |
||||
|
|
|
||||||||
|
1 |
1 k |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y y1 k(x x1 ) знайдене значення k1 та координати точки В, знаходимо рівняння прямої BL1: 3x y 6 0 .
224
Для кута між прямими BL2 та CD пряма CD перша, її кутовий коефіцієнт k1 12 Пряма BL2 — друга, її кутовий коефіцієнт k2
|
|
k2 |
1 |
. Звідси k2 1 і рівняння |
|
невідомий. Таким чином tg45 |
|
2 |
|||
|
|
1 |
|
||
1 |
3 |
||||
2 |
k2 |
||||
|
|
|
|
|
|
прямої BL2 має вигляд: y 9 1 (x 1) |
або x 3y 28 0 . |
||||
3 |
|
|
|
|
|
Зауваження. Прямі BL1 та BL2 |
взаємно перпендикулярні, тому |
||||
кутовий коефіцієнт прямої BL2 |
швидше можна було знайти з |
||||
умови перпендикулярності прямих k1k2 1 . |
4) Координати точки М перетину висот трикутника знайдемо,
|
x y 6 0 |
|
|
|
3 |
|
9 |
|||
розв’язавши систему рівнянь |
|
0 |
. Звідси |
M |
|
|
; |
|
. |
|
2 |
2 |
|||||||||
|
9x y 18 |
|
|
|
|
|
|
y |
9 |
|
x |
3 |
|
|
|
Складемо рівняння сторони MС: |
2 |
|
2 |
|
, або x 3y 12 0 . |
|||
|
|
|
|
|||||
2 |
9 |
6 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Довжину сторони МС знайдемо за формулою відстані між точка-
ми MC |
(x2 x1 ) |
2 |
( y2 y1 ) |
2 |
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
9 |
2 |
5 10 |
. До- |
||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вжину висоти h трикутника МРС знайдемо як відстань від точки
Р до прямої МС за формулою h Ax0 By0 C . Підставля-
A2 B2
ючи сюди коефіцієнти рівняння прямої МС та координати точки Р (7;
– 4), дістаємо: h |
|
|
1 7 3 4 12 |
|
|
|
|
17 |
|
. Тепер обчислюємо пло- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
12 |
32 |
|
|
|
10 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
щу трикутника МРС: S |
1 MC h |
1 |
|
5 |
10 |
|
17 |
|
85 . |
||||||||
2 |
|
2 |
10 |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
225