bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

A 4B 9;

3A 3B 4C 17;

5A 3C 10;

A 1;B 2;C 5.

Остаточно заданий інтеграл набирає вигляду:

I 2x 3 4x1 3 x22x3x5 5 dx .

Окремо зінтегруємо останній доданок. Застосуємо при цьому загальну схему інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен. Послідовність дій: 1) виділяємо повний квадрат у знаменнику; 2) вводимо як нову змінну вираз, що підноситься до квадрата; 3) розкладаємо дріб на суму за доданками в чисельнику; 4) інтегруємо кожний доданок окремо; 5) повертаємось до початкової змінної:

I				2x 5					dx							2x 5									dx						2x 5								dx
			x2 3x 5								x	2		2		3	x	9	5				9									3	2			11
															2			4					4					x
																																2				4
		t x				3								2t 3 5				dx					2tdt									dt									11
						2																						2							ln				t 2
																									11								11
		x t				3	; dx dt							t 2			11					t 2								t 2											4
						2											4								4								4
		4		arctg				2t	C ln					x2	3x 5						4 11					arctg			2x 3					11			C.
		11					11														11											11

Визначений інтеграл

Якщо відрізок [a, b] розбити на n частин вигляду [xk 1, xk ] ,
де a x0 x1 ... xn 1	xn b і в кожній частині взяти довільну
точку k [xk 1, xk ] ,	то вираз	n
		Sn f k xk xk 1 є інтегра-
льною сумою функції f x ,		k 1
		що відповідає цьому розбиттю

287

відрізка.

Визначеним інтегралом функції f x на відрізку [a, b] на-

зивається границя, до якої прямують значення інтегральних

сум Sn за умови, що n , а max xk 0 , де

k

xk xk xk 1 :

b	f x	dx lim Sn	n	f k	xk xk 1 .
			lim
a		n	n k 1
		0	0

Числа a та b називаються нижньою та верхньою межами інтегрування.

Для практичного знаходження визначених інтегралів застосовують формулу Ньютона–Лейбніца.

288

Теорема Ньютона–Лейбніца. Якщо функція рвна на відрізку [a, b] і F x — деяка довільна її значення визначеного інтеграла на відрізку [a, b] f x обчислюється за формулою:

b	f x dx F x		b	F b F a .
			a
a

f x неперепервісна, то від функції

Для визначеного інтеграла іноді доцільно виконати підставлення.

Теорема. Нехай функція		f x неперервна на відрізку [a, b] ,
функції x та	x визначені й неперервні на		[ , ] і
t [a, b] при t [ , ] . Тоді якщо a, b , то
	b
	f x dx f t t dt .
	a

Ця формула називається формулою заміни змінної у визна-

ченому інтегралі, або інтегрування підставленням.

Необхідно пам’ятати, що при виконанні підставлення для визначеного інтеграла необхідно змінювати значення меж інтегрування.

Інтегрування частинами для визначеного інтеграла

Якщо функція U x і V x неперервно диференційовні на

[a, b] , то

bb

UdV UV ba VdU .

		a		a
							b
Задача 6.6. Обчислити			визначений		інтеграл		xm f px q dx ,
якщо							a
Варіант	а	b		f u		m	p	q
0	1	2		log2u		1	2	3

289

Підставивши значення параметрів у загальну формулу, дістанемо:

												U log2 2x 3																	dU											2dx
x log2 2x 3 dx																																				2x				3 ln 2
2
1												dV xdx																	V x							2
																																	2
	x2 log2 2x 3							2				1					2			x2					dx				x2 log2 2x 3															2
				2									ln 2					1	2x 3																	2
								1										x2 log2 2x											3			2												1
	1		2	4x2 9 9								dx
			1
	4ln 2				2x 3																			2								1
	1		2									9											x2 log2						2x 3										2
	4ln 2			2x 3					2x 3							dx												2
			1																																				1
	1							9														2					22 log				2		2		2					3
			x2 3x									ln		2x 3
	4ln 2							2																									2
				2	1 3																	1
	12 log											1																9
			2														22			3				2				2	ln 2 2 3
				2						4ln 2
	1			2				9																		1 7 ln 7 5ln 5
			1		3 1							ln 2				1 3														ln 2										.
	4ln 2							2																		8

Невластиві інтеграли

Невластивий інтеграл на необмеженому проміжку інтегрування — це границя, до якої прямує значення визначеного інтеграла при необмеженому збільшенні границі інтегрування:

	f x dx lim		f x dx lim F F a .
a	a

Якщо остання границя не існує, то невластивий інтеграл називають розбіжним.

290

Задача 6.7. Обчислити невластивий інтеграл або довести його розбіжність:

f px q					dx , якщо
	x	m
a
			Варіант			а	f u	m	p	q
			0			1	log6 u	2	5	7

Підставляємо значення параметрів із таблиці в загальну формулу, маємо:

	log6 5x 7			log6		5x 7		dx .
I0				dx lim
		x2				x2
	1			1

Знайдемо спочатку первісну підінтегральної функції.

U log6 5x 7

dU

5dx

log6

5x 7

dx

5x 7 ln 6

x2

dV dx

V

1

log6 5x 7

x2

x

5

dx

.

x

ln 6

x 5x 7

Для визначення другого інтеграла необхідно розкласти раціональний вираз під знаком інтеграла на суму елементарних дробів:

1			A		B		A 5x 7 Bx	;	1 A 5x 7 Bx.
x 5x 7					5x 7		x 5x 7
			x

Підставляючи в останню тотожність значення x 0 , знаходимо A 17 , потім знаходимо B 75 . Таким чином, невизначений інтеграл дорівнює

log

5x

7

5

1

5

I1

6

x

ln 6

7x

7 5x 7

log6 5x 7

5ln

x

5ln

5x 7

.

7 ln 6

x

7 ln 6

291

Повернемося до невластивого інтеграла:

					log6 5x										7															log6 5x 7																			5 ln				x
I	0	lim																		dx lim
														2																							2
											x																									x														7 ln 6
					1
		5 ln		5x				7																log6 5 7														5 ln													5 ln				5 7
															lim
		7 ln 6																																							7 ln 6
																																																					7 ln 6
														1
		log		5 1 7											5 ln			1							5 ln		5 1 7																							log				5 7
			6																																		lim																6
					1										7 ln 6										7 ln 6
		5																							12				5 ln			12
					lim ln											log							6
		7 ln 6									5 7																			7 ln 6
0					5			ln		1			log6 12 0 5 ln12																											1 5 ln 5 24 ln 2 12 ln 3 .
			7 ln 6							5
																											7 ln 6											7												ln 2 ln 3

Подвійні інтеграли

1.Якщо функція f(х, у) інтегровна на множині

D x; y		a x b,	x y x ,
то		b	x	f x; y dy.
f x; y dxdy dx					(1)
D		a	x

2.Якщо функція f(х, у) інтегровна на множині

D x; y y x y , c y d ,

то

	d	y
f x; y dxdy dy		f x; y dx.	(2)
D	c	y

292

Задача 6.8. Знайти подвійний інтеграл f x; y dxdy , якщо

D
f x; y 1 x y 2 , D — трикутник, обмежений прямими	x 2 y;
y 2x; x y 6.

Трикутник D зображено на рисунку. Відрізком АВ поділимо область D на дві області D1 i D2. Тоді:

I f x; y dxdy f x; y dxdy f x; y dxdy.

D

D1

D2

уy

A

y = 6 – x

y =

2 х

4

2

D2

D1

B

yу==(1х/2)x

x

х

2

4

За формулою (1) знаходимо

											2			2 x					dy										2							1					2 x
f x, y dx dy dx																																										dx
																								2
																x		y				1													x y		1
D1											0		x / 2																0												х/ 2
	2				1						1										1 ln 7									2
															dx																	ln 4.
					3x 1					3																			3
	0										x	1									3
										2
		f x; y dxdy dx																		dy					2								1
																																					1 dx
												4		6 x															4
																																		7
														x / 2 1						x			y													3	x
	D2											2																	2									1
																																				2
				2		2	ln7 ln 4 .
						3
Отже,				7
																		1 ln 7							2
															I													.
																									7
																		3

292

Криволінійний інтеграл першого роду

Якщо	гладку криву		Г задано		рівнянням			x x t , y y t ,
z z t , t , а функція f (х, у,				z)	неперервна на кривій Г, то
f x, y, z ds							z t dt.		(1)
		f x t , y t , z t x t y t
				2		2		2
Г									y f x ,
Якщо Г — гладка плоска крива, задана рівнянням
a x b,	то	b	f x; f x	1	f	x dx.			(2)
		f (x; y) ds
							2
	Г	a							x y ,
Якщо Г — гладка плоска крива, задана рівнянням
c y d,	то	d	f y , y	1 y dy.					(3)
		f (x; y) ds
							2
	Г	c

Задача 6.9. Обчислити криволінійний інтеграл x y ds, де Г

— межа трикутника з вершинами О (0; 0), А (1; 0), ВГ (1; 1).

у

1В

ОА

0

1 х

Нехай І1, І2, І3 — криволінійні інтеграли від функції х + y по відрізках відповідно АВ, ВО, ОА.

Відрізок АВ задається рівнянням х = 1, 0 y 1, тому за формулою (1) маємо:

І1	y 1 dy 3.
	1
	0	2

ВідрізкиВОіОАзадаютьсявідповіднорівняннямиy = x; 0 x 1; y = 0; 0 x 1.

293

За формулою (2) знаходимо

1
І2	2х	2 dx 2;
0	xdx 1 .
I3
	1
Отже,	0	2

I I1 I2 I3 2 2.

Криволінійний інтеграл другого роду

Якщо гладку криву Г задано рівнянням x = x(t); y = y(t); z =

z(t); t , а вектор-функція F (P; Q; R) неперервна на Г, то

		Р х t ;	y t ;	z t x t Q x t ;		y t ; z t y t
Рdx Qdy Rdz
							(1)
Г
R x t ;	y t ; z t z t dt.
Якщо Г — плоска гладка крива, задана рівнянням y = f (x) а
х b, то				b
		P x; y dx P x; f x dx;					(2)
		Г		a
			b		x dx.		(3)
	Q x; y dy Q x; f x f
	Г		a

Задача 6.10. Обчислити криволінійний інтеграл І ydx xdy

Г

за кривою Г з початком (0; 0) і кінцем А (1; 1), якщо Г — дуга параболи y x2 .

у	у = х2
1

0	1	х

294

Якщо Г — дуга параболи, застосовуємо формули (2) і (3). Маємо:

	ydx 1 x 2 dx ;		xdy 1 2x 2 dx ;	І 1 3x 2 dx 1.
Г	0	Г	0	0

Застосування інтегрального числення

Довжина дуги кривої

Якщо криву задано рівнянням y f (x),																														то довжина дуги від
x a до x b обчислюється за формулою:
										I				b		1			f x					2	dx.												(1)
														a											x t ,					y шt ,
Якщо		криву			задано								рівнянням																						t ,		то
довжина дуги обчислюється за формулою:
														t						2		t				2	dt.										(2)
								I
Задача 6.11. Обчислити довжину дуги																															кривої				y f x		від
x a	до x b,		якщо
f	x 3 e x / 6 e x / 6 , a 0; b 3.
Застосовуємо формулу (1).
Тоді
	3	1		3	2	е		х/ 6			е		х/ 6					2	dx				3		1		1	e	x / 3		2 e				x / 3	dx
	І																										4
	0			6																			0
		3	1		1		e	x / 3			1			e		x / 3				dx			3		e2 x / 3 2e x / 3 1										dx
			2		4						4																	4e x / 3
		0																					0
		1 3 e x / 6					ex / 3 1 2 dx 1 3 e x / 6 e x / 3 1 dx
		2 0																			2 0
				1 3 e x / 6 e x / 6 dx																		1	6e x / 6 6e x / 6										3
				2 0					6			1							1			2						1					0
												2							2
										e					e										e
									2													3							e	.

295