bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

і розбігатиметься, якщо

1						x 2 1,
				x 2			1 x 3 .
		1,				1,
	x 2
						x 2	1,

Залишається дослідити ряд на збіжність у точках х = 1 і х = 3.

При х = 1 маємо ряд		1 n	n , а при х = 3 — ряд
				n . Ці ряди
	n 1			n 1

розбігаються, бо, очевидно, для них не виконується необхідна умова збіжності. Таким чином, область збіжності функціонально-

		n		буде х (– ; 1) (3; + ). У цій області ряд
го ряду
		x 2	n
n 1

збігається абсолютно.

Степеневі ряди

Функціональний ряд

a0 a1 x a2 x2 ... an xn ... an xn

n a

називається степеневим рядом. Його загальний член un x an x n ;

числа а0, а1, а2, …, аn, … називаються коефіцієнтами степеневогоряду.

Розглядають і більш загальний вигляд степеневого ряду: a0 a1 x c a2 x c 2 ... an x c n ...

Теорема Абеля.

Якщо степеневий ряд:

1) збігається при х = х0, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність x x0 ;

2) розбігається при х = х1, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівність | x | > | x1 |.

315

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду
Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий
інтервал (– R; R), у всіх внутрішніх точках якого ряд збігаєть-
ся абсолютно, а для всіх точок |x| > R ряд є розбіжним. При
цьому число R > 0 називається радіусом збіжності степене-
вого ряду.
	Геометрична інтерпретація
	Збігається абсолютно
Розбігається	– R	0		R	Розбігається
Для узагальненого степеневого ряду інтервал збіжності (с –
R; c + R) має центр симетрії в точці х = с.
Зауваження. На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках
x = – R, x = R, ряд може як збігатися, так і розбігатися. Це пи-
тання потребує спеціального дослідження в кожному конкрет-
ному випадку.
Радіус збіжності визначається за формулою:
	R 1	lim	an .
	l	n	a	1
			n
Використовуючи радикальну ознаку Коші, можна дістати
формулу для радіуса збіжності степеневого ряду в такому
вигляді:
	R lim		1	.
	n n		an
Зауваження. Формулами можна користуватися лише в тих
випадках, коли зазначені границі існують. У загальному випадку
дослідження збіжності степеневого ряду виконується за такою
самоюметодикою, як ідлядовільного функціонального ряду.
		316

Приклад 1. Знайти область збіжності ряду:

x

n

.

n!

n 1

an

1

, an 1

1

;

n!

n 1 !

R lim

a

n

n 1 !

lim n 1 .

lim

an 1

n!

n

n

n

Звідси інтервал збіжності даного ряду ,, тобто ряд збіжний на всій числовій осі.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду:

x 2 212 x 2 2 312 x 2 3 ... .

Узявши х – 2 = у, дістанемо ряд

y 212 y2 312 y3 ... n12 yn ...

Знайдемо радіус збіжності цього ряду:

1

,

1

,

an

an 1

n2

n 1 2

a

n

n 1 2

1

2

R lim

lim

lim

1

1.

an 1

n2

n

n

n

n

Дослідимо поводження ряду на кінцях інтервалу (– 1, 1). Якщо у = 1, дістанемо ряд

1 1		1		... 1		... 1		,
	22		32		n2	n 1	n2

який є збіжним як ряд Діріхле з p 2 1 .

317

Якщо у = – 1, дістаємо ряд:

1 212 312 ... 1 n n12 ... .

Цей ряд збігається, оскільки збігається ряд 12 , складений з

абсолютних величин його членів. Отже, область збіжності ряду:

n 1 n

–1 у 1.

Замінивши змінну у змінною х, дістанемо шукану область збіжності ряду:

–1 х – 2 1, або 1 х 3.

Приклад 3. Знайти область збіжності ряду

1 n 1 2n 1 x2n 2 . n 1

У цьому прикладі слід застосувати безпосередньо ознаку Даламбера або радикальну ознаку Коші, оскільки формулою для радіуса збіжності скористатися не можна (даний ряд не містить усіх степенів х, тобто коефіцієнти a2n 1 0 при n = 1, 2, 3, …).

Запишемо ряд, утворений з абсолютних величин членів ряду:

2n 1		x		2n 2	2n 1x2n 2 .
n 1					n 1

Застосуємо спочатку ознаку Даламбера:

un x 2n 1 x2n 2 , un 1 x 2n x2n ,

lim

u

n 1

x

lim

2n x2n

x2 lim 2 2x2

1,

un x

n

n 2n 1 x2n 2

n

2x2 1 ,

x

1

.

2

Отже, даний ряд збігається на інтервалі 12 x 12 .

318

Дослідимо збіжність ряду на кінцях знайденого інтервалу.

а)	x	1		:
																			2 n 1
			2
				n 1		n 1			1	2n 2		n 1		n 1			1
			1		2							1	2
	n 1								2		n 1						2

1 n 1 1 1 1 1 ... .

n 1

Знайдений числовий ряд розбігається, бо його загальний член un 1 n 1 не прямує до нуля при n .

б) x 12 :

					n 1					n 1				1		2n 2					n 1					n 1	1	n 1		n 1
1									2										1						2					1		.
n 1														2					n 1								2		n 1
Ряд розбіжний.
Областю збіжності ряду є
																		1		x				1		.
																		2
																									2
За радикальною ознакою Коші дістанемо:
																								n 1			2n 2			1		2
lim n un				x lim n 2n 1 x2n 2 lim 2																						x		lim 21 n x			2
																									n		n					n
n										n										n									n
					1									2
lim 1									lim 2							2x		2 1.
2n					n			xn						n
Звідси		x						1				або					1		x		1		.
									2							2					2

Приклад 4. Визначити інтервал збіжності і знайти суму ряду

x	x2		x3		x4	... .
2		3		4

Розглянемо степеневий ряд

S x 1 x x2 x3 ... .

319

Останній ряд є геометричною прогресією зі знаменником q = x і

						a
	першим членом а= 1. Застосувавши формулу S							, дістанемо:
				1		1 q
	S x				.
		1		x

Задана сумаіснуєдлявсіх х, що задовольняють нерівність| x | < 1. Інтегруючи рівність

	S x 1 x x2 x3 ...			1
		1		x

у межах від 0 до х, дістаємо:

x

x

x

1

S x dx

1 x x2

x3

... dx

dx .

1 x

0

0

0

Тобто x

x2

x3

x4

... ln 1 x .

2

3

4

Цей ряд також збігається в інтервалі | x | < 1. Точка х = – 1 належить області збіжності останнього ряду.

Зображення функцій степеневими рядами. Ряди Тейлора і Маклорена

Формули, що подають функцію f (x) у вигляді степеневих рядів, мають вигляд:

f x f 0

f 0

x

f 0

x2

...

f n 0

xn ...

1!

c

2!

n!

f

f

c

2

f

n

c

n

f x f c

x c

x

c

...

x c

... .

1!

2!

n!

Кажуть, що ряд Маклорена дає розвинення функції в ряд поблизу точки х = 0, а ряд Тейлора — поблизу точки х = с.

Теорема (достатня умова розвинення функції в ряд Маклорена).

Якщо на проміжку [– R; R] похідні будь-якого порядку для функції f (x) обмежені одним і тим самим числом | f (n)(x) | < M, то на інтервалі (– R; R) функцію f (x) можна розкласти в ряд Маклорена (інакше кажучи, ряд Маклорена для f (x) у кожній точці із (– R; R) збігається абсолютно).

320

Приклад. Розвинути в ряд за степенями х функцію f(x) = 2x.

Знайдемо значення функції та її похідних при х = 0 :

f x 2x ;						f 0 20 1;
		x
f x 2 ln 2;						f 0 ln 2;
			x		2		2
				ln 2 ;
f	x 2					f 0 ln 2 ;
.........................						....................
f n x 2x ln 2 n ;						f n 0 lnn 2.

Оскільки 0 < ln 2 <1, для будь-якого фіксованого х маємо f n x 2x lnn 2 2x , тобто достатня умова розвинення функції

f x 2x в ряд Маклорена виконується і ряд Маклорена для неї

2x 1 x ln 2 x2 ln2!2 2 ... xn lnn!n 2 ...

буде абсолютно збіжним для x ; .

Зауваження. Залишок ряду Маклорена rn x можна замінити одним залишковим членом r n x , який у формі Лагранжа має такий вигляд:

xn 1

r n x n 1 ! f n 1 , R R .

Тоді ряд Маклорена набирає вигляду формули Маклорена:

n		k	0
f x	f			xk	r n x .
k 0 k!
Теорема. Для того щоб функцію					f x можна було розви-

нути в ряд Маклорена на інтервалі x R; R , необхідно і достатньо, щоб на цьому інтервалі

lim r n x 0 .

n

321

Ряд Маклорена для деяких елементарних функцій

ex 1

x

x

2

...

x

n

...

2!

n!

1!

x

x3

... 1 n 1

x2n 1

sin x

...

2n 1 !

1!

3!

cos x 1

x

2

x

4

1 n

x

2n

...

2n

!

2!

4!

1 x

m

1

m

x

m m

1

x

2

1!

2!

...

m m 1 ... m n

1

x

n

...

n!

ln 1 x

x

x2

x3

... 1 n 1

xn

...

1

2

3

n

arctg x x

x3

x5

... 1 n

x2n 1

...

3

5

2n 1

Область збіжності x ; ;

Область збіжності x 1; 1 ;

Область збіжності x 1;1 ;

Область збіжності x 1; 1 .

Використовуючи ці формули, можна в деяких випадках записати розвинення функції в ряд Маклорена без обчислення коефіцієнтів цього ряду (тобто без обчислення похідних функцій).

Приклад. Розкласти в степеневий ряд функцію еx2 .У розкладі

ex 1	x		x2		x3	... x
1!		2!		3!

замінюємо х на – х2; дістаємо:

e x2	1		x2		x4		x6		x8	... x .
		1!		2!		3!		4!

322

Задача 8.3. Розкласти функцію степенями (х – 2).

Маємо:

f x x3 5x2 4x 1; f x 3x2 10x 4;

f x 6x 10; f x 6;

f IV x 0;

f x x3 5x2 4x 1 в ряд за

f 2 21; f 2 28; f 2 22; f 2 6; f IV 2 0.

Похідні порядку, вищого за третій, дорівнюють нулю. Ряд Тейлора для даної функції має вигляд

f x 21 281! x 2 222! x 2 2 36! x 2 3 .

323

ДОДАТКИ

Додаток 1

ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ З ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

1. Вектори і дії з ними

1.1. Скаляри і вектори

Скалярні величини характеризуються числом, наприклад об’єм тіла, маса, температура. Скаляром називається будь-яке дійсне число. Векторні величини характеризуються числовою мірою і напрямом у просторі, наприклад швидкість, прискорення, сила. Вектором називається напрямлений відрізок. Зображається вектор стрілкою (рис. 1.1). Познача-

ється: AB (А — початок, В — кінець вектора) або a .

Часто замість стрілки в позначенні вектора записують горизонталь-

ну риску, як, наприклад, на рис. 1.2 і 1.3.

Саме таке позначення використовується далі.

a

А

B

a

В

AB

a

b

a

a

a a

a

b

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Довжина вектора a або AB називається його модулем і позначаєть-

ся a a, AB AB.

1.2. Рівність векторів

Вектори a і b називаються рівними, якщо вони однаково напрямлені:

a b , а їхні модулі рівні між собою. Записують: a b (див. рис. 1.2), тобто в результаті паралельного перенесення вони суміщаються.

За означенням рівності векторів за початок вектора береться будьяка точка простору. Такі вектори називаються вільними. Векторна алгебра вивчає дії з вільними векторами.

324