4. Подвійні інтеграли

4.1.Поняття подвійного інтеграла

В теорії ймовірностей зустрічається таке поняття, як щільність розподілу ймовірностей. В окремих випадках ймовірність обчислюють за допомогою подвійних інтегралів. Фізичним аналогом щільності розподілу ймовірностей може бути густина розподілу маси. Користуючись останнім, як більш відомим, розглянемо задачу, яка приводить до поняття подвійного інтеграла.

Припустимо, що на площині XOY розміщена неоднорідна платівка, товщиною якої нехтуємо. Геометрично - це деяка обмежена замкнена область D, в кожній точці якої відоме значення густини розподілу маси f(x,y). Модель такої неоднорідної платівки можна уявити собі так. Кусок поролону довільної форми злегка просочили клеєм і спресували. Після висихання клею отримуємо платівку (область D), неоднорідну, бо на кожну одиницю площі спресувалась різна величина маси. Виділимо в цій області D прямокутний окіл (елемент), який містить точку M(x,y). Нехай площа цього елементарного прямокутника буде , а маса(див. рис.1),

тоді - середня густина розподілу маси. Позначимо через- діагональ прямокутника. Припустимо, щотак, що прямокутник при цьому стягується у точкуM(x,y), а , тоді границя відношеннязалежить від координат точкиM(x,y), тобто

.Функція f(x,y) є густиною розподілу маси в даній області D.

Тепер сформулюємо задачу.

Задача. Знайти масу області D, в кожній точці якої відома функція f(x,y) – густина розподілу маси.

Для розв’язання задачі проведемо сім’ю прямих перпендикулярних осі OX, відстань між якими , і сім’ю прямих перпендикулярних осіOY, відстань між якими . При цьому областьD покриється множиною однакових прямокутників (див. рис.2).

Рис.2.

Виділимо один із них, що містить точку. Припускаємо, щоi=1,2,…,n. – це номери кожного з n прямокутників, що покривають область D. Правда, деякі з прямокутників покривають область тільки частково.

Знайдемо густину в точці , її значення. Площаі–того прямокутника . Тоді масаі–того прямокутника, якому належить точка наближено дорівнює

.

Ми вважаємо, що і–тий прямокутник має настільки малі розміри і, що функціяf(x,y) в межах цього прямокутника змінюється мало і наближено прямокутник вважається однорідним. Нехай - діагональ прямокутника. Нехай, далі,так, що елементарний прямокутник стягується в точку, а кількість прямокутників прямує до.

Тоді маса області D

–інтегральна сума.

Перейдемо до границі цієї інтегральної суми при . Якщо існує границя інтегральної суми

,

то вона називається подвійним інтегралом. Фізично ця границя співпадає з величиною маси області D.

В більш загальному випадку, якщо подвійний інтеграл існує, то це означає, що існує границя інтегральної суми, яка не залежить ні від способу розбиття області D на елементи, ні від вибору точок .

4. 2. Основні властивості подвійних інтегралів

1. Подвійнійний інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі подвійних інтегралів від кожної з цих функцій:

.

2. Сталий множник виноситься за знак подвійного інтеграла:

3. Якщо областьможна розбити на дві частиниітак, що вони не мають спільних внутрішніх точок, то

Властивість 3зрозуміла з рисунка 3.

Рис 3.