Конспект_лекц_Кишкурно
.pdf
x 3 |
y 7 |
x y 10 |
z 
x2 y2 z 58
Для ввода значения переменной, изменяющейся в диапазоне
(например, x = 0,5(0,1)10), необходимо определить диапазон ее изменения в виде:
x:=x1,x2..xn,
где x – имя переменной, которая изменяется; x1 – начальное значение переменной x; x2 – следующее значение переменной x; xn – конечное значение переменной x; «..» – символ диапазона, который вводится с клавиатуры набором символа «;» либо из палитры символов: m..n. Шаг изменения переменной x будет определен как x=x2-x1. Если шаг изменения переменной x должен быть равным 1, то можно написать:
x:=x1..xn
Пример:
f (x) |
x2 |
|
|
|
t 1 |
1.5 3 |
z 1 5 |
||
f (t) |
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2.25 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
6.25 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
25 |
|
Для ввода текста используют клавишу с двойной кавычкой («“»)
либо команду: меню Insert / Text Region (Вставка / Текстовая Об-
ласть).
MathCAD заменяет крестик на красную вертикальную линию, на-
зываемую маркером ввода. Маркер ввода окружен рамкой, которая называется Текстовая область. По мере ввода текста она расширяется. Для выхода из нее необходимо щелкнуть кнопкой мыши вне этой области.
Массивами (Arrays) называют упорядоченные последовательности чисел. Массив можно представить как таблицу, имеющую N строк и M столбцов. В дальнейшем, следуя математической терминологии,
51
массив размером N×M (N строк, M столбцов) будем называть матрицей, а массив размером N×1 (N строк, 1 столбец) – вектором.
Для создания матрицы необходимо:
•установить курсор в нужное место документа;
•ввести имя матрицы и символ «присвоить»;
•выполнить команду меню Insert / Matrix (Вставка / Матрица) или нажать комбинацию клавиш «Ctrl» + «M»; либо выбрать символ
на панели матрицы.
В появившемся диалоговом окне ввести необходимое число строк (Rows), столбцов (Columns) и нажать кнопку ОK. В результате в нужном месте документа появится шаблон матрицы с пустыми полями для ввода значений элементов, которые необходимо заполнить. Если необходимо создать вектор, то в окне диалога нужно указать число столб-
цов, равное единице (Создать матрицу с одним столбцом).
Например:
|
|
|
|
–- до заполнения полей; |
|
|
|
|
|
A |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
– |
||
A |
|
|
||
|
|
- после заполнения полей; |
||
5 |
7 |
|
||
3 |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
8 |
–- |
создан вектор. |
||
|
||||
|
|
|
Обращение к элементам матриц и векторов производится по их индексам, которые начинаются с нуля, если не указано иное.
Начальное значение индексных выражений можно изменить с помощью системной переменной ORIGIN (и по умолчанию ее значение равно 0).
Для обращения к столбцу матрицы необходимо нажать комби-
нацию клавиш «Ctrl» + «6» либо выбрать символ
на панели матрицы.
52
ORIGIN |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
y2 4 |
B2 2 2 |
y |
B |
2 |
|
|
4 |
0 |
ORIGIN |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
v |
0 |
4 |
6 |
v 2 |
4 |
v |
1 |
v |
7 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
3 3 |
|
|
1 |
9 |
7 |
|
9 |
|
|
|
|
Размер существующей матрицы можно изменить путем вставки или удаления строк и столбцов. Для этого необходимо: установить курсор на элемент матрицы, правее и ниже которого будет осуществлена вставка (или удаление) столбцов и (или) строк; выполнить команду меню Insert / Matrix (Вставка / Матрица); в появившемся окне диалога ввести необходимое число строк (Rows), столбцов (Columns) и нажать кнопку «Insert» (Вставить) либо кнопку «Delete» (Удалить). В вышеописанных операциях вставки и удаления элементов матрицы допускается задание числа столбцов или строк, равных нулю.
Для проведения вычислений с матрицами и векторами в пакете
MathCAD предусмотрен ряд встроенных функций, представленных в таблице.
|
Встроенные функции для работы с матрицами |
|
|
|
|
Имя |
Возвращается ... |
|
функции |
||
|
||
|
|
|
rows(A) |
число строк в массиве A. Если A – скаляр, возвращается 0 |
|
|
|
|
cols(A) |
число столбцов в массиве A. Если A – скаляр, возвращается 0 |
|
lenght(v) |
число элементов в векторе v |
|
|
|
|
last(v) |
индекс последнего элемента в векторе v |
|
max(A) |
максимальный элемент в массиве A |
|
|
|
|
min(A) |
минимальный элемент в массиве A |
|
|
|
|
identity(n) |
(n n) – единичная матрица |
|
|
|
|
diag(v) |
диагональная матрица, содержащая на диагонали элементы век- |
|
|
тора v |
|
|
|
|
tr(A) |
сумма диагональных элементов матрицы A (след A). Матрица A |
|
|
должна быть квадратной |
|
|
|
|
|
53 |
Пример: Произведение матриц:
|
1 |
2 |
4 |
|
3 |
2 |
1 |
|
51 |
40 |
47 |
A |
6 |
7 |
9 |
B |
6 |
5 |
9 |
C A B C |
141 |
110 |
132 |
|
4 |
7 |
8 |
|
9 |
7 |
7 |
|
126 |
99 |
123 |
Произведение матрицы на вектор:
1 |
|
49 |
V 6 |
P A V |
P 129 |
9 |
|
118 |
Транспонирование матрицы и вектора:
|
1 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
||
AT |
2 |
7 7 |
VT |
( 1 6 9 ) |
|
|
|
|||
|
4 |
9 |
8 |
|
|
|
|
|
||
Вычисление определителя матрицы: |
|
|
|
|||||||
D |
|
A |
|
|
D 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисление обратной матрицы: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0.28 |
0.48 |
0.4 |
1 |
0 |
0 |
S |
A 1 S |
|
0.48 |
0.32 |
0.6 I A A 1 I |
0 |
1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
0.56 |
0.04 |
0.2 |
0 |
0 |
1 |
Скалярное произведение векторов:
|
2 |
|
|
|
W |
5 |
P |
W V |
P 95 |
|
7 |
|
|
|
Сумма элементов вектора: |
|
|||
s |
V |
s |
16 |
|
54
Выделение из матрицы и второго столбца и второй строки:
|
2 |
Z AT 1 |
|
|
Y A 1 Y |
7 |
ZT |
( 6 7 9 ) |
|
|
7 |
|
|
|
Число строк и столбцов матрицы: |
|
|
||
n rows(A) |
n 3 |
m |
cols(A) m 3 |
|
Максимальный и минимальный элемент матрицы:
Bmax max(B) |
Bmax 9 |
Bmin min(B) Bmin 1 |
||
Число элементов вектора: |
|
|||
k |
length(V) |
k |
3 |
|
Номер последнего элемента вектора: |
||||
m |
last(V) |
m |
2 |
|
Создание единичной матрицы: |
||||
|
|
|
1 |
0 |
I |
identity(2) |
|
I |
|
|
|
|
0 |
1 |
Создание диагональной матрицы из элементов вектора:
1 0 0
T diag(V) |
T |
0 6 0 |
0 0 9
Вычисление следа (суммы диагональных элементов) квадратной матрицы:
Sp tr(A) |
Sp 16 |
6.4. Встроенные функции
Помимо функций для работы с матрицами в MathCAD существуют и другие категории функций. Это основной набор функций, который поставляется вместе с MathCAD. Сюда относятся функции sin(x), cos(x), ln(x) и т. д. Их список можно просмотреть в окне Insert
55
Function после выбора команды меню Insert / Function (Вставить /
Функция) либо нажав на кнопку f(x) на панели инструментов. Рассмотрим одну из встроенных функций – логическую: if(s,x,y),
где s – логическое выражение, которое может принимать значение «истина» – 1 или «ложь» – 0.
Функция if(s,x,y) возвращает значение выражения x, которое вычисляется, если значение s принимает значение «истина» (s=1) или значение выражения y, которое вычисляется, если значение s принимает значение «ложь» (s=0).
Отметим также, что в пакете MathCAD для обозначения логической операции «И» служит символ «*» – умножение, а для обозначения логической операции «ИЛИ» служит символ «+» – сложение.
Пример:
a |
5 |
|
b |
7 |
|
c |
10 |
|
|
|
x |
if (a |
b a |
b a |
b) |
|
x |
2 |
|
||
y |
if |
(a |
b) (a |
5) |
a2 |
b2 a |
b |
y |
12 |
|
z |
if |
(a |
b) |
(a |
5) a2 |
b2 a |
b |
z |
74 |
|
Замечание 1. Имена встроенных функций чувствительны к регистру. Поэтому при наборе с клавиатуры они должны быть напечатаны
именно так, как они отображены в окне Insert Function (Вставить функцию).
Замечание 2. Имена переменных в МаthCAD чувствительны к шрифту. Это означает, что одна и та же переменная, набранная в разных местах документа разным шрифтом, воспринимается как новая переменная.
6.5. Создание графика
Для построения графика функции F(x) необходимо:
• рассчитать значения функции F(x) на необходимом интервале;
• установить курсор на нужное место в документе и ввести символ «@» или выбрать одномерный график из палитры
Рис. 6.2. Шаблон графика «Графики».
56
На экране появляется шаблон графика (рис. 6.2), который необходимо заполнить, перемещаясь по его полям ввода. Поля шаблона, соответствующие пределам изменения аргумента и функции, можно не заполнять. Они будут устанавливаться автоматически.
После заполнения полей шаблона необходимо щелкнуть ЛКМ вне области графика при работе в автоматическом режиме или нажать клавишу «F9» при работе в ручном режиме. График будет отображен на экране.
Для построения графика функции F(x) в декартовой системе координат необходимо определить функцию, график которой предполагается построить. Пример:
F(x) sin x2 |
3 cos x2 |
Необходимо задать область изменения аргумента:
x 
5 
4.9 
5
Далее выбрать на палитре Графики / Декартов график 
и заполнить шаблон. В результате получится график, представленный на рис. 6.3.
Построенный график можно отформатировать.
Для форматирования графика необходимо выполнить двойной щелчок ЛКМ по графику или выделить график щелчком ЛКМ и выполнить ко-
манду Format / Graph / X-Y Plot (Фор-
мат / Графика / X-Y График). После этого появится окно, содержащее 4 вкладки, позволяющие выполнять форматирование отдельных элементов графика:
•X-Y Axses (Y-X оси) – позволяет форматировать оси графика (можно установить линии сетки);
•Traces (След) – позволяет форматировать отдельные кривые на графике. Позволяет для каждой кривой графика установить имя
(Legend label), маркер (Symbol), вид линии (Line), цвет (Color), тип кривой (Type), толщину (Weight);
•Labels (Метки) – позволяет установить заголовок (Title) графика, названия осей (Axis Labels);
57
• Default (По умолчанию) – позволяет изменить все установки на |
|||||||
их значение по умолчанию или использовать текущие установки как |
|||||||
установки по умолчанию. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Например, |
необходимо |
от- |
|
|
My function |
|
|
форматировать |
представленный |
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
выше график следующим обра- |
||
|
|
4 |
|
|
зом. Нужно установить линии |
||
|
|
|
|
|
сетки и изменить след графика. |
||
|
|
3 |
|
|
Для этого следует перейти в ре- |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
жим форматирования графика и, |
||
|
|
2 |
|
|
выбрав вкладку X-Y Axses (Y-X |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 0 |
|
|
оси), убрать флажок Auto |
grid |
|
6 |
3 |
3 |
6 |
(Авто сетка), установить фла- |
|||
|
|
|
|
|
|||
Рис. 6.4. Отформатированный |
жок Grid lines (Линии сетки) и |
||||||
|
|
график |
|
|
выбрать нужный цвет для линий |
||
|
|
|
|
|
сетки; в полях ввода Number of |
||
grid (Размер сетки) ввести количество линий сетки. Аналогичным |
|||||||
образом изменить след графика, установив соответствующий |
|||||||
маркер (Symbol) на вкладке Traces (След); в результате получает- |
|||||||
ся график, представленный на рис. 6.4. |
|
|
|||||
Если необходимо построить несколько кривых на одном графике, |
|||||||
то все значения соответствующих функций необходимо предвари- |
|||||||
тельно рассчитать, а при заполнении полей шаблона графика их имена |
|||||||
печатать через запятую. |
|
|
|
|
|||
Например, необходимо построить на одном поле графики двух |
|||||||
функций: |
|
|
|
|
|
|
|
Y(x) |
sin(x) |
|
|
|
|
|
|
Z(x) |
|
x3 |
|
|
|
|
|
Область изменения аргумента:
x |
2 |
2 |
0.01 2 |
Сразу после построения получается график, представленный на рис. 6.5. Для форматирования полученного графика, как и в предыдущем случае, установим линии сетки, а также в поле Axis Style
(Стиль оси) установим флажок Eqal Scales (Равные масштабы). По-
лучится график, представленный на рис. 6.6.
58
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Y(x) |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
10 |
|
5 |
|
0 |
5 |
10 |
|||
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
10 |
5 |
|
0 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис. 6.5. График двух |
|
|
|
Рис. 6. 6. Отформатированный |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
график двух функций |
|
||||||||
|
|
Для построения графика функции в полярной системе коорди- |
||||||||||||||||||||||||
нат необходимо задать функцию и область изменения аргумента: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( ) |
|
1 |
|
|
|
cos(m |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Затем открыть область построения графика, воспользовавшись |
||||||||||||||||||||||||
кнопкой |
Polar Plot (Полярный график) |
|
на панели Graf (Графики) |
|||||||||||||||||||||||
и заполнить поля шаблона. В результате получится график, представленный на рис. 6.7.
Для построения трехмерного |
120 |
90 |
60 |
|||
графика необходимо после опреде- |
3 |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
ления функции нажать комбинацию |
150 |
2 |
30 |
|||
|
||||||
|
|
|
||||
клавиш «Ctrl» + «2», или выполнить |
|
1 |
|
|||
( ) 180 |
|
0 |
||||
команду меню Insert / Graph / |
|
|||||
|
|
|
||||
Surface Plot (Вставка / |
Графика / |
210 |
|
330 |
||
График поверхности), |
или щелк- |
|
||||
|
|
|
||||
нуть по кнопке |
на панели Graf |
240 |
270 |
300 |
||
|
|
|||||
(Графики). В поле ввода шаблона |
|
|
|
|||
написать имя функции. |
|
Рис. 6.7. Полярный график |
||||
Пределы изменения |
аргумента |
|||||
|
|
|
||||
по каждому аргументу будут автоматически установлены на отрезке [ 5; 5]. Для изменения пределов изменения аргументов необходимо
выполнить двойной щелчок ЛКМ по графику. В появившемся окне диалога 3D – Plot Format выбрать вкладку QuickPlot Data, на панели
59
Range1 заполнить поля ввода start и end для первого аргумента и второго аргумента.
На рис. 6.8 приведен пример построения графика функции
f (x y ) x2 |
y 2. |
|
|
|
|
|
|
|
ff |
f |
|
f |
Рис. 6.8. График поверхности |
Рис. 6.9. Отформатированный |
|
график поверхности |
Для того, чтобы отформатировать график поверхности: на вкладке General (Общие) нужно установить флажок Surface Plot (Поверх-
ность), Axes Style – Corner (Стиль осей – из угла); в списке Frames (Рамка вокруг рисунка) установить флажок Show Border (Показать границу рисунка). На вкладке Axes (Оси) установить флажки Auto Grid (Авторазметка), Show Numbers (Показывать нумерацию осей). На вкладке Appearance (Внешний вид) в разделе Fill Options
(Настройка способа закраски поверхности) установить переключа-
тели Fill Surface (Закрашенная поверхность) и Smooth Shading
(Сглаживание переходов цветов), в разделе Color Options (Настройка цвета) установить Colormap (Закрасить, используя готовую карту цветов). На вкладке Lighting (Подсветка) установить флажок Enable Lighting (Включить подсветку) и в списке Lighting Scheme (Схема подсветки) выбрать схему подсветки Scheme 3 (Схе-
ма 3). На вкладке Advanced (Расширенные возможности) в разделе
Colormap (Карта цветов) из списка Choose Colormap (Выбрать карту цветов) выбрать GreyScale (Переходы серого), установить флажок Increasing Z (Переход цвета по возрастанию координаты
Z) и флажок Enable Fog (Эффект тумана). В результате получится график, представленный на рис. 6.9.
60