1.2. Закон Био − Савара − Лапласа.

Согласно закону Био − Савара − Лапласа элемент проводника dl с током I создает в некоторой точке А индукцию поля, равную:

	G		I	G	G
	dB = μμ	0		dl	×r		,	(1.2.1)
			4πr3
где rG − радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точ-
ку А. Направление dBG	перпендикулярно dl						и r	и совпадает с каса-
тельной к линии магнитной индукции (рис.1.2.1).
	dl
				r
	I						dB

Рис. 1.2.1

	Модуль вектора dBG определяется выражением
			dB = μμ			I		dl sin α,			(1.2.2)
					0 4πr2
	где α − угол между векторами dl				и r.
	Для напряженности магнитного поля закона Био − Савара − Лап-
	ласа будет иметь вид:			G
	G		I			G			I
	dH	=		dl ×r			и dH =			dl sin α.	(1.2.3)
			4πr3						4πr2

Закон Био − Савара − Лапласа совместно с принципом суперпозиции магнитных полей позволяет найти индукцию магнитного поля, создаваемого проводником любой конфигурации. В этом случае прин-

цип суперпозиции магнитных полей будет иметь вид
BG = ∫dBG или H = ∫dHG.	(1.2.4)

1.3. Расчет магнитных полей прямого проводника с током бесконечной и конечной длины.

Пусть прямолинейный проводник MN конечной длины с током I лежит в плоскости чертежа (рис. 1.3.1). Согласно закону Био – Сава-

7

ра – Лапласа (1.2.2), вектор магнитной индукции dB перпендикулярен плоскости чертежа и направлен «к нам». Численное значение индукции магнитного поля dB, создаваемого в точке А элементом dl проводника с током I равно:

	dB = μμ0Idl sin α ,		(1.3.1)
		4πr2
где ϕ – угол между векторами dl		и r.
M
G	αD1	dα
dl C	α	r
I	r0		B
N	α2
	Рис. 1.3.1

Вектора dB от каждого элемента dl имеют одинаковое направ-

ление, так как проводник прямолинейный,				и поэтому суммарная маг-
нитная индукция равна
B = ∫dB =	μμ0I	∫dl sin2			α.	(1.3.2)
	4π	l	r

Преобразуем выражение (1.3.2) таким образом, чтобы магнитная индукциясталафункциейоднойпеременнойα. Изрис. 1.3.1 следует, что

r = sinr0ϕ, а dl = sinCDϕ = sinrdαϕ.

Тогда

	r0dα
dl =		.
	sin2 α
Подставив полученные значения r и dl в соотношение (1.3.2),
получим:
B = μ4μπ0rI	α
	∫2 sin αdα,		(1.3.3)
0	α
	1

8

где α1 и α2 – значения угла α для крайних точек проводника MN. Проинтегрировав равенство (1.3.3), получим формулу для расчета

магнитной индукции прямого проводника с током конечной длины

B =	μμ0 I (cos α1 −cos α2 ).	(1.3.4)
	4πr0

Если проводник MN бесконечно длинный, то α1 = 0, а α2 = π. Тогда из (1.3.4) магнитная индукция прямого проводника с током бесконечной длины в любой точке поля вне проводника равна:

B =	μμ0I	.	(1.3.5)
	4πr
	0

Напряженность магнитного поля вычисляется по формуле H = μμB0

и для прямолинейного проводника с током конечной длины равна:

H =	I	(cosα −cosα				2	),	(1.3.6)
	4πr0		1
а для бесконечно длинного проводника:
	H =		I		.			(1.3.7)
			4πr
			0

9