История отрасли пособие

ставили точку, а позднее стали рисовать кружок. Такой кружок назывался "сунья", что на языке хинди означало "пустое место".

Индия считается родиной метода умножения"решеткой", суть которого сводилась к замене операции умножения многозначных чисел к операции умножения однозначных. Согласно этому методу, необходимо начертить таблицу, в которой число столбцов равняется первому множителю, а число строк – второму. Каждая клетка таблицы должна быть разделена диагональю, отделяющей единицы от десятка числа. На рис.92 приведен пример умножения числа 435 на 628.

261000	2 0 3 2	4 0
+ 8700	4 8 2 4
3480	+ 1 0 6 0
________	8 1
273180	3 0
	________
	2 7 3 1	8 0

Рис.92. Умножение решеткой

В клетках записываются произведения отдельно каждых цифр множителя и множимого. Затем по наклонным линиям находятся суммы найденных произведений справа налево.

Арабские математики перевели слово "сунья" по смыслу на свой язык - "сифр". Современное слово "нуль" родилось сравнительно недавно - позднее, чем "цифра". Оно происходит от латинского слова"nihil" - "никакая".

IX в. Математик аль-Хорезми (около 820 г.), автор фундаментальной книги “Аль-джебр аль-мукабала”, от названия которой возникло слово“алгебра” (арабское "алджебр"), ввел понятие алгоритма и десятичную систему счисления. Имя аль-Хорезми послужило основой термина "алгоритм", который означает решение задач на основе установленных правил.

В Европе взамен римских цифр распространяются арабские, в которых есть понятие нуля и позиционность.

Примерно в X-XI вв. на другом континенте цивилизацией ацтеков была придумана своя разновидность абака. Они его назвали"nepohualtzitzin". Сквозь деревянный каркас были протянуты нити, на которые нанизывались зерна кукурузы. Каркас был разделен на два поля, в одном из которых на каждой нити размещалось по три зерна, а в другом — по четыре. Для работы с таким инструментом использовалась особая система счета.

X век. Французский монах Герберт (папа Сильвестр II) написал книги по математике и среди них "Правила счета на абаке", где описывал абак в ви-

де гладкой доски, посыпанной голубым песком и имеющей30 столбцов, из которых 3 отводились дробям. Герберт первым ввел в употребление в Европе арабские цифры.

Появилась китайская разновидность абака- суань-пан, в основе которого лежала пятеричная система счисления. Вначале инструмент представлял прямоугольную доску с десятью горизонтальными полосами и одноцветными фишками, а впоследствии с пятью полосами и фишками двух цветов. В XII-XIII вв. он приобрел свою классическую форму, дошедшую до наших дней. Суань-пан представляет собой прямоугольную раму с натянутыми параллельно друг другу девятью или более нитями. Суань-пан разделен на два поля, из которых нижнее(большее) поле называется "Земля", а верхнее (меньшее) – "Небо". В большем поле на каждой нити нанизывалось по пять шариков, а в меньшем - по два. При подсчете шарики уже не снимаются с поля, а передвигаются в сторону соседнего поля. Каждый шарик большего поля соответствует единице, а каждый шарик меньшего поляпяти. Счет на нем шел снизу вверх, слагаемые располагались на нижней части доски, а суммирование проводилось от старших разрядов к младшим. Нуль никак не обозначался, вместо него просто оставляли пустое место (знак нуля появился в Китае лишь вVIII в. нашей эры). Для различия знака числа в суань-пане применялись различные палочки. Положительные числа обозначались палочками красного цвета или с квадратным сечением, а отрицательные были черного цвета или треугольного сечения.

С помощью суань-пана можно было не только выполнять простейшие арифметические действия, но оперировать с дробями, извлекать квадратные и кубические корни.

Рис.93. Суань-пан (современный вид)

В России получил распространение так называемый"дощатый счет", особенностью которого являлось использование десятичной системы счисления. Он представлял собой два неглубоких соединенных между собой ящика, каждый из которых был разделен перегородкой на два отделения. Поперек всех четырех отделений натягивались веревочки или проволочки. На верхних десяти веревках помещалось по девять сливовых или вишневых косточек (четок). В каждом из этих рядов средняя косточка окрашена в отличный от

остальных цвет. На одиннадцатой помещалось всего четыре косточки. Существовали и другие варианты"дощатого счета". Инструмент давал возможность производить четыре арифметических действия, как с целыми числами, так и частично с дробями (1/2 и 1/3, а также полученные из них при помощи последовательного деления на 2). Для вычислений с дробями предназначались неполные ряды "дощатого счета" с разным количеством костей. В дальнейшем счетная доска представляла собой рамку с укрепленными горизонтальными веревками. Эта рамка разбивалась сначала на четыре, а затем на два счетных поля.

XII в. В Западной Европе развивается счет на линияхразновидности абака. Для счета на линиях использовались горизонтальная разлинованная таблица и жетоны. В отдельных странах изготавливались специальные столы, на которых разлиновывалась таблица. Разрядность числа определялась количеством горизонтальных линий, каждая из которых соответствовала одному повышающему разряду. На линиях выкладывались специальные счетные жетоны. Пять жетонов на линии соответствовали одному, лежащему между линиями, а два - одному на следующей линии. Таким образом, в перво-

начальное время введения счета на линиях использовалась - двоично пятиричная система счета. Счет на линиях в отдельных странах Европы, впоследствии перенесенный на бумагу, сохранялся до конца XVI в.

XIII в. Иордан Неморарий в своих математических книгах впервые систематически использовал буквы вместо конкретных чисел, с целью общности выражения ввел имена переменных величин.

Появление первых описаний механических часовВестминстерских (1288), Флорентийских (1300) и т.д. Идея создания маятниковых часов принадлежит Галилео Галилею, установившему, что ни вес, ни форма, а лишь длина цепей, на которых подвешен груз, определяет периоды его колебаний.

1489 г. Чешский ученый Ян Видман в учебнике арифметики "Быстрый и красивый счет" впервые использовал арифметические символы сложения и вычитания: + (плюс) и - (минус).

XV в. Широкое распространение узелкового письма в эпоху расцвета государства инков. Инки такой способ записи чисел называли кипу(quipu), что на языке кечуа означало узел. В кипу использовались нити разных цветов

взависимости оттого, что именно подсчитывалось. Например, красная нить могла обозначать количество воинов, а желтая - золота. Каждая такая нить прикреплялась в особом порядке к одной нитиоснове, образуя как бы бахрому. Узлы в кипу располагались также согласно определенному порядку. В нижней части нити располагались единицы, выше десятки, сотни и тысячи, а

всамом верху десятки тысяч и очень редко сотни тысяч. Таким образом, на всех нитях каждый разряд располагался на одном и том же уровне. Помимо

этого узлы также имели различную форму. Единица представлялась узлом в виде восьмерки, а для записи чисел от двух до девяти использовался длинный узел, в котором количество витков как раз и обозначало цифру. Более высокие разряды: десятки, сотни, тысячи и т.д. записывались с помощью обычного узла. Со временем техника такого письма совершенствовалась и усложнялась, так что с его помощью можно было записывать и зашифровывать не только числа, но и целые сообщения.

Суань-пан из Китая завезен в Японию, где получил название соробан, который окончательно сформировался только в30-е гг. XX столетия. Соробан отличается от своего предшественника меньшим количеством шариков в каждом поле. Так, в меньшем поле всего один шарик вместо двух, а в нижнем — четыре вместо пяти.

Рис.94. Образцы узелкового письма

1522 г. Немецкий математик и летописец Иоганн Вернер изложил метод, позволяющий путем использования тригонометрических функций заменять операцию умножения сложением.

1544 г. Немецкий математик Михаэль Штифель в книге"Полная арифметика" провел идею сравнения арифметической и геометрической прогрессий, что в дальнейшем привело к открытию системы логарифмов.

1585 г. Нидерландский ученый Стевин Симон в сочинении "Десятина" изложил методы вычислений с десятичными дробями.

1591 г. Французский математик Франсуа Виет ввел буквенные символы для численных коэффициентов в арифметике, алгебре и тригонометрии.

Рубеж XVI-XVII в.в. Английский философ Томас Гоббс призвал к представлению человеческого мышления в форме вычислительного процес-

са. Он писал: "Мыслить - значит не что иное, как представлять себе общую сумму сложения или остаток от вычитания одной суммы из другой... Где уместны сложение и вычитание - уместен и здравый смысл".

Появились символы арифметических операций: =, +, -, ´, ¸ и .

1614 г. Шотландский математик Джон Непер опубликовал"Описание таблиц логарифмов” - первое руководство по вычислениям с помощью логарифмов. На основе логарифмов стали составляться специальные таблицы перевода чисел в их значения логарифмов и обратно. Для выполнения операции умножения с помощью таких таблиц достаточно стало найти значения логарифмов обоих сомножителей, сложить их, а затем вновь найти значение антилогарифма суммы, которая и является искомым произведением. Существенным недостатком применения логарифмов стала необходимость постоянно иметь как можно более полные таблицы логарифмов чисел.

1617 г. Д.Непер в трактате "Счет с помощью палочек" предложил инструмент для умножения, получивший название "счетные палочки Непера". Они выполнялись в виде прямоугольных брусков, разделенных на десять квадратов. Каждый квадрат, в свою очередь, кроме самого верхнего, делился по диагонали на две части, в каждой из которых записывались числа таблицы умножения 1,2,3 и т.д. на числа от 1 до 9. Самый верхний квадрат содержал всего одну цифру, означающую номер палочки. Для выполнения операции умножения необходимо было выбрать палочки с номерами, соответствующими первому множителю, расположить их рядом, приложить линейку к строке, номер которой равен второму множителю. Затем по правилу умножения решеткой сложить цифры по наклонным полоскам. На рис.95 показан пример умножения числа 258 на 7 с помощью палочек Непера. Д. Непер также разработал набор палочек, предназначенных для извлечения квадратного корня. Этот набор, названный им "ламина", содержал одну палочку, на которой изображались числа от 1 до 9, вторую - с произведением этих чисел на два и третью- с квадратами этих чисел.

Рис.95. Палочки Непера. Ламина

Д.Непер предложил еще одно изобретение – счетную доску для выполнения операций умножения, деления, возведения числа в квадрат и извлечения из него квадратного корня в двоичной системе счисления. Для работы на доске он использовал буквенную запись чисел в двоичной системе, где каж-

дую степень числа 2 он обозначил отдельной буквой: а = 20 =1, b = 21 =2, C = 22 = 4, D = 23 = 8 и т.д.

В XIX в. целый ряд изобретателей(А.Женай, Л.Болле, О.Штайгер и др.) предложили способы и конструкции устройств умножения многозначных чисел с использованием палочек Непера.

1620 г. Профессор Оксфордского университета Э.Гюнтер создал первую логарифмическую шкалу. Предложенная им шкала представляла собой пластинку длиной 500 мм и шириной 37 мм, на которой размещалось 6 шкал: натуральных чисел, значений их логарифмов, синусов, тангенсов, версинусов (sinverx = 1 - cosx). Непосредственные вычисления производились с помощью двух измерительных циркулей, которыми измерялись длины отрезков, соответствующих значениям вычисляемых логарифмов. Производимые вычисления с помощью шкалы Гюнтера отличались невысокой точностью.

Позже логарифмической линейке была придана еще одна шкала- с двумя указателями. Один, неподвижный, был укреплен в ее начале. Другой, перемещающийся, мог скользить вдоль линейки.

Швейцарский математик Иост Бюрги, работавший в Праге, независимо от Непера опубликовал свою таблицу логарифмов.

1628 г. Математик Вингет выпустил книгу "Конструкция и применение линий пропорций", в которой впервые рассмотрел двойную шкалу чисел и шкалу мантисс. Благодаря этой публикации шкала Гюнтера стала известна во Франции и других европейских странах.

1630 г. Более удачной по решению была шкала, предложенная английским математиком У.Отредом. Его инструмент состоял из двух пластин, на которые наносились одинаковые шкалы чисел и их логарифмов. Процесс вычислений осуществлялся за счет перемещения одной шкалы относительно другой, что позволило исключить применение циркулей. Им также был предложен вариант круговой линейки, имеющей десять шкал, что позволяло умножать, делить и находить значения тригонометрических функций.

Лондонский учитель математики Ричард Деламейн в труде"Граммеология, или Математическое кольцо" предложил свой вариант круговой линейки, во многом схожей с линейкой У.Отреда.

1633 г. У.Отред опубликовал описание прямоугольной логарифмической линейки с двумя одинаковыми шкалами, скользящими одна вдоль другой. Это усовершенствование привело к некоторому увеличению точности применения шкалы.

1654 г. Дальнейшим развитием идеи У.Отреда стала логарифмическая линейка Р.Биссакера, состоявшая из трех планок длиной600 мм, скрепленных по краям обручами. Средняя планка, на которой повторялись шкалы неподвижных планок, могла перемещаться относительно крайних.

1658 г. В "Переписной книге деловой казны Патриарха Никона" вместо "дощатый счет" употребляется слово "счоты". В счетах осталось лишь одно счетное поле, на основных спицах размещалось по 10 косточек, а на вспомогательных – по 4 косточки (спица с четырьмя - дань полушке, денежной единице в 1/4 копейки). В дальнейшем счеты многократно модернизировались. После 1812 г. французским математиком Ж.Понселе русские счеты привезены были во Францию и начали распространяться в Европе.

1672 г. Учитель математики Сет Патридж в работе "Описание и применение инструмента, называемого двойной шкалой пропорций" привел результаты своих исследований по использованию возможностей логарифмической линейки. В его работе упоминается выдвижная шкала и визир, применяемые в линейке.

1675 г. И.Ньютон предложил дополнить линейку прозрачной пластинкой с рискойбегунком, которая могла самостоятельно перемещаться по шкалам, что позволяло производить с меньшей погрешностью считывание значений соответствующих чисел на крайних шкалах.

1683 г. Томас Эверард предлагает линейку для измерения объемов(с двумя движками и впервые введенной обратной шкалой).

1688 г. Адольф Кирхер изготовил счетную машину под названием"математический орган", основой которой стали палочки Непера. Машина состояла из девяти цилиндров, на каждом из которых он разметил по10 палочек. Установка требуемого множителя(палочки) производилась поворотом специальной ручки цилиндра.

1761 г. Д.Робертсон (Англия) создал линейку для навигационных расчетов, снабженную бегунком.

1779 г. Английский механик Джон Ватт разработал универсальную логарифмическую линейку, пригодную для выполнения инженерных расчетов. Она получила название "сохо-линейки" по имени местечка близ Бирмингема, где работал Ватт.

1828 г. Генерал-майор русской армии Ф.М.Слободский изобрел счетный прибор, состоявший из нескольких обычных счетных полей, которые использовались для запоминания промежуточных результатов при арифме-

тических действиях. Для пользования прибором Слободский разработал специальные правила сведения умножения и деления к последовательности сложения и вычитания, что вместе с запоминанием нескольких простых вспомогательных таблиц сокращало время вычислений.

1846 г. Профессор Фюллер сконструировал спиральную логарифмическую линейку длиной 0,42 метра. Получаемые на ней результаты достигали приближения 1/10000.

1850 г. Французский офицер А.Манхейм ввел в практическое применение бегунка на логарифмической линейке.

Рис.96. Логарифмическая линейка середины ХХ в.

К началу XIX в. этап конструирования логарифмической линейки завершился и началось стремительное ее распространение во всех европейских странах. За время ее существования было издано много трудов, посвященных описаниям существующих видов логарифмических линеек и методам их практического применения.

7.2. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ

Развитие первых технических средств вычислительной техники можно условно разделить на несколько этапов, первым из которых был этап создания механических счетных машин, под которыми понимаются механизмы, приспособленные выполнения арифметических действий. Основой конструкций счетных машин являлись механические часы, вследствие чего основными деталями счетных машин были шестеренки (зубчатые колеса). Количество шестеренок выбиралось равным возможной разрядности вычисляемых чисел, а число зубьев на каждом колесепринятой системе счета. Управление работой счетных машин производилось с помощью специальных штифтов,

вставляемых между зубьями и поворачивающих колеса на определенный угол. Таким образом, в счетных машинах использовались следующие принципы производства вычислений:

сложение и вычитание - сложение и вычитание углов поворота колес; умножение и деление - последовательное сложение или вычитание. История счетных машин показывает изобретательность их создателей.

Хронология

XV в. Леонардо да Винчи разрабатывает проект механической счетной машины. Счетный механизм его устройства состоял из 13 стержней с двумя зубчатыми колесами разных диаметров на каждом из них. Да Винчи использовал десятичную систему счисления, поэтому десять оборотов первого колеса равнялись одному второго. Повороты колес производились с помощью подвешенных грузов по образцу часов. Основу машины по замыслу автора должны были составлять стержни, на которых крепились два зубчатых колеса, большое с одной стороны стержня, и маленькое - с другой. Эти стержни располагались таким образом, чтобы меньшее колесо на одном стержне входило в зацепление с большим колесом на соседнем стержне. При этом меньшее колесо второго стержня сцеплялось с большим колесом следующеготретьего стержня и т.д. Десять оборотов первого колеса приводили к одному полному обороту второго, десять оборотов второго к одному полному обороту третьего, и так до последнего колеса.

История этого проекта нашла свое продолжение вXX в. В 1968 г. по эскизам Леонардо да Винчи фирмойIBM было изготовлено и помещено в музей фирмы работающее суммирующее устройство.

1624 г. К первой счетной механической машине историки относят созданные Вильгельмом Шиккардом "Вычисляющие часы (часы для счета)". Разработанные им "часы" содержали 11 десятизубых и 6 однозубых колес и предназначались для выполнения четырех арифметических действий над шестиразрядными числами. Машина содержала отдельные независимые узлы суммирования, умножения и для записи числа. Сложение и вычитание осуществлялось последовательным вводом слагаемых с помощью наборных дисков. Различие в выполнении операции состояло во вращении наборных колес в разные стороны. Машина также информировала пользователя о переполнении разряда с помощью звонка.

1642 г. Французский математик Блез Паскаль вырабатывает первые теоретические положения о принципах построения счетных машин. Согласно этим положениям создатель машин должен предложить метод представления числа в счетной машине, разработать способы выполнения арифметических операций, переноса десятков по разрядам чисел, предусмотреть контроль правильности ввода рассчитываемых чисел и способ вывода результатов расчета.

Б.Паскаль изготовил действующую модель счетной машины, названную им "Паскалина". Эта пятиразрядная машина использовала усовершенствованный метод Шиккарда и предназначена была для выполнения расчетов с денежными единицами, в связи с чем разрядность машины соответствовала принятой в то время денежной системе Франции. Паскаль построил приблизительно 50 машин, часть из которых сохранилась в музеях и в частных коллекциях. В сравнении с машиной Шиккарда"Паскалина" не давала возмож-

ность непосредственно производить операцию вычитания, так как отсутствовал обратный ход счетных колес. Поэтому операция вычитания заменялась операцией сложения с дополнением к вычитаемому числу.

Внешне машина Паскаля представляла собой ящик с многочисленными шестеренками. Основой суммирующей машины стал счетчик-регистратор, или счетная шестерня. Она имела десять выступов, на каждом из которых были нанесены цифры. Для передачи десятков на шестерне располагался один удлиненный зуб, зацеплявший и поворачивающий промежуточную шестерню, которая передавала вращение шестерне десятков. Дополнительная шестерня была необходима для того, чтобы обе счетные шестерни - единиц и десятков - вращались в одном направлении. Счетная шестерня при помощи храпового механизма (передающего прямое движение и не передающего обратного) соединялись с рычагом. Отклонение рычага на тот или иной угол позволяло вводить в счетчик однозначные числа и суммировать их. В машине Паскаля храповой привод был присоединен ко всем счетным шестерням, что позволяло суммировать и многозначные числа.

Рис.97. Счетная машина Б. Паскаля

1666 г. Сэмюэл Морлэнд (Англия) изготовил суммирующее устройство, предназначенное для расчетов английской денежной единицы, отличительной особенностью которого было отсутствие устройства переноса десятков. Устройство в целом состояло из9 одноразрядных счетчиков, представленных однозубыми колесами и снабженными счетчиками числа оборотов на десятизубых колесах. Также Морленд в последующие годы создал множительное и тригонометрическое устройства. Множительное устройство было построено на основе палочек Непера.

Немецкий философ, математик Готфрид Вильгельм фон Лейбниц по окончании университета написал работу"Искусство составления комбинаций", в которой высказал идею, что любую мысль человека можно свести к формальным (логическим) высказываниям.

1667 г. Ч.Коттерел (Англия) предложил счетный прибор, представлявший собой комбинацию русских счетов с палочками Непера. Прибор содержал разделенные на суммирующую и множительную части.