Системный
анализ (энергетики)
Практическая работа № 1
Часть 1- Решение систем уравнения методом Крамера и методом обратной матрицы
Цель работы:
Научиться решать системы линейных уравнений средствами Excel, рассмотрев два способа решения:
l метод обратной матрицы
ll метод Крамера
Научиться использовать функции МОПРЕД, МОБР, МУМНОЖ
Теоретическая часть
Метод Крамера относится к точным методам решения систем линейных уравнений. Суть этого метода заключается в нахождении определителей системы линейных уравнений (1.1):
(1.1)
,
,
… … … ….
,
после чего неизвестные системы вычисляются по формулам Крамера (1.2):
(1.2)
Нахождение определителей, порядок которых старше третьего, вручную представляет собой довольно трудоемкую вычислительную задачу, поэтому для этих целей используются специальные математические пакеты или табличный процессор MS Excel.
Метод обратной матрицы относится к точным методам решения систем линейных уравнений. Суть этого метода заключается в преобразовании исходной системы линейных уравнений (1.3):
(1.3)
к матричному виду:
(1.4)
где А – матрица коэффициентов системы, B – вектор-столбец свободных членов, X – вектор-столбец неизвестных.
Для
того чтобы найти вектор-столбец
неизвестных X
из матричного уравнения (1.4), необходимо
умножить обе части уравнения на матрицу
,
которая является обратной к матрицеА:
(1.5)
Таким образом, нахождение решения системы линейных уравнений сводится к нахождению обратной матрицы к матрице коэффициентов этой системы. Затем находится произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов исходной системы. Результат произведения – это матрица-столбец, содержащий решение системы.
Нахождение обратной матрицы вручную представляет собой довольно трудоемкую вычислительную задачу, поэтому для этих целей используются специальные математические пакеты или табличный процессор MS Excel.
Задание
Пусть дана система уравнений:
Решите данную систему уравнений:
l методом обратной матрицы
ll методом Крамера
Порядок выполнения работы:
l метод обратной матрицы
1. Формируем матрицу А из коэффициентов, находящихся при неизвестных и матрицу В равную свободным членам системы уравнения:
2. Находим определитель матрицы А (используя функцию МОПРЕД), он не должен быть равен 0
3. Находим обратную матрицу к матрице А.
Для этого выделяем диапазон ячеек, в который будет помещена обратная матрица, затем выбираем функцию МОБР (Мастер функций->Категория: Математические->МОБР). В поле массив указать диапазон ячеек, содержащий матрицу А. Далее щелкнуть в строке формул и нажать комбинацию клавиш: "Ctrl+Shift+Enter" - признак матричной операции, в результате получаем
4. Для нахождения корней уравнения необходимо обратную матрицу умножить на матрицу свободных членов, используя функцию МУМНОЖ (Мастер функций->Категория: Математические->МУМНОЖ)
Для этого выделяем диапазон ячеек, где будут находиться корни уравнения. Далее указываем обратную матрицу и матрицу свободных членов В. Нажимаем ОК и признак матричной операции. В результате получили корни уравнения
ll метод Крамера
1. Формируем матрицу А из коэффициентов, находящихся при неизвестных, и матрицу В равную свободным членам системы уравнения:
2. Находим определитель матрицы А (используя функцию МОПРЕД), он не должен быть равен 0
3. При помощи функции МОПРЕД находим определители матриц А1,А2,А3 - Д1,Д2,Д3.
Для чего сначала формируем матрицы А1,А2,А3 следующим образом: вместо первого, второго и третьего столбца матрицы А, соответственно, подставляем матрицу В
4. Находим корни системы уравнения по формуле Дn/Д0. Получаем:
5. Производим проверку правильности нахождения корней системы уравнений Матрицу А умножаем на полученные корни уравнения (функция МУМНОЖ)
Если полученные данные совпадают с данными матрицы В, то система уравнений решена верно.