1. Основные операции с векторами и полями Методические указания
Напомним в краткой форме ряд известных положений. Во первых, следует различать два понятия: вектор (направленный отрезок) и скаляр (любое число). Векторная величина характеризуется не только количеством, но и направлением в пространстве. Для скалярной величины понятие направления не применимо. Векторные величины соответствуют многим явлениям в физической реальности, например, таким как сила, скорость и т.д. Для составления и преобразования математических выражений, содержащие векторные величины используется векторная алгебра.
В этом разделе определен необходимый
минимум знаний по векторному анализу,
без владения которым изучение курса
невозможно. В Радиофизике широко
используется три системы координат:
декартова(орты
,
,
),
цилиндрическая(орты
,
,
)
и сферическая(орты
,
,
).Направления
ортов указанных систем координат, а так
же правила их отсчетов приведены в
приложении 1 на рис. П1.1. На рис. П1.1 орты
обозначены так, что разложения векторов
по ортам в системах координат имеют
соответственно вид:
Декартова система координат:
.
Цилиндрическая система координат:
.
Сферическая система координат:
.
Во многих случаях для задания векторов можно ограничиться строго упорядоченным перечислением их проекций:
Декартова система координат:
.
Цилиндрическая система координат:
.
Сферическая система координат:
.
Основные операции над векторами и правила их выполнения приведены в Приложении 1.
Перед выполнением контрольного задания по разделу рекомендуется решить тестовые примеры. Имейте в виду, что в примерах все символы, кроме тех, которые обозначают координаты, считаются константами.
Контрольные вопросы
Чем отличаются определители для
и
?Какой смысл имеют в электродинамике величины
,
,
?Какие источники создают потенциальное поле?
Проверить правильность тождеств в ДК:
Задать вектор
проекциями в цилиндрической и сферической
системах координат.Показать, что:
а)
для
,
:
;
;
б) в декартовой системе координат:
;
в) для
в цилиндрической сферической системах
координат:
;
г) для
в
цилиндрической системе координат:
,
в сферической системе координат:
;
д) в декартовой системе координат:
,
если
,
;
е) в сферической системе координат:
,
если
,
;
ж) в сферической системе координат для
.
Контрольные задачи
Найти:
,
и
для
,
.Найти:
,
для
,
.Найти:
и
для
.Найти:
и
для
.Найти: в цилиндрической и сферической системах координат
для
,
.Показать, что в сферической системе координат
, где
– орт осиZ,
– орт системы координат.Найти в цилиндрической и сферической системах координат
и
для
.Найти в сферической системе координат
и
для
.Найти в сферической системе координат
и
для
.Найти в сферической системе координат:
.По формуле
найти в сферической системе координат:
.
2. Основные законы и явления электромагнетизма
Основные понятия электродинамики. Понятие электромагнитного поля. Векторы напряженностей и индукций электрического и магнитного поля. Плотности зарядов и токов.
Уравнения Максвелла и граничные условия. Первая пара уравнений Максвелла в дифференциальном и интегральном виде. Ток смещения и полный ток. Непрерывность линий полного тока. Вторая пара уравнений Максвелла. Отсутствие магнитных зарядов. Уравнение сохранения заряда.
Нормальные и касательные проекции поля на границе раздела сред. Граничные условия и их типы.
Материальные уравнения сред. Понятие о многообразии сред в электродинамике (однородные и неоднородные, линейные и нелинейные, изотропные и анизотропные, газы, плазма, диэлектрики и проводники). Материальные уравнения для линейных изотропных сред. Абсолютные и относительные проницаемости, проводимость.
Энергия электромагнитного поля. Сторонние источники поля. Уравнение баланса энергии и вектор Пойнтинга. Локализация и движение энергии поля.
Уравнения электродинамики для статических и волновых полей. Электростатика (потенциал, уравнения Лапласа и Пуассона, интеграл Пуассона). Магнитостатика (векторный потенциал, уравнения и интеграл Пуассона для векторного потенциала). Волновые уравнения для напряженностей поля и потенциалов электродинамики.