ЦОС Практики 2015 - Задания 1 и 2

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Задания к практическим занятиям

Раздел 1. Спектральный анализ

Задание №1

Тема: Спектральный анализ

Постановка задачи

1. Задать амплитуды A_k, частоты f_k (Гц) и начальные фазы _k (–π…+π) пяти-семи (m) гармоник полигармонического сигнала.

2. Задать частоту дискретизации f_d (Гц). Частота дискретизации должна быть более чем в два раза выше частоты верхней гармоники.

3. Задать число отсчетов N и длительность сигнала T, учитывая соотношение f_d = N/T.

4. Сгенерировать полигармонический сигнал

где t_i = ti – время i-го отсчета, i = 0…N–1;

t = T/N – шаг во времени между отсчетами, сек.

5. Построить график временной реализации сигнала.

6. Получить комплексный спектр с помощью преобразования Фурье, используя функцию FFT (см. Приложение)

7. Выделить из комплексного спектра амплитуды и фазы гармоник. Определить частоты гармоник в Гц.

8. Построить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

9. Сравнить полученные характеристики с исходными значениями амплитуд, частот и начальных фаз гармоник полигармонического сигнала.

10. Получить комплексный спектр, используя функцию СFFT. Выделить из комплексного спектра амплитуды и фазы гармоник. Совместить полученные спектры на одном графике.

11. Отобразить на графике спектр сигнала в виде, когда часть спектра выше частоты Найквиста (половина частоты дискретизации) отображается в области отрицательных частот ( K(k) = if( k≤M/2, k, k–M) ).

12. Используя формулу полигармонического сигнала, сгенерировать сигнал на основании амплитуд и фаз, найденных в пп.7 и 10. Наложить результат на график исходного сигнала. Добиться совпадения сигналов.

Задание №2

Тема: Исследование свойств преобразования Фурье

Постановка задачи

Примечание: обозначения в изложении задания не совпадают с формой записи обращения к массивам и их компонентам!

Используя наработки первого задания, выполнить исследование свойств ПФ (ДПФ), для чего

а) выполнить преобразование спектра S(k)→F(k) (или X(k)→Y(k)) согласно формуле по свойству;

б) выполнить преобразование сигнала s(i)→f(i) (или x(i)→y(i)) согласно формуле по свойству и найти спектр результата F1(k) (или Y1(k));

в) наложить результирующие спектры на одном графике, убедиться в идентичности.

Исследуемые свойства

1. Свойство А4. Изменение масштаба времени

2. Свойство А10. Спектр модулированного сигнала

3. Свойство Д1. Дополнение нулями.

Для этого свойства нужно сравнить спектры сигнала без и с дополнением нулями.

4. Свойство Д4. Круговая свертка двух последовательностей

5. Свойство Д5. Свойство частотного сдвига

6. Свойство Д6. Инверсия спектра действительного сигнала

К умножению на e^jΩt.

Сдвиг спектра умножением на комплексную экспоненту сдвигает все части спектра (и положительные и отрицательные частоты) в одну сторону. При этом ненулевые гармоники из отрицательной части спектра могут переходить в область положительных частот.

Если требуется выполнить сдвиг спектра действительного сигнала только в рамках положительных частот, сигнал из действительного (с симметричным спектром) преобразуется в комплексный с несимметричным спектром с нулевой частью отрицательных частот и удвоенными амплитудами положительных частот. Мнимая добавка к сигналу есть результат преобразования Гильберта от действительного сигнала. После выполнения сдвига (во временной области) несимметричного спектра, сигнал из комплексного преобразуется в действительный путем отбрасывания мнимой части.

Преобразование Гильберта [4, тема 17]:

Ортогональное дополнение сигнала (http://www.dsplib.ru/content/hilbert/hilbert.html):

Обратное преобразование:

Выделение действительного сигнала из комплектного:

Функция Hilbert() выполняет преобразование Гильберта в MathCAD

Литература

1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов учебное пособие для вузов. — СПб. Питер, 2007. (Расстановочный шифр 621.39 С323, Bib Id 65599)

2. Стивен Смит Цифровая обработка сигналов практическое руководство для инженеров и научных работников; пер. с англ. Ю. А. Линовича, С. В. Витязева, И. С. Гусинского. — М. Додэка-XXI, 2011. (Расстановочный шифр 621.37 C509, Bib Id 162582)

3. Яковлев А.Н. Основы теории сигналов в примерах, упражнениях и заданиях [учебное пособие для радиотехнических направлений и специальностей]. — Новосибирск Изд-во НГТУ, 2012. (Расстановочный шифр 621.37 Я474, Bib Id 174664)

4. Давыдов А.В. Сигналы и линейные системы: Тематические лекции. / Екатеринбург: УГГУ, ИГиГ, кафедра геоинформатики. – 2008. / http://prodav.exponenta.ru/signals/index.html

5. Давыдов А.В. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции. / Екатеринбург: УГГУ, ИГиГ, кафедра геоинформатики. – 2007. / http://prodav.exponenta.ru/dsp/index.html

6. Глинченко, А. С. Цифровая обработка сигналов. Версия 1.0 [Электронный ресурс] : курс лекций / А. С. Глинченко. – Электрон. дан. (3 Мб). – Красноярск : ИПК СФУ, 2008. – url: . http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/50/u_lectures.pdf

7. Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессы в системах подвижной радиосвязи [учебник]. — Новосибирск Изд-во НГТУ, 2006. (Расстановочный шифр 621.37 В201, Bib Id 62388)

8. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб для вузов по спец «Радиотехника». — М.: Высш. школа, 2000.

9. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.:Сов.радио, 1967

10. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 584 с.

Приложения

Справочник по функциям MathCAD

Преобразование Фурье

Прямое преобразование		Обратное преобразование
Функция	Формула	Функция	Формула
c := FFT(x)		x := IFFT(c)
c := fft(x)		x := ifft(c)

x – действительный массив временных отсчетов размерностью N;

N – число временных отсчетов, N = 2^m ;

i – номер временного отсчета от 0 до N–1;

c – массив комплексных коэффициентов спектра размерностью M+1;

M=N/2 – число гармоник половины спектра (до частоты Найквиста);

k – номер гармоники от 0 до M;

a_k = A_k cos_k – синфазная компонента;

b_k = A_k sin_k – квадратурная компонента;

– амплитуда k-той гармоники;

_k = atan( b_k / a_k ) – фаза k-той гармоники

a_k = Re(c_k) – связь синфазной компоненты с комплексным коэффициентом;

b_k = Im(c_k) – связь квадратурной компоненты с комплексным коэффициентом “–” в случае A_k cos(kω₁t+_k), “+” в случае A_k cos(kω₁t–_k);

T – длительность сигнала, сек;

t = T/N – шаг во времени между отсчетами, сек;

t_i = ti – время i-го отсчета;

f₁ = 1/T – частота первой гармоники;

f_k = f₁k – частота k-той гармоники, Гц;

f_d = N/T – частота дискретизации, Гц;

ω = 2πf – круговая частота, рад/с;

ω_kt_i = ω₁k × ti = 2π/Tk × T/Ni = 2π/N × k × i безразмерная величина.

Прямое преобразование		Обратное преобразование
Функция	Формула	Функция	Формула
c := CFFT(x)		x := ICFFT(c)
c := cfft(x)		x := icfft(c)

x – комплексный массив временных отсчетов размерностью N;

N – число временных отсчетов, N – произвольное целое число ;

i – номер временного отсчета от 0 до N–1;

c – массив комплексных коэффициентов спектра размерностью M;

M=N – число гармоник спектра от нулевой до частоты дискретизации (не включая);

k – номер гармоники от 0 до M–1;

Функции работы со звуковыми файлами в MathCAD

Функция GETWAVINFO(filename) возвращает вектор из четырех чисел:

- number of channels — число каналов (1-моно или 2-стерео)

- the sample rate — частота дискретизации, Гц (11025, 22050, 44100)

- the bit resolution — число бит на отсчет (8, 16)

- the average bytes per second for a WAV file — число бит в секунду

Функция READWAV(filename) возвращает вектор отсчетов или матрицу из двух столбцов для стереосигнала.

Функция WRITEWAV(filename, rate, res) := x выводит массив x в файл.

Примечание

Для разрешения 8 бит на отсчет значения отсчетов должны быть в диапазоне от 0 до 255.

Для разрешения 16 бит на отсчет значения отсчетов должны быть в диапазоне от –32768 до +32767.

8