Васюков В_Н_ Теория электрической связи_

9.1. Основные понятия и термины	263

9. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

9.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ

процессе передачи сообщений в системах Всвязи выполняются различные преобразования, основные из которых показаны на упрощенной структурной

схеме дискретной системы связи (рис. 9.1).

b(t)

bц(t)

u(t)

(t)

bц(t)

(t)

z(t)

ИС

К

М

ЛС

ДМ

ДК

ПС

Рис. 9.1. Упрощенная структурная схема дискретной системы связи

Источник сигнала ИС включает в себя источник сообщений и преобразователь сообщения a(t) в первичный сигнал b(t) . Первич-

ный сигнал подвергается кодированию (экономному и/или помехоустойчивому) в кодере К, после чего сигнал bц (t) , называемый циф-

ровым, поступает в модулятор М (передатчик), вырабатывающий сигнал u(t) , приспособленный по своим характеристикам для пере-

дачи по линии связи ЛС. В линии связи происходит искажение сигнала и его взаимодействие с помехой (t) (в простейшем случае

аддитивное), в результате чего на вход демодулятора ДМ (приемника) поступает наблюдаемое колебание z(t) . Демодулятор вы-

полняет функцию, обратную модуляции, поэтому на его выходе

264 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

должен быть выработан в идеальном случае сигнал bц (t) . Однако вследствие воздействия помех результат демодуляции bц (t) отли-

чается в общем случае от сигнала bц (t) , поэтому результат деко-

дирования b (t) также не совпадает с первичным сигналом b(t) .

В двоичной системе связи с амплитудной телеграфией (АТ) канальный сигнал, соответствующий передаваемому символу 1, представляет собой радиоимпульс с прямоугольной огибающей, а символу 0 соответствует отсутствие сигнала (пауза)111. При частотной (фазовой) телеграфии различные символы передаются сигналами одинаковой формы с несущей частотой (начальной фазой), меняющейся скачком от посылки к посылке. Для простоты здесь полагается, что система является изохронной, т. е. моменты начала и окончания элементарных посылок точно известны.

Для облегчения восприятия в дальнейшем рассматривается идеализированный канал связи без памяти, в котором отсутствуют искажения сигнала, тогда наблюдаемое колебание

z(t)	bц (t)s(t k	)	(t) ,	(9.1)
	k
где s(t) – посылка длительности ,		(t)	– помеха. Полагая, что

отсутствует перекрытие посылок по времени (называемое меж-

символьной интерференцией), можно считать, что в каждый мо-

мент времени z(t) s(t, bi ) (t) , где bi – одно из возможных зна-

чений цифрового сигнала112.

Задача демодулятора состоит в том, чтобы по наблюдаемому

колебанию ( ) принять решение ˆц ( ) о переданном сигнале z t b t

bц (t) , такое, чтобы обеспечить максимальную верность. Правило (алгоритм) принятия решения – это закон преобразования z(t) в

ˆц ( ) . Поскольку помеха является случайной, задача построения b t

оптимального (наилучшего) демодулятора представляет собой статистическую задачу и решается на основе методов теории вероятностей и математической статистики (теории статистических решений).

111Такой способ модуляции называют амплитудной телеграфией с пассивной паузой.

112Отметим, что выражение (9.1) представляет частный случай модуляции.

9.1. Основные понятия и термины

265

Перед принятием решения с целью повышения его качества (верности) часто наблюдаемое колебание подвергают дополнительной обработке. Если обработка линейная, то ее результат y(t)

может быть записан в форме

T	T	T
y(t) z( ) (t, )d	s( , bi ) (t, )d	( ) (t, )d ,
0	0	0

где для простоты принято, что колебание наблюдается на интервале времени от 0 до Т, (t, ) – ядро линейного оператора, описы-

вающего устройство обработки (2.30). Видно, что результат обработки представляет собой сумму сигнальной и шумовой составляющих.

В простейшем случае	(t, ) (	t0) ,	тогда сигнальная со-
ставляющая равна величине
T	T
s( , bi ) (t, )d	s( , bi ) (	t0 )d	s(t0, bi ) ,
0	0

т. е. отсчету канального сигнала (посылки) в момент времени t0
(рис. 9.2).
Очевидно, такой способ «обработ-					s(t)
ки» плохо использует посылку: факти-
чески правильность решения зависит не
от энергии, а только от одного мгно-
венного значения сигнала. При этом					t0	t
очень важно, чтобы отсчет был взят
точно в тот момент, когда значение
сигнала достигает максимума. Улуч-					Рис. 9.2. Взятие отсчета
шить эффективность			решения можно
путем «накопления» нескольких ( K )					в момент времени t0
отсчетов,	взятых в i -е моменты време-
				K	ti0 ) . Учесть различную
ни, i 1,...,K ; при этом				(t, ) (
				i 1
значимость отсчетов для принятия решения можно, введя весовые
					K	ti0 ) . Уве-
коэффициенты при			-функциях, тогда		(t, ) hi (
личивая K ,					i 1
		в пределе получаем непрерывное ядро оператора об-
работки	(t,	) h(t,	) – весовую функцию линейного фильтра

(см. разд. 2.7). Вообще говоря, оптимальная обработка может быть нелинейной.

266 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Материалом для принятия решения в демодуляторе служит в рассматриваемом случае реализация колебания z(t) на интервале

длительности T. Если бы помеха отсутствовала, то эта реализация совпадала бы с элементарным сигналом (посылкой), который можно считать точкой в гильбертовом пространстве сигналов, определенных на заданном временном интервале. Все возможные в данной системе связи посылки изображаются различными точками, и демодулятор должен вырабатывать свои решения в зависимости от

того, какой именно точке соответствует принятая реализация z(t) .

Реализация помехи, взаимодействуя с посылкой, смещает точку, изображающую принятую реализацию, причем смещение случайно вследствие случайного характера помехи. Если смещения будут значительными, демодулятор может ошибаться. Ошибка является случайным событием, поэтому качество решения можно характеризовать вероятностью ошибки.

Задача синтеза оптимального демодулятора (приемника) ставится следующим образом: нужно найти оптимальный алгоритм обработки и оптимальное правило решения, обеспечивающие мак-

симальную вероятность безошибочного (правильного) решения. Максимум этой вероятности В.А. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а приемник, реализующий этот макси-

мум, – идеальным приемником.

Алгоритм работы приемника состоит в разбиении гильбертова пространства реализаций входного колебания на области, так что решение принимается в соответствии с тем, какой области принадлежит принятая реализация. Количество областей равно количеству различных кодовых символов данной системы связи. Ошибка возникает в том случае, если в результате воздействия помехи реализация попадает в «чужую» область. Оптимальный приемник разбивает пространство реализаций наилучшим образом, так что средняя вероятность ошибки минимальна среди всех возможных

разбиений.

Каждая область соответствует предположению (гипотезе)

о том, что передан был один из возможных сигналов. Поэтому каждая простая гипотеза есть предположение о том, что наблюдае-

мое колебание представляет собой реализацию случайного процесса, описываемого определенной многомерной плотностью распределения вероятностей113 или функционалом плотности распределения.

113Часто гипотезе соответствует не одно распределение, а класс распределений, тогда гипотеза называется сложной.

i 1 j 1

9.1. Основные понятия и термины

267

Пример 9.1. Предположим, что результатом обработки в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией является значение

y , соответствующее окончанию интервала наблюдения. Если в колебании z(t) присутствует только шум, имеющий гауссово рас-

пределение с нулевым математическим ожиданием, то плотность распределения величины y имеет вид

		1			y2
w (y)				e	2 2 ;		(9.2)
0		2

если кроме шума на вход приемника поступает сигнал, то результат обработки имеет ненулевое (для определенности – положительное)

среднее a , и плотность распределения величины y имеет вид

			1			( y a)2
w1(y)					e	2 2	.	(9.3)
			2
Гипотезы, соответствующие выражениям (9.2) и (9.3), являются
простыми. Если среднеквадратическое отклонение								неизвестно,

гипотезы являются сложными. ◄

Рассмотрим систему связи, в которой используются K различных символов. Тогда демодулятор должен различать K различных гипотез. При этом возможны ошибки: может быть принято реше-

ние D j в пользу j -й гипотезы, в то время как справедливой явля-

ется i -я гипотеза. Такая ситуация характеризуется условной вероятностью ошибки pij P{Dj | Hi}. Различные ошибки могут

наносить разный вред, поэтому вводится численная характеристика ij , называемая риском, или потерей. Иногда потери объеди-

няют в квадратную K K -матрицу { ij } , называемую матрицей

потерь, при этом ее главная диагональ обычно содержит нули, что соответствует нулевым потерям при правильных решениях.

Символы, которым соответствуют разные гипотезы, могут иметь разные вероятности появления в сообщении. Поэтому каж-

дая ( i -я) гипотеза характеризуется некоторой вероятностью pi

осуществления, которая называется априорной вероятностью. Итак, суммируя, можно ввести усредненную характеристику (критерий) качества принятия решения, называемую средним риском

K K

R pi pij ij .

i 1 j 1 i j

268 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Средний риск представляет собой математическое ожидание потерь, связанных с принятием решения.

Если априорные вероятности гипотез точно известны, а потери

назначены обоснованно, то приемник, обеспечивающий наименьший средний риск, будет наиболее выгодным. Критерий минимума

среднего риска называют также критерием Байеса114.

Иногда потери, связанные с различными ошибками, принима-

ют равными друг другу ij ,

ii 0 ,

i 1,...,K , тогда опти-

мальный байесовский приемник обеспечивает минимальную сред-

нюю вероятность ошибки (критерий идеального наблюдателя)

K K

pош pi pij

i 1 j 1 i j

и называется идеальным приемником Котельникова.

Если также принять равными априорные вероятности гипотез

pi 1/ K ,	i 1,...,K , то критерий Байеса сводится к критерию ми-
нимума суммарной условной вероятности ошибки
	K K
	pош усл pij .	(9.4)

Проблема синтеза оптимального демодулятора состоит в нахождении границ областей, разбивающих пространство наблюдений наилучшим образом в соответствии с выбранным критерием качества. Ниже эта задача рассматривается для простейшего случая двух простых гипотез, что соответствует АТ-системе связи с пассивной паузой.

9.2.БИНАРНАЯ ЗАДАЧА ПРОВЕРКИ ПРОСТЫХ ГИПОТЕЗ

Наиболее просто задача построения оптимального демодулятора (приемника) решается для случая амплитудной телеграфии с пассивной паузой, что соответствует принятию решения о том, что

передавался символ 0 (сигнала нет) или символ 1 (сигнал есть). Таким образом, решается задача обнаружения сигнала в наблюдае-

114Томас Байес (1702 – 1761) – английский математик, один из основоположников теории вероятностей и математической статистики.

9.2. Бинарная задача проверки простых гипотез

269

мом колебании. Далее предполагается, что помеха в канале представляет собой гауссовский шум с нулевым средним и известной дисперсией, который взаимодействует с сигналом аддитивно (суммируется). Результатом обработки наблюдаемого колебания является случайная величина y , которая может иметь различное рас-

пределение в зависимости от того, есть ли сигнал в наблюдаемом колебании, а именно: распределение при гипотезе H0 – «сигнала

нет» – является гауссовским с нулевым средним, а распределение

при гипотезе H1 – «сигнал есть» – отличается сдвигом на величи-

ну a , зависящую от способа обработки (например, если обработка сводится к взятию отсчета в момент, когда несущее колебание достигает максимума, величина a представляет собой его амплитуду). Значение a предполагается известным. Таким образом, проверяемые гипотезы описываются двумя условными плотностями рас-

пределения вероятностей w(y | H0)	и w(y | H1) , изображенными на
рис. 9.3.
w(y)
w(y|H )	w(y|H1)
0
	y
	yп
Рис. 9.3. Условные плотности распределения
вероятностей величины y при простых гипотезах

В данной постановке демодулятор (приемник) может принимать решение, основываясь только на наблюдаемом значении y :

очевидно, чем больше наблюдаемое значение, тем с большей уверенностью можно утверждать, что сигнал в принятом колебании есть. Приемник в таком случае должен сравнить y с некоторым

фиксированным значением (порогом) yп и если y больше порога,

принять решение о наличии сигнала, в противном случае – о его отсутствии, что можно кратко записать в следующей символической форме:

y yп "1" , y yп "0".

270 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Каким бы ни был порог yп , очевидно, есть некоторая ненулевая вероятность p01 принять решение о наличии сигнала при его

фактическом отсутствии. Эта вероятность называется условной вероятностью ошибки первого рода («ложной тревоги») и определяется выражением

p01 w(y | H0 )dy .

yп

Аналогично, существует ненулевая вероятность принять реше-

ние об отсутствии сигнала, в то время как на самом деле он есть (условная вероятность ошибки второго рода, или пропуска сигнала)

yп

p10 w(y | H1)dy .

Анализ рис. 9.3 показывает, что сумма указанных условных вероятностей минимальна, если порог yп находится как абсцисса

точки пересечения условных плотностей w(y | H0) и w(y | H1) .

Очевидно, при таком выборе порога приемник является оптималь-

ным по критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки (9.4) и принятие решения основывается на сравнении значе-

ний функций w(y | H0) и w(y | H1) при наблюдаемом значении y :

w y | H0 w y | H1 "1"; w y | H0 w y | H1 "0".

Это правило принятия решения можно переписать также в форме

w y | H1 1 "1"; w y | H0

	w y | H1		1	"0".	(9.5)
	w y | H0

Решение, таким образом, принимается в пользу той гипотезы, которая представляется более правдоподобной при данном значе-

нии y , поэтому отношение w y | H1 называется отношением w y | H0

правдоподобия и обозначается ( y) . Правило (9.5) называют пра-

вилом максимального правдоподобия. Заметим, что критерий (9.4) часто называют критерием максимума правдоподобия.

Критерий идеального наблюдателя предполагает учет априорных вероятностей гипотез, и оптимальный в смысле этого критерия

9.2. Бинарная задача проверки простых гипотез

271

приемник обеспечивает минимум средней вероятности ошибки,

т. е. наименьшую сумму безусловных вероятностей ошибок перво-

го и второго рода. Иначе говоря, сравнению подлежат функции w y | H0 и w y | H1 , умноженные на соответствующие априор-

ные вероятности. Правило принятия решения в таком приемнике можно записать в форме

p1w y | H1 1 "1" ; p0w y | H0

p1w y | H1 1 "0". p0w y | H0

Используя понятие отношения правдоподобия, можно записать правило в виде

(y)	p0			"1"	,	(y)	p0			"0"	,
		p1						p1

при этом отношение правдоподобия сравнивается с пороговым значением, зависящим от априорных вероятностей.

Наконец, в случае байесовского критерия решение принимается по правилу

	10 p1w y | H1							1 "1" ;				10 p1w y | H1								1 "0"		,
01		p w y | H				0						01	p w y | H				0
		0												0
или				p0										p0
			(y)					01		"1"	,	(y)				01					"0".
					p1			10							p1	10

Итак, во всех случаях оптимальный приемник (демодулятор, или решающее устройство) «устроен одинаково»: для наблюдаемо-

го значения y , зависящего от принятой реализации z(t) , вычисляется значение отношения правдоподобия, которое сравнивается с

	порогом; порог равен	p0	01	для приемника, оптимального в
		p1	10

смысле критерия минимума среднего риска, p0 / p1 для идеального

приемника Котельникова и 1 для приемника максимального правдоподобия.

В заключение отметим, что иногда удобнее вычислять не отношение правдоподобия, а его логарифм. В силу монотонности логарифмической функции это не влияет на условные вероятности ошибок, если порог также прологарифмировать.

272 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

9.3.ПРИЕМ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА (КОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЕМ)

Рассмотрим принятие решения в системе связи при следующих условиях: синхронизация является точной и форма сигнала на интервале наблюдения точно известна, неизвестен лишь сам факт наличия либо отсутствия сигнала в наблюдаемом колебании. (Эта ситуация наиболее близка к реальности в кабельных линиях связи, где условия распространения сигналов известны и практически неизменны.)

Будем считать, что на интервале наблюдения независимо от сигнала присутствует гауссовский шум с нулевым средним и спек-

тральной плотностью мощности N0 / 2 , постоянной в некоторой полосе частот F f F («квазибелый» шум). Полагая, что длительность интервала наблюдения равна T , возьмем n отсчетов

	наблюдаемого колебания с шагом t	1	T	, при этом отсчеты
		2F
			n

шума являются некоррелированными вследствие того, что корреляционная функция квазибелого шума (вида "sin x / x") пересекает ось абсцисс при значениях времени, кратных t . Поэтому совме-

стная плотность распределения вероятностей взятых отсчетов (выборочных значений) равна в отсутствие сигнала

1

n

1

z2

w(z ,..., z

n

| H

0

)

e

2

2 k 1 k ,

1

n

2

где

2

N0F

N0

/(2

t) . Напомним,

что для гауссовских случай-

ных величин некоррелированность влечет независимость.

Если сигнал присутствует и принимает в моменты взятия отсчетов значения sk s(tk ) , то совместная плотность распределения

вероятностей выборочных значений

1

n

(z

s )2

1

k

w(z1

,..., zn | H1)

e

2

2 k 1

k

.

n

2