Informatika_Sbornik_zadaniy_k_lab_rab

											О к о н ч а н и е			т а б л . 2.1.1
				Таблица исходных данных
	1-я					xi ,	i	0,		n
	цифра
	вари-
						yi ,	i	0,		n
	анта
	4	0,1	0,5	1	1	2				4		4	4,8	5,8	5,8
		0,73	1,3	1,83	1,7	2,39		1,96				2	1,35	0,56	0,55
	5	1	2	3	4	5				9		10	11	2	9
		1,5	3,5	4,5	5,5	5,5		5,5				6,5	6,5	3,4	5,6
	6	1	3,1	5,3	6,9	9,4		11,1				12,6	14,7	6,9	17,2
		590	591	591	592	592		591				591	590,5	592	590
	7	1,04	1,185	1,454	1,711	1,98		1,98				2,192	1,185	2,23	2,23
		–7,6	–5,3	–2,25	–2,5	–2			–1,95			–5,3	–5,5	–7	–7,2
	8	3	8	13	3	18				23		27	30	33	27
		25,5	12,3	8,0	24	10,2		15,4				15,4	20,1	20,5	15,6
	9	1,031	1,514	1,41	1,768	1,884		1,41				2,063	2,23	2,23	1,031
		–26,6	–22,7	–21	–20,5	–19,6			–21,6			–20,5	–21	–20,8	–26,4
	a	0	3	5	7	9				11		13	15	17	21
		4,5	4,1	2,7	2,8	4,5		5,4				6,1	6,2	6,5	5,3
	b	2	2,1	2,1	2,2	2,3		2,4				2,4	2,5	2,7	2,8
		7,59	7,51	7,52	7,29	7,1		6,99				7,0	6,95	6,95	6,95
	c	1	1,2	1,2	1,4	1,6		1,8				1,8	1,0	1,2	1,2
		2,5	2,8	2,9	2,8	2,9		2,6				2,7	2,5	2,5	2,6
	d	0,12	0,13	0,14	0,14	0,15		0,16				0,18	0,18	0,21	0,21
		0,1	0,3	0,5	0,6	2,6				3		3,4	3,5	3,6	3,5
	e	0,2	1,0	2	2	4				8		8	9,6	11,6	11,6
		7,3	13	18,3	17	23,9		19,6				20	13,5	5,6	5,5
	f	3	6	9	12	15				27		30	33	6	27
		15	35	45	55	55				55		65	65	34	56
						30

Т а б л и ц а 2.1.2

Порядок аппроксимирующей функции

	2-я цифра	0; 5	1; 6	2; 7	3; 8	4; 9	a; f	b; e	c; d
	варианта
	Значения m	1; 3; 5	2; 4; 5	1; 2; 4	3; 4; 5	2; 4; 5	1; 3; 4	2; 3; 5	1; 3; 4

Т а б л и ц а 2.1.3

Таблица «невязок»

m

max yi Pm (xi )

i

2.2. Решение задачи линейного программирования средствами MatLab

Задача поиска условного экстремума функции многих переменных часто встречаются в экономических расчѐтах для минимизации затрат, максимализации прибыли и т. п. При этом экономическая задача описывается системами линейных уравнений и неравенств и относится к задачам линейного программирования. Типичный пример – так на-

зываемая задача производственного планирования, которая решает проблему оптимального выпуска товаров, дающего максимально возможный доход.

Пример. Рассмотрим производство столов и стульев. Сведения о затратах ресурсов на единицу продукции, об их наличии и о доходе от производимой продукции отражены в табл. 2.2.1.

				Т а б л и ц а 2.2.1.
	Затраты ресурсов
Наименование ресурса		Продукция		Ограничения
		Стул	Стол	по ресурсу
Древесина, кг/шт.		5	25	500
Кожа, м2/шт.		0,5	0	15
Клей, г/шт.		100	250	7500
Трудозатраты, чел. · ч / шт.		10	10	400
Доход, р/шт.		10	20
	31

Доход (обозначим его символом f ) , очевидно, равен f 10x1 20x2 , где x1 и x2 − искомые (вместе с f ) значения количества

стульев и столов соответственно. Математическая модель сформулированной задачи состоит в поиске максимума функции f (x) 10x1

20x2 при наличии следующих ограничений:

5x1	25x2		500 ,
0,5x1		15 ,
100x1		250x2 7500 ,
10x1		10x2	400 ,
x1	0,	x2	0 .

Для решения задач линейного программирования в MatLab используется функция linprog, которая ищет минимум для целевой функ-

ции min f T (x) при наличии ограничений

x

A x b,

Aeq x beq,

lb x ub.

Простейшие две формы обращения к ней состоят в следующем:

x=linprog(f,A,b),
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub),
[x,fv]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub),
где
f	−	вектор коэффициентов целевой функции − для нашего при-
мера f=[10; 20];
A	−	матрица коэффициентов системы линейных неравенств
A*x	b − для нашего примера A=[5 25;0.5 0;100 250;10 10];
b	−	вектор свободных членов системы линейных неравенств
A*x	b − для нашего примера b=[500; 15;			7500;	400];
Aeq		−	матрица коэффициентов системы	линейных	равенств
Aeq*x=beq			− для нашего примера еѐ нет (ставят пару пустых пря-
моугольных скобок [ ]);
			32

beq	−	вектор свободных членов системы линейных		равенств
A*x=b	−	для нашего примера его нет (ставят пару пустых прямо-
угольных скобок [ ]);
lb	и ub		− векторы той же размерности, что и вектор	x − ог-
раничения		на	координаты lb x ub − для нашего	примера
lb=[0; 0], а вместо ub ставят пару пустых скобок [ ];
x − искомый вектор оптимальных значений параметров;
fv	− значение целевой функции при оптимальном векторе пара-
метров.

Командное окно для решения нашей задачи имеет вид

>>f=[10; 20];

>>A=[5 25;0.5 0;100 250;10 10];

>>b=[500; 15; 7500; 400];

>>lb=[0; 0];

>>[x,fv]=linprog(-f,A,b,[],[],lb) Optimization terminated.

x = 25.0000 15.0000

fv = -550.0000

Так как функция linprog находит минимум, а нам необходимо найти максимум, то перед символом f в вызове функции поставлен знак минус.

Таким образом, оптимальнее всего изготовить 25 стульев и 15 столов, при этом доход составит 550 р.

Задание. В соответствии с заданным вариантом (см. табл. 2.2.2) найти оптимальное решение задачи производственного планирования.

33

	Т а б л и ц а	2.2.2
	Варианты заданий
5-я циф-
ра вари-	Условие задачи линейного программирования
анта
0	Цех малого предприятия должен изготовить серию изделий трѐх
	типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 20 шт. в день.
	На изделия уходят соответственно 4; 3,4 и 2 кг металла при его
	общем расходе в день не более 340 кг, а также по 4,76; 11 и 2 кг
	пластмассы при еѐ общем расходе в день не более 700 кг. Сколь-
	ко изделий каждого типа надо изготовить для получения макси-
	мального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена из-
	делий составляет 4; 3 и 2 р.?
1	Предприятия выпускают хлебобулочные изделия десяти наиме-
	нований. За день необходимо испечь не менее 200 шт. каждого
	наименования. На изделия уходят соответственно 0,5; 0,4; 0,1;
	0,15; 0,05; 0,24; 0,31; 0,4; 0,33 и 0,2 кг муки при еѐ общем расходе
	в	день
	не более 700 кг, а также по 40; 30; 11; 0; 0; 10; 15; 8; 0 и 2 г сахара
	при общем его расходе в день не более 30 кг. Сколько изделий
	каждого типа надо выпустить для получения максимального до-
	хода, если цена изделий составляет 40; 30; 10; 12; 6; 25; 28; 55; 13
	и 12 р.?
2	Строительное предприятие должно изготовить серию изделий
	пяти типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 50 шт. в
	день.
	На изделия уходит соответственно 4; 3,4; 10; 8 и 2 кг песка при
	его общем расходе в день не более 8900 кг, а также по 1,6; 1; 1,5;
	1,3
	и 0,4 кг цемента при его общем расходе в день не более 1500 кг,
	а также по 1; 4; 1,5; 1,8 и 0,4 и 0 кг металла при его общем расхо-
	де
	в день не более 4000 кг. Сколько изделий каждого типа надо вы-
	пустить для получения максимального объѐма выпуска в денеж-
	ном выражении, если цена изделий составляет 400; 300; 1000; 750
	и 200 р.?
3	Участок мясоперерабатывающего предприятия выпускает мясо-
	продукты четырех наименований. В день необходимо изготовить
	не ме-нее 25 кг продукции каждого наименования. На изготовле-
	ние 1 кг продукции разного наименования уходит соответственно
	800; 900; 1100 и 600 г мяса-сырца при общем его расходе в день не
	более 850 кг; 100; 50; 0 и 300 г жиров при общем их расходе в
	34

день не более 50 кг; а также 200; 100; 0 и 300 г сои при общем еѐ

расходе в день не более 745 кг. Сколько изделий каждого наименования следует изготовить для получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена продукции составляет по калькуляции 400; 300; 600; и 180 р.?

П р о д о л ж е н и е т а б л . 2.2.2

5-я циф-

ра вариУсловие задачи линейного программирования анта

4Цех малого предприятия должен изготовить серию изделий трѐх

типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 60 шт. в день. На изделия уходят соответственно 40; 14 и 20 кг металла при его общем запасе 34 000 кг, а также по 14; 20 и 5 кг пластмассы при еѐ общем запасе 4700 кг. Сколько изделий каждого типа надо сделать для

получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 400; 300 и

200 р.?

5Предприятие выпускает хлебобулочные изделия шести наимено-

ваний. В день необходимо изготовить не менее 80 шт. каждого наименования На изделия уходит соответственно 0,5; 0,4; 0,1;

0,15; 0,05 и 0,2 кг муки при еѐ общем расходе за день не более

700 кг,

а также по 40; 130; 11; 0; 10 и 8 г сахара при его общем расходе за день не более 140 кг. Сколько изделий каждого типа надо выпустить для получения максимального дохода, если цена изделий составляет по калькуляции 24; 31; 12; 12; 6 и 12 р.?

6Строительная фирма изготовляет изделия шести типов. Каждого

изделия нужно сделать не менее 15 шт. в день. На изделия требуется соответственно 40; 34; 100; 80; 14 и 20 кг песка при его общем расходе за день не более 29 т, по 16; 10; 20; 15; 2 и 4 кг цемента при его общем расходе за день не более 7000 кг, а также по 1; 4;

1,5; 1; 0,5 и 0 кг металла при его общем расходе за день не более 800 кг. Сколько изделий каждого типа надо изготовить для получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении,

если цена изделий составляет по калькуляции 4000; 3000; 10000;

7500; 1000

и 2000 р.?

7Участок швейного предприятия шьет изделия трех наименова-

ний. Продукции каждого из наименований необходимо изготовить не менее 50 шт. в день. На это уходит соответственно 0,8; 1,9 и 1,1 м ткани при общем еѐ расходе в день не более 400 м; 100; 50; 0 см ленты при общем еѐ расходе на день не более 300 м.

35

Сколько изделий каждого наименования следует сшить для по-

лучения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена продукции составляет по калькуляции 1400; 2300 и 1800 р.?

8Цех малого предприятия должен изготовить серию изделий че-

тырех типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 30 шт. в день, на что уходит соответственно 4; 3,4; 1 и 2 кг дерева при его об-

щем запасе 940 кг, а также по 4,76; 11; 7 и 2 кг жести при еѐ общем запасе 2700 кг. Сколько изделий каждого типа надо изготовить для получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 400; 300; 600 и 200 р.?

П р о д о л ж е н и е т а б л . 2.2.2

5-я циф-

ра вариУсловие задачи линейного программирования анта

9Фирма выпускает макаронные изделия трех наименований. Каж-

дого наименования за день необходимо изготовить не менее 200 кг. На 1 кг продукции уходит соответственно 0,9; 0,85 и 0,77 кг муки при общем расходе за день не более 700 кг, а также по 4; 13 и 11 г сахара при общем его расходе за день не более 60 кг. Сколько изделий каждого типа надо выпустить для получения максимального дохода, если цена 1 кг макаронных изделий составляет 40; 30 и 25 р.?

aМеталлообрабатывающее предприятие выпускает изделия пяти

типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 15 шт. за смену. На это уходит соответственно 4; 3,4; 10; 8 и 2 кг стали при его общем расходе за смену не более 500 кг, а также по 1,6; 1,2; 1,5; 1,3

и 0,4 кг алюминия при его общем расходе за смену не более 200 кг. Сколько изделий каждого типа надо изготовить для получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 400; 300; 1000; 750 и 200 р.?

bЦех малого предприятия должен изготовить серию изделий трѐх

типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 20 шт. в день. На изделия уходит соответственно 4,0; 1,4 и 2 кг металла при его общем запасе 340 кг, а также по 1,4; 2,0 и 0,5 кг пластмассы при еѐ общем запасе 170 кг. Сколько изделий каждого типа надо из-

готовить для получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции

40; 30

и 20 р.?

36

cФирма выпускает кондитерские изделия трех наименований. Ка-

ждого наименования за день необходимо изготовить не менее 20 кг. На 1 кг изделий уходит соответственно 0,9; 0,85 и 0,77 кг муки при общем ее расходе за день не более 70 кг, а также по 40; 130

и 110 г сахара при общем его расходе за день не более 60 кг. Сколько изделий каждого типа надо выпустить для получения максимального дохода, если цена 1 кг кондитерских изделий со-

ставляет 400; 300 и 250 р.?

dМеталлообрабатывающее предприятие изготавливает изделия

пяти типов. Каждого изделия нужно сделать не менее 5 шт. за смену.

На изделия уходит соответственно 40; 34; 100; 80 и 20 кг стали при ее общем расходе за смену не более 2500 кг, а также по 16; 12; 15; 13 и 4 кг алюминия при его общем расходе за смену не более 400 кг. Сколько изделий каждого типа надо изготовить для получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 540; 310; 900; 750 и 190 р.?

О к о н ч а н и е т а б л . 2.2.2

5-я циф-

ра вариУсловие задачи линейного программирования анта

eПредприятие выпускает изделия трех наименований. Продукции

каждого наименования необходимо изготовить не менее 500 шт. в день. На это уходит соответственно 0,8; 1,9 и 1,1 м ткани при общем еѐ расходе за день не более 3900 м; ленты 90; 60 и 10 см при общем ее расходе на день не более 900 м. Сколько изделий каждого наименования следует изготовить для получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена продукции составляет по калькуляции 140; 230 и 180 р.?

fПредприятие должно изготовить серию изделий трех типов. Каж-

дого изделия нужно сделать не менее 40 шт. На изделия уходит соответственно 4; 3,4 и 2 кг металла при его общем запасе 940 кг, а также по 4,76; 11 и 2 кг пластмассы при еѐ общем запасе 2100 кг. Сколько изделий каждого типа надо изготовить для получения максимального объѐма выпуска в денежном выражении, если цена изделий составляет по калькуляции 4; 3 и 2 р.?

Отчѐтность по расчѐтно-графическому заданию

37

Отчѐт предоставляется в виде распечатки файла формата MS Word 2003. Отдельно к отчѐту прилагаются его электронная версия и файлы кодов программ для пакета MatLab R2007b. Приложения должны быть оформлены в виде папки (каталога).

Отчѐт должен включать в себя (MS Word 2003): титульный лист; текст задания;

текст кода программ(ы) для пакета MatLab R2007b с подробными комментариями;

выводы, отражающие мнение студента о достоинствах и недостатках пакета MatLab R20007b для решения задач вычислительной математики.

Размер символов (Times New Roman) в отчѐте – не менее 12 и не более 14 пунктов.

ЛИТЕРАТУРА

1.Унру Н.Э. Информатика. Ч. II. Методические указания к лабораторным работам для студентов 2-го курсов факультета РЭФ, обучающихся по специальностям «Радиотехника» и «Радиосвязь, радиовещание и телевидение». – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. – 59 с.

2.Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е изд.: пер. с англ. − М.: ООО «И.Д. Вильямс», 2008. − 1104 с.

3.Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. − СПб.: БХВ-

Петербург, 2005. − 1104 с.

4.Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7: программирова-

ние, численные методы. − СПб.: БХВ-Петербург, 2005. − 752 с.

5.Ануфриев И.Е. MatLab 5.3/6.x. − СПб.: БХВ-Петербург, 2004. − 736 с.

6.Hunt, Brian R. MatLab R2007 с нуля ! Книга + Видеокурс. : [пер. с

англ.] / Brian R. Hunt [и др.]. − М.: Лучшие книги, 2008. − 352 с.

7.Новгородцев А.Б. Расчѐт электрических цепей в MATLAB: Учебный курс. − СПб.: Питер, 2004. − 250 с.

38

ИНФОРМАТИКА Часть III

Методические указания

Редактор Н.А. Лукашова

Выпускающий редактор И.П. Брованова

Корректор Е.В. Дубовцева

Компьютерная верстка С.И. Ткачева

Подписано в печать 20.08.2010. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 150 экз. Уч.-изд. л. 2,32. Печ. л. 2,5. Изд. № 132. Заказ № . Цена договорная

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20