1.Вычисление площадей плоских фигур.

1.f(x)>=0 x[a,b],то _a^bf(x)dx=S

2.S=_a^cf(x)dx+_c^bf(x)dx=_a^bf(x)dx

3.S=_a^bf2(x)-_a^bf1(x)dx=_a^b[f2(x)-f1(x)]dx

4.частный случай:

Y=f1(x)

Y=f2(x)

5.S=_a^b[f2(x)+|AB|-f1(x)-|AB|]dx=_a^b[f2(x)-f1(x)]dx

2.Вычисление длины дуги кривой.

Пусть дана кривая y=f(x) на [a;b], f(x)-непрерывна на [a;b].Требуется найти длину этой кривой.

Заменяем прямую вписанной ломаной.

Разобьем кривую точками на n частей. Абциссы этих точек дают разбиение Т:a=x₀<x₁<..<x_i-1<x_i<..<x_n=b

Длина отрезка [M_i-1M_i]по теореме Пифагора:∆l_i=(x_i-x_i-1)²+(y_i-y_i-1)²=∆x²_i-∆y²_i=1+(∆y_i/∆x_i)²∆x_i

Длина всей ломаной АВ равна:

L= _i

Для приведения l к интегральной сумме f(f_i;)применим х в формулу Лагранжа: ∆y=f^/(;∆x)

∆y_i/∆x_i=f^/(_i)=y^/(_i)_n, _i[x_i-1;x_i]

L=_т(f_i,_i)= _i

-max∆x

L= _i

L=ab1+(y^/)²dx,y=y(x) или y=f(x)

Пусть плоская кривая задана параметрически уравнениями:

x=x(t),y=y(t),где t[t₁,t₂]

x=x(t) x=a,t=t₁

dx=x^/(t)dt x=b,t=t₂

y^/=y^/_t/x^/_t

подставляем в формулу:

l=_a^b1+(y^/_x)dx=_a^b1+(y^/_t)²/(x^/_t)²*x^/_tdt=

=_t1^t2((x^/_t)²+(y^/_t))/x^/_t*x^/_tdt=_t1^t2(x^/_t)²+

+(y^/_t)²

l=_t1^t2(x^/_t)²+(y^/_t)²dt, x=x(t)

y=y(t),t[t₁,t₂]

Для кривой в пространстве:

l=_t1^t2(x^/_t)²+(y^/_t)²dt, x=x(t)

y=y(t),t[t₁,t₂]

Кривая,заданная в полярных координатах:

Формулы перехода: x=cos

y=sin

пусть кривая на плоскости описывается уравнениями,заданными в полярной системе координат:=(),α<β

будем рассматривать такую кривую,как кривую,заданную параметрически с параметром t=,тогда l=_α^β(x^/)²+(y^/)²d

вместо x и y подставим формулы перехода: x=()cos

y=()sin

x^/_=^/()cos-()sin

y^/_=^/()sin+()cos

(x^/_)²=(^/cos-sin)²=(^/)²cos²- 2/cossin+sin²*²

+ (y^/_)²=(^/sin-cos)²=(^/)²sin²-2/sincos+cos²*²

(x^/_)²+(y^/_)²=(^/)²+²,подставляем в формулу длины:

l=_α^β(^/)²+²d, =()

[α;β]

Формулы дифференциалов длины дуги кривой.

Если y=y(x),то dl=1+(y^/)²dx

x=x(t)

y=y(t) ` dl=(x^/_t)²+(y^/_t)²dt

x=x(t)

y=y(y)

z=z(t) dl=(x^/_t)²+(y^/_t)²+(z^/_t)²dt

=(), dl=(^/)²+²d

3.Вычисление объема тел.

Пусть тело ограничено с торцов плоскостями x=a и x=b и пусть известна площадь сечения тела плоскостями, перпендикулярной оси ОХ в любой точке х[a;b] S(x):

1.разобъем [a;b] точками на n частей

2.на каждом отрезке ∆i разбиения выберем произвольную точку _i∆i

3.через _i проведем плоскость x=_iOX и вычислим площадь сечения S(_i)

4.на каждом отрезке ∆I заменяем тело прямым круговым цилиндром,объем которого ∆V_i=S(_i)*∆x_i

_т=(S, _i)= =

V=_a^bS(x)dx

Частный случай:объем тела вращения,т.е. тело,образрванного вращением кривой y=y(x) axb вокруг оси ОХ

S(x)=y²(x)

V=_a^by²(x)dx

4.Определение двойного интеграла.

Число I называется двойным интегралом от f(x,y) на D_i,если для любого >0 существует такое ()>0,что для любого разбиения Т обл.D такого,что <(),и для любой выборки ,справедливо неравенство:

|_т(f,)-I|<

Обозначим: _Df(x,y)dS=_Df(x,y)dxdy=I

Кратко:I=

Св-ва двойного интеграла:

1.Линейности: если существует двойной интеграл от ф-ции af1(x,y)+bf2(x,y) на обл.D,то

_D(af1(x,y)+bf2(x,y))dS=a_Df1(x,y)dS+b_Df2(x,y)dS,где a и b-постоянные.

2.Разбиения области:если D=D1D2,D1=,то

_Df(x,y)dS=_D1f(x,y)dS+_D2f(x,y)dS

3.Если (x,y)D,f1(x,y)≥f2(x,y),то

_Df1(x,y)dS≥_Df2(x,y)dS

4.| _Df(x,y)dS|_D|f(x,y)dS

5.Теорема о среднем:если f(x,y)-определена и непрерывна в D,то существует такая точка MD,что

_Df(x,y)dS=f(M)S,где S-площадь D